《方程的根与函数的零点》说课稿.doc

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《方程的根与函数的零点》说课稿

各位评委老师，各位同事，下午好！

我是来自哈师大附中的数学教师于，今天我说课的题目是《方程的根与函数的零点》。

下面我将从教材分析、学情分析、目标分析、过程分析、教法学法分析、板书设计六个方面来进行阐述。

一【教材分析】

1.1说内容

本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节概念课．

1.2说地位

新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存在性定理是二分法的必备知识．本节课还为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．

二【学情分析】

高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．

三【目标分析】

依据新课标中的内容与要求，以及学生实际情况，我确定本节课的三维目标如下：

3．1说教学目标

知识与技能目标：

1、结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系．

2、理解函数零点存在性定理

3、会判断函数的零点个数和所在区间

过程与方法目标：

1、经历“类比—归纳—应用”的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．

2、初步体会函数方程思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．

情感、态度和价值观目标：

1、体会函数与方程的“形”与“数”、“动”与“静”、“整体”与“局部”的内在联系．

2、体验规律发现的快乐．

3.2说重点难点

教学重点了解函数零点概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性定理．

教学难点对零点存在性定理的准确理解．

四【过程分析】

为了达到突出重点，突破难点的目的，在教学过程上，我设置了如下环节：

4.1教学结构设计：

零点概念的建构

零点存在性定理的探究

创设情境，感知概念

辨析讨论，明确概念

实例探究，归纳定理

辨析应用，熟悉定理

例题变式，深化拓展

应用与巩固

小结反思，提高认识

布置作业，独立探究

小结

约10分钟

约15分钟

约12分钟

约3分钟

4.2教学过程设计：

（一）创设情境，感知概念

1、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．

实例引入解方程：

（1）2-x=4；

（2）2-x=x．

说明：

比较两个方程，让学生发现有些方程不能通过代数运算求解方程的根，引出课题。

意图：

通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求的热情．

填空：

方程

x2-2x-3=0

x2-2x+1=0

x2-2x+3=0

根

x1=-1，x2=3

x1=x2=1

无实数根

函数

y=x2-2x-3

y=x2-2x+1

y=x2-2x+3

图象

4

2

-2

-4

3

-1

1

2

O

x

y

4

2

-2

-4

3

-1

1

2

O

x

y

4

2

-2

3

-1

1

2

O

x

y

图象与x轴的交点

两个交点：

（-1,0），（3,0）

一个交点：

（1,0）

没有交点

问题1：

从该表你可以得出什么结论？

问题2：

这个结论对一般的二次函数和方程成立吗？

学生讨论，得出结论：

一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．

说明：

通过该表得出结论，再把特殊的二次函数和二次方程转化为一般形式，引导学生进行讨论。

归纳：

判别式Δ

Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

方程ax2+bx+c=0（a>0）的根

两个不相等的实数根x1、x2

有两个相等的

实数根x1=x2

没有实数根

函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象

O

x

y

x1

x2

O

y

x

x1

O

x

y

函数的图象与x轴的交点

两个交点：

（x1,0），（x2,0）

一个交点：

（x1,0）

无交点

意图：

通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备．

2、一般函数的图象与方程根的关系．

问题3：

其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？

请举例！

师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在几何画板下展示类似如下函数的图象：

y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln（x－2），y＝（x－1）（x＋2）（x－3）．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：

方程f（x）＝0有几个根，y＝f（x）的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．

说明：

从问题1、2到问题3，由特殊到一般，由浅入深、循序渐进，给不同层次的学生提供了思考、创造、表现和成功的舞台．教学过程中，教师利用几何画板动态演示，让学生从动态的角度体会方程的根与函数的零点之间的关系，引出函数零点的定义．同时也能培养学生的归纳概括能力．

意图：

通过多种函数，将结论推广到一般函数，为零点概念做好铺垫．

（二）辨析讨论，明确概念．

3、函数零点概念及其与对应方程根的关系

概念：

对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

即兴练习：

函数f（x）=x（x2－16）的零点为（D）

A．（0，0），（4，0） B．0，4 C．（–4，0），（0，0），（4，0） D．–4，0，4

意图：

通过实例及时矫正“零点是交点”这一误解，澄清零点是指自变量的取值．

说明：

此环节的设置，是因为我在以前的教学过程中发现，学生经常将零点写成坐标点的形式，通过学生对这一环节的解决，加上老师及时进行点评和纠正，让学生从错误中加深对零点定义的理解．通过此环节，可以突出本课的重点，

