高考数学二轮复习微专题强化练习题8平面向量.doc

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第一部分　一　8

一、选择题

1．设x∈R，向量a＝（x,1），b＝（1，－2），且a⊥b，则|a＋b|＝（　　）

A. B.

C．2 D．10

[答案]　B

[解析]　本题考查向量的模及垂直问题．

∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2，

∴a＋b＝（3，－1），|a＋b|＝.

[方法点拨]　1.平面向量的平行与垂直是高考命题的主要方向之一，此类题常见命题形式是：

①考查坐标表示；②与三角函数、三角形、数列、解析几何等结合，解题时直接运用向量有关知识列出表达式，再依据相关知识及运用相关方法加以解决．

2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．

3．注意垂直与平行的坐标表示不要混淆．

2．（文）（2014·新课标Ⅱ理，3）设向量a、b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝（　　）

A．1 B．2

C．3 D．5

[答案]　A

[解析]　本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．

∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.

联立方程解得ab＝1，故选A.

（理）设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝2，则|b|等于（　　）

A. B．1

C. D．2

[答案]　B

[解析]　∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.

3．（文）（2015·四川文，2）设向量a＝（2,4）与向量b＝（x,6）共线，则实数x＝（　　）

A．2 B．3

C．4 D．6

[答案]　B

[解析]　由向量平行的性质，有24＝x6，解得x＝3，选B.

[方法点拨]　若a与b都是非零向量λμ≠0，则λa＋μb＝0⇔a与b共线；若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0，a＝（x1，y1）与b＝（x2，y2）共线⇔x1y2－x2y1＝0⇔＝（y1y2≠0）．

（理）（2015·新课标Ⅰ文，2）已知点A（0,1），B（3,2），向量＝（－4，－3），则向量＝（　　）

A．（－7，－4） B．（7,4）

C．（－1,4） D．（1,4）

[答案]　A

[解析]　本题主要考查平面向量的线性运算．

＝＋＝（－3，－1）＋（－4，－3）＝（－7，－4）．故本题正确答案为A.

4．（2015·北京文，6）设a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

[答案]　A

[解析]　考查充分必要条件、向量共线．

a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由已知得cos〈a，b〉＝1，即〈a，b〉＝0，a∥b.而当a∥b时，〈a，b〉还可能是π，此时a·b＝－|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要条件．

5．（文）如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为（　　）

A.　　　 B.　　　

C.　　　 D.

[答案]　C

[解析]　∵（2a＋b）·（2a－b）＝4|a|2－|b|2＝0，

∴（2a＋b）⊥（2a－b），∴选C.

（理）若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是（　　）

A. B.

C. D.

[答案]　C

[解析]　解法1：

由条件可知，a·b＝0，|b|＝|a|，则cosθ＝＝＝＝－⇒θ＝.

解法2：

由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为.

[方法点拨]　两向量夹角的范围是[0，π]，a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．

6．（2015·广东文，9）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2,1），则·＝（　　）

A．5 B．4

C．3 D．2

[答案]　A

[解析]　考查：

1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算．

因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝（1，－2）＋（2,1）＝（3，－1），所以·＝2×3＋1×（－1）＝5，故选A.

7．（文）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝（　　）

A.－ B.＋

C.＋ D.－

[答案]　D

[解析]　＝－＝＋－（＋）＝－.

（理）已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若＋2＝3，则的值为（　　）

A. B.

C. D.

[答案]　A

[解析]　∵＋2＝3，

∴－＝3（－），

∴＝3，∴＝2，

∴||＝2||，∴＝，故选A.

8．（文）（2014·新课标Ⅰ理，10）已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝（　　）

A. B.

C．3 D．2

[答案]　C

[解析]　抛物线的焦点坐标是F（2,0），过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为＝4，∴＝，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.

（理）（2014·中原名校第二次联考）在三角形ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，AB＝4，＝＋λ（λ∈R），则AD的长为（　　）

A．1 B.

C．3 D．3

[答案]　D

[解析]　在AC上取E点，在AB上取F点，使＝，＝λ，

∵＝＋λ＝＋，

∴DE∥AB，DF∥AC，∴＝＝＝3，∵AF＋BF＝AB＝4，∴BF＝1，AF＝3，在△ADF中，AF＝3，DF＝3，∠DFA＝120°，∴AD＝3.

