高考解析几何(含详细答案).doc
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杨老师数学高考专题讲义
解析几何--专题复习
考点1：
圆锥曲线的定义及几何性质、标准方程
例1：
（2010·安徽高考理科·Ｔ19）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）求的角平分线所在直线的方程；
（3）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？
若存在，请找出；若不存在，说明理由。
练习1．已知双曲线（a>0,b<0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）
A.（1,2）B.（1,2）C.[2,+∞]D.（2,+∞）
考点2：
最值或定值问题
例2：
（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值.
练习2、已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点F是椭圆在y轴正半轴上的一个焦点，点A，B是抛物线上的两个动点，且满足，过点A，B分别作抛物线的两条切线，设两切线的交点为M，试推断是否为定值？
若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
练习3、已知椭圆：
的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在抛物线：
上，在点处的
切线与交于点．当线段的中点与的中点的横
坐标相等时，求的最小值．
考点3：
求参数范围问题
例3：
（2010·山东高考理科·Ｔ21）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线、的斜率分别为、，证明；
（3）是否存在常数，使得恒成立？
若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
考点4：
圆锥曲线综合问题
例4：
（2010·江苏高考·Ｔ１8）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。
设过点T（）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M、，其中m>0,。
（1）设动点P满足,求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设,求证：
直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
详细解答
例1
（1）设椭圆的方程为（），
由题意，，又，解得：
椭圆的方程为
（2）方法1：
由
（1）问得，，又，易得为直角三角形，其中
设的角平分线所在直线与x轴交于点，根据角平线定理可知：
，可得，直线的方程为：
，即。
方法2：
由
（1）问得，，又，
，，
，
，直线的方程为：
，即。
（3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、，
令、，且的中点为
，，
又，两式相减得:
即（3），
又在直线上，（4）由（3）（4）解得：
，
所以点与点是同一点，这与假设矛盾，故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。
练习1.解：
双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，∴e≥2，选C。
例2：
（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为.
（Ⅱ）由题意知
由得
所以圆P的半径为.
由，解得.所以点P的坐标是（0，）.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程.因为点在圆P上。
所以由图可知。
设，则
当，即，且，取最大值2.
练习2、解：
（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）．
因为，得．又，则．
故椭圆的标准方程是．
（2）由椭圆方程知，c＝1，所以焦点F（0，1），设点A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，得（－x1，1－y1）＝λ（x2，y2－1），所以－x1＝λx2，1－y1＝λ（y2－1）．
于是．因为，，则y1＝λ2y2．
联立y1＝λ2y2和1－y1＝λ（y2－1），得y1＝λ，y2＝．
因为抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．设过抛物线上的点A、B的切线分别为l1，l2，则直线l1的方程是y＝x1（x－x1）＋y1，即y＝x1x－x12．
直线l2的方程是y＝x2（x－x2）＋y2，即y＝x2x－x22．
联立l1和l2的方程解得交点M的坐标为．
因为x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4．所以点M．
于是，（x2－x1，y2－y1）．
所以＝＝（x22－x12）－2（x22－x12）＝0．
故为定值0．
练习3、解：
（1）由题意得所求的椭圆方程为．
（2）不妨设
则抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，
将上式代入椭圆的方程中，得，
即，
因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，
设线段MN的中点的横坐标是，则，
设线段PA的中点的横坐标是，则，
由题意得，即有，其中的或；
当时有，因此不等式不成立；
因此，当时代入方程得，
将代入不等式成立，
因此的最小值为1．
例3：
（1）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为.
（2）设点P（，），则=，=，所以=
，又点P（，）在双曲线上，所以有，即，所以
=1.
（3）假设存在常数，使得恒成立，则由
（2）知，所以设直线AB的方程为，则直线CD的方程为，
由方程组消y得：
，设，，
则由韦达定理得：
所以|AB|==，同理可得
|CD|===，
又因为，所以有=+
=，所以存在常数，使得恒成立。
例4：
（1）设点P（x，y），则：
F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
由，得化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
（2）将分别代入椭圆方程，以及得：
M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：
，即，
直线NTB方程为：
，即。
联立方程组，解得：
，所以点T的坐标为。
（3）点T的坐标为
直线MTA方程为：
，即，
直线NTB方程为：
，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，
解得：
、。
方法一：
当时，直线MN方程为：
令，解得：
。
此时必过点D（1，0）；
当时，直线MN方程为：
，与x轴交点为D（1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
方法二：
若，则由及，得，
此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。
若，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。
因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。
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