问题4：

函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？

（1）联系：

①数值上相等：

求函数的零点可以转化成求对应方程的根；

②存在性一致：

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（2）区别：

零点对于函数而言，根对于方程而言．

说明：

函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．

意图：

巩固由特例归纳的胜利果实，丰富零点概念．

（三）实例探究，归纳定理．

4、零点存在性定理的探索．

2

-2

-4

1

O

1

-2

2

3

4

-3

-1

-1

y

x

问题5：

在怎样的条件下，函数y＝f（x）在区间[a，b]上存在零点？

说明：

教师给出问题5，让学生探究。

由于入手较难，说以教师先给出

特殊函数让学生探究，进而发现一般的函数图象的特点，发现规律。

探究：

（1）观察二次函数f（x）＝x2－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点______；

f（-2）=_______，f

（1）=_______，f（-2）·f

（1）_____0（“＜”或“＞”）．

在区间（2，4）上有零点______；f

（2）·f（4）____0（“＜”或“＞”）．

（2）观察函数的图象：

y

a

b

c

x

O

d

①在区间（a，b）上___（有/无）零点；f（a）·f（b）___0（“＜”或“＞”）．

②在区间（b，c）上___（有/无）零点；f（b）·f（c）___0（“＜”或“＞”）．

③在区间（c，d）上___（有/无）零点；f（c）·f（d）___0（“＜”或“＞”）．

意图：

通过观察，归纳判定方法，描述零点存在性定理．

零点存在性定理：

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f（a）·f（b）＜0，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点．即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

即兴练习：

下列函数在相应区间内是否存在零点？

（1）f（x）=log2x，x∈[，2]；

（2）f（x）=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．

意图：

通过简单的练习适应定理的使用．

（四）辨析应用，熟悉定理．

5．存在性定理的辨析与运用

说明：

让学生同桌两人一组，一人拿出笔，把笔的两端作为区间[a，b]的两个端点,拿线绳在桌面上摆出各种形状，把笔放在线绳上，让另外一名学生说明笔和绳的交点情况，对零点存在性定理形成初步的了解，教师巡视，选出两组在展台上演示。

例1判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：

（1）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内有且仅有一个零点． （×）

（2）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）·f（b）≥0，则f（x）在区间（a，b）内没有零点． （×）

（3）已知函数y=f（x）在区间[a，b]满足f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内存在零点．

（×）

请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：

a

b

O

x

y

a

b

O

x

y

a

b

O

x

y

归纳：

定理不能确定零点的个数；不满足定理条件时依然可能有零点。

定理中的“连续不断”是必不可少的条件；．

说明：

在思考设置这一环节时，我注意到了教材是利用二次函数进行的探究，但结合以往的教学经验，课本上的探究只能达到揭示定理的目的，对于“定理的充分非必要性即函数在区间上有零点但不一定有端点函数值异号”这一难点却无法进行突破。

因此我改为让学生动手实验和讨论，学生在动手实验过程中，可能出现有零点也可能无零点，零点的个数可能是1个，也可能多个的现象，教师选择有代表性的探究结果进行展示和点评，引导学生归纳总结函数存在零点的条件，以及分析出现上述多种可能结果的原因，达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，突破了难点．

意图：

直面易产生的误解，在第一时间加以纠正，从而促进对定理的准确理解．

9、练习：

（1）已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

f（x）

23

9

－7

11

－5

－12

－26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有 （C）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

（2）方程–x3–3x+5=0的零点所在的大致区间为 （）

A．（–2，0） B．（0，1） C．（0，1） D．（1，2）

说明：

三个反馈练习，使学生初步运用定理来解决“找出函数零点所在区间”这一类问题，加深对函数在某一区间上存在零点的判定定理的理解，再次突出了本节课“函数零点存在性的判断”的重点．