9．（文）（2014·湖南文，10）在平面直角坐标系中，O为原点，A（－1,0），B（0，），C（3,0），动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值范围是（　　）

A．[4,6] B．[－1，＋1]

C．[2，2] D．[－1，＋1]

[答案]　D

[解析]　考查了向量的坐标运算，圆的有关知识．

设D（x，y），则由||＝1，得（x－3）2＋y2＝1，

而|＋＋|＝表示点D（x，y）到点（1，－）的距离，（x－3）2＋y2＝1表示以（3,0）为圆心，1为半径的圆，点（1，－）与点（3,0）的距离为，

∴|＋＋|的取值范围为[－1，＋1]．

（理）（2015·湖南文，9）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为（2,0），则|P＋P＋P|的最大值为（　　）

A．6 B．7

C．8 D．9

[答案]　B

[解析]　考查直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质．

由题根据所给条件不难得到该圆x2＋y2＝1是以AC为直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到|PA―→＋PB―→＋PC―→|＝|2PO―→＋PB―→|，又＝－，∴|＋＋|＝|2＋－|＝|－3|＝＝＝≤7，当且仅当∠POB＝180°时取等号，故最大值为7，选B.

10．（文）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，＝λ，＝μ.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝（　　）

A.　　　　　　　　 B.

C. D.

[答案]　C

[解析]　∵＝＋＝＋λ，

＝＋＝＋μ，

∴·＝（＋λ）·（＋μ）

＝·＋λ·＋μ·＋λμ·

＝2×2×cos120°＋4λ＋4μ＋λμ（2×2×cos120°）

＝－2＋4（λ＋μ）－2λμ＝1，①

·＝（1－λ）·（1－μ）

＝－2（1－λ）（1－μ）＝－，

∴λμ－（λ＋μ）＝－.②

解①②组成的方程组得λ＋μ＝.

[方法点拨]　1.熟记平面向量的数量积、夹角、模的定义及性质是解答求模与夹角问题的基础．

2．充分利用平面向量的几何运算法则、共线向量定理、平面向量数量积的运算法则、平面向量基本定理，探究解题思路是解决平面向量问题的保证．

（理）（2015·江西质检）设F1，F2分别是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（＋）·＝0，O为坐标原点，且||＝2||，则双曲线的离心率为（　　）

A. B.

C．2 D.

[答案]　D

[解析]　由（＋）·＝0，得（＋）·（－）＝0，即||2－||2＝0，所以||＝||＝c，所以△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，则PF1⊥PF2，即|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，又||＝2|PF2|，解得|PF1|＝c，|PF2|＝c.

所以|PF1|－|PF2|＝c＝2a，所以e＝＝.

二、填空题

11．（文）在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝________.

[答案]　－

[解析]　如图，令＝a，＝b，＝（a＋b），＝＋＝（b－a）＋

＝b－a，

∴·＝·

＝a·b－＋－a·b

＝－－a·b＝－－×＝－.

（理）（2015·天津文，13）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．

[答案]　

[解析]　考查平面向量的数量积．

如图，O为AB的中点，设A＝a，A＝b，则|a|＝|b|＝1且a·b＝，根据梯形的性质可得D＝A＝a，B＝O＝b－a.所以A＝A＋B＝A＋B＝2a＋（b－a）＝a＋b.A＝A＋D＝A＋D＝a＋b.所以A·A＝·＝a2＋a·b＋b2＝.

12．（文）已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.

[答案]　

[解析]　本题考查平面向量数量积的性质及运算．

依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e－12e1·e2＋4e＝9，∴|a|＝3，

|b|2＝9e－6e1·e2＋e＝8，a·b＝9e－9e1·e2＋2e＝8，∴|b|＝2，

cosβ＝＝＝.

（理）如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若＝m＋n，则m＋n的取值范围是________．

[答案]　（－1,0）

[解析]　根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则＝t.

∵D在圆外，∴t<－1，

又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1，又由已知，＝m＋n，

∴tm＋tn＝λ＋μ，

∴m＋n＝，故m＋n∈（－1,0）．

13．（2015·安徽文，15）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号）

①a为单位向量；②b为单位向量；

③a⊥b;④b∥；

⑤（4a＋b）⊥.

[答案]　①④⑤

[解析]　考查1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质．

∵等边三角形ABC的边长为2，AB―→＝2a，∴|AB―→|＝2|a|＝2⇒|a|＝1，故①正确；

∵AC―→＝AB―→＋BC―→＝2a＋BC―→，∴BC―→＝b⇒|b|＝2，故②错误，④正确；由于AB―→＝2a，BC―→＝b⇒a与b夹角为120°，故③错误；又∵（4a＋b）·BC―→＝（4a＋b）·b＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×（－）＋4＝0，∴（4a＋b）⊥BC―→，故⑤正确，因此，正确的编号是①④⑤.

14．（文）如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________（用向量a和b表示）．

[答案]　a＋b

[解析]　据题意可得＝＋＝＋＝a＋b，又由＝2，可得＝＝（a＋b）＝a＋b.

（理）已知O为坐标原点，点M（3,2），若N（x，y）满足不等式组则·的最大值为________．

[答案]　12

[解析]　据不等式组得可行域如图所示：

由于z＝·＝3x＋2y，结合图形进行平移可得点A（4,0）为目标函数取得最大值的最优解．即zmax＝3×4＋2×0＝12.

三、解答题

15．（文）已知向量a＝（cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，向量b＝（，－1）．

（1）若a⊥b，求θ的值；

（2）若|2a－b|

[解析]　

（1）∵a⊥b，

∴cosθ－sinθ＝0，得tanθ＝.

又θ∈[0，π]，∴θ＝.

（2）∵2a－b＝（2cosθ－，2sinθ＋1），

∴|2a－b|2＝（2cosθ－）2＋（2sinθ＋1）2

＝8＋8（sinθ－cosθ）＝8＋8sin（θ－）．

又θ∈[0，π]，∴θ－∈[－，]，

∴sin（θ－）∈[－，1]，

∴|2a－b|2的最大值为16，∴|2a－b|的最大值为4.

又|2a－b|4.

（理）在△ABC中，角A、B、C所对的对边长分别为a、b、c.

（1）设向量x＝（sinB，sinC），向量y＝（cosB，cosC），向量z＝（cosB，－cosC），若z∥（x＋y），求tanB＋tanC的值；

（2）若sinAcosC＋3cosAsinC＝0，证明：

a2－c2＝2b2.

[解析]　

（1）x＋y＝（sinB＋cosB，sinC＋cosC），

∵z∥（x＋y），

∴cosB（sinC＋cosC）＋cosC（sinB＋cosB）＝0，

整理得tanC＋tanB＋2＝0，

∴tanC＋tanB＝－2.

（2）证明：

∵sinAcosC＋3cosAsinC＝0，

∴由正、余弦定理得：

a·＋3××c＝0，

∴a2－c2＝2b2.

16．（文）已知向量a＝（sin，），b＝（cos，－）（ω>0，x≥0），函数f（x）＝a·b的第n（n∈N*）个零点记作xn（从左向右依次计数），则所有xn组成数列{xn}．

（1）若ω＝，求x2；

（2）若函数f（x）的最小正周期为π，求数列{xn}的前100项和S100.

[解析]　f（x）＝a·b＝sincos－＝sinωx－.

（1）当ω＝时，f（x）＝sin（x）－，

令f（x）＝0，得x＝4kπ＋或x＝4kπ＋（k∈Z，x≥0），取k＝0，得x2＝.

（2）因为f（x）最小正周期为π，则ω＝2，

故f（x）＝sin2x－，

令f（x）＝0得x＝kπ＋或x＝kπ＋（k∈Z，x≥0），所以S100＝（kπ＋）＋（kπ＋）]

＝（2kπ＋）＝2π（0＋1＋2＋…＋49）＋50×

＝50×49π＋25π＝2475π.

[方法点拨]　1.不含坐标的向量综合问题，解答时，按向量有关概念、性质、法则等通过运算解决，若条件方便建立坐标系，则建立坐标系用坐标运算解决，给出坐标的向量综合问题，直接按向量各概念、法则的坐标表示将向量问题转化为代数问题处理．

2．向量与其他知识交汇的题目，先按向量的概念、性质、法则脱去向量外衣，转化为相应的三角、数列、不等式、函数、解析几何等问题，再按相应的知识选取解答方法．

（理）（2015·太原市一模）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别是点F1、F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为.

（1）求a，b的值；

（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足∥，∥，·＝0，求||＋||的取值范围．

[解析]　

（1）由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2内切圆面积取最大值，设△PF1F2内切圆半径为r，则πr2＝，r＝，

此时S△PF1F2＝·|F1F2|·|OP|＝bc，

又∵S△PF1F2＝·（|F1F2|＋|F1P|＋|F2P|）·r

＝（a＋c），

∴bc＝（a＋c），∵e＝＝，∴a＝2c，

∴b＝2，a＝4.

（2）∵∥，∥，·＝0，∴直线AC与BD垂直相交于点F1，

由

（1）得椭圆的方程为＋＝1，则F1的坐标为（－2,0），

①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14，

②当直线AC斜率k存在且k≠0时，则其方程为y＝k（x＋2），设A（x1，y1），C（x2，y2），则点A，C的坐标是方程组的两组解．

∴（3＋4k2）x2＋16k2x＋16k2－48＝0.

∴

∴||＝|x1－x2|＝.

此时直线BD的方程为y＝－（x＋2）．

同理，由可得||＝.

∴||＋||＝＋

＝.

令t＝k2＋1（k≠0），则t>1，∴||＋||＝，

∵t>1，∴0<≤，∴||＋||∈，

由①②可知，||＋||的取值范围是.