意图：

一方面通过选择题促进学生对定理的活用，另一方面为突破后面的例题铺设台阶．

（五）例题变式，深化拓展．

6、例题讲解

例2：

求函数f（x）＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1]（n∈Z）．

解法1（借助计算工具）：

用计算器或计算机作出x、f（x）的对应值表和图象．

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f（x）

-4.0

-1.3

1.1

3.4

5.6

7.8

9.9

12.1

14.2

由表或图象可知，f

（2）<0，f（3）>0,则f

（2）f（3）<0，这说明函数f（x）在区间（2，3）内有零点．

问题6：

如何说明零点的唯一性？

又由于函数f（x）在（0，+∞）内单调递增，所以它仅有一个零点．

解法2（估算）：

估计f（x）在各整数处的函数值的正负，可得如下表格：

x

1

2

3

4

f（x）

－

－

＋

＋

x

y

6

O

2

1

3

4

g（x）

h（x）

结合函数的单调性，f（x）在区间（2，3）内有唯一的零点．

解法3由学生的接受情况进行选讲（函数交点法）：

将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g（x）=lnx与h（x）=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g

（2）、h

（2）、g（3）、h（3）等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f（x）在区间（2，3）内有唯一的零点．

说明：

1。

归纳：

由于函数与方程的特殊关系，所以讨论函数零点个数问题常用的

方法是：

（1）解方程；

（2）画图象；（3）利用及函数

的单调性．同时这些方法又是有机联系的．

2．本题是根据我校学生的特点，将课本的例1进行改编而来，降低了难度，但是更加符合我校的生源特点。

教学过程中，我将利用几何画板作出函数的图象，让学生通过数形结合，确定函数零点所在区间，学生得出的不同答案，可以使学生意识到零点的区间是不唯一的，也为下一节二分法求方程的近似解奠定基础．

意图：

通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3作为选讲内容，视学生基础而定．

练习求方程2-x=x的解的个数，并确定解所在的区间[n，n+1]（n∈Z）．

意图：

一方面与引例相呼应，又作为例题方法的巩固，也为下一节课作铺垫．

（六）小结反思，提高认识．

问题7：

你通过本节课的学习有什么收获？

（1）一个关系：

函数零点与方程根的关系：

函数

方程

零点

根

数值

存在性

个数

（2）两种思想：

函数方程思想；数形结合思想．

（3）三种题型：

求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．

问题8：

对于本节课学习的内容你还有什么疑问？

说明：

在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容概括一个关系，两种思想，三种题型．进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力．

（七）布置作业，独立探究．

必做题1．函数f（x）＝（x＋4）（x－4）（x＋2）在区间[-5，6]上是否存在零点？

若存在，有几个？

必做题2．利用函数图象判断下列方程有几个根：

（1）2x（x－2）＝－3；

（2）ex－1＋4＝4x．

必做题3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：

（1）f（x）=2xln（x-2）-3；

（2）f（x）＝3（x＋2）（x－3）（x＋4）＋x．

选做题：

方程2-x=x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？

请预习下一节．

说明：

围绕课堂的重点，分层布置作业，帮助学生进一步理解相关的知识与方法，利于拓展学生的自主发展的空间．

意图：

为“用二分法求方程的近似解”的学习做准备.

五【教法学法分析】

在教法上，本次课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。

在学法上，精心设置一个个问题链，并以此为主线，由浅入深、循序渐进，以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，注重学生的学习体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台．

在教学手段上，我一是采取多媒体课件、多媒体投影仪、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣．二是配以我校特色的学案，它能带动学生激活思维，又能有效提升从“已知”到“未知”的能力迁移，还能记录学生整堂课的思维过程．

新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，本节课在概念的形成和深化、定理的概括和应用方面，都给予自主探究、辨析实践、动手画图及交流讨论的机会．教师主要起引导作用，充分信任学生、依靠学生．只有充分激活了学生的思维，这节课的各环节才能顺利推进，内容才会丰富充实，方法才会异彩纷呈．所以这节课总的设计理念是以学生为主体．

新课标注重提高学生的数学思维能力，本节课让学生直观感知概念，观察发现规律，归纳概括定理，对思维能力有一定的要求，也提供了充足的媒介．

概念与定理的建立是一个感知、探究的过程，不仅关注知识的掌握，也关注学生的学习过程，把体验、尝试、发现的机会交给学生．

教法与学法归纳为：

紧扣教材、重组教材；信任学生、依靠学生；

学生主体、教师主导；注重思维、注重过程．

六【板书设计】

方程的根与函数的零点

1、零点概念：

练习：

…………………………

…………………………

2、方程的根与函数零点的关系

…………………………

…………………………

3、函数零点存在性定理的条件

例2：

…………………………

…………………………

例1反例：

…………………………

x

y

O

x

y

O

x

y

O

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