高中数学导数练习题(分类练习)讲义.doc
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导数专题
经典例题剖析
考点一:
求导公式。
例1.是的导函数,则的值是。
解析:
,所以
答案:
3
考点二:
导数的几何意义。
例2.已知函数的图象在点处的切线方程是,则。
解析:
因为,所以,由切线过点,可得点M的纵坐标为,所以,所以
答案:
3
例3.曲线在点处的切线方程是。
解析:
,点处切线的斜率为,所以设切线方程为,将点带入切线方程可得,所以,过曲线上点处的切线方程为:
答案:
点评:
以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三:
导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C:
,直线,且直线与曲线C相切于点,求直线的方程及切点坐标。
解析:
直线过原点,则。
由点在曲线C上,则, 。
又, 在处曲线C的切线斜率为, ,整理得:
,解得:
或(舍),此时,,。
所以,直线的方程为,切点坐标是。
答案:
直线的方程为,切点坐标是
点评:
本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。
函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。
考点四:
函数的单调性。
例5.已知在R上是减函数,求的取值范围。
解析:
函数的导数为。
对于都有时,为减函数。
由可得,解得。
所以,当时,函数对为减函数。
(1)当时,。
由函数在R上的单调性,可知当是,函数对为减函数。
(2)当时,函数在R上存在增区间。
所以,当时,函数在R上不是单调递减函数。
综合
(1)
(2)(3)可知。
答案:
点评:
本题考查导数在函数单调性中的应用。
对于高次函数单调性问题,要有求导意识。
考点五:
函数的极值。
例6.设函数在及时取得极值。
(1)求a、b的值;
(2)若对于任意的,都有成立,求c的取值范围。
解析:
(1),因为函数在及取得极值,则有,.即,解得,。
(2)由(Ⅰ)可知,,。
当时,;当时,;当时,。
所以,当时,取得极大值,又,。
则当时,的最大值为。
因为对于任意的,有恒成立,
所以 ,解得 或,因此的取值范围为。
答案:
(1),;
(2)。
点评:
本题考查利用导数求函数的极值。
求可导函数的极值步骤:
①求导数;
②求的根;③将的根在数轴上标出,得出单调区间,由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。
考点六:
函数的最值。
例7.已知为实数,。
求导数;
(2)若,求在区间上的最大值和最小值。
解析:
(1), 。
(2),。
令,即,解得或,则和在区间上随的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
0
增函数
极大值
减函数
极小值
增函数
0
,。
所以,在区间上的最大值为,最小值为。
答案:
(1);
(2)最大值为,最小值为。
点评:
本题考查可导函数最值的求法。
求可导函数在区间上的最值,要先求出函数在区间上的极值,然后与和进行比较,从而得出函数的最大最小值。
考点七:
导数的综合性问题。
例8.设函数为奇函数,其图象在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为。
(1)求,,的值;
(2)求函数的单调递增区间,并求函数在上的最大值和最小值。
解析:
(1)∵为奇函数,∴,即
∴,∵的最小值为,∴,又直线的斜率为,因此,,∴,,.
(2)。
,列表如下:
增函数
极大
减函数
极小
增函数
所以函数的单调增区间是和,∵,,,∴在上的最大值是,最小值是。
答案:
(1),,;
(2)最大值是,最小值是。
点评:
本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识,以及推理能力和运算能力。
导数强化训练
(一)选择题
1.已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.曲线在点(1,-1)处的切线方程为 (B)
A. B. C. D.
3.函数在处的导数等于(D)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知函数的解析式可能为 (A)
A. B.
C. D.
5.函数,已知在时取得极值,则=(D)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
6.函数是减函数的区间为(D)
(A)(B)(C)(D)
7.若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是(A)
x
y
o
A
x
y
o
D
x
y
o
C
x
y
o
B
8.函数在区间上的最大值是( A )
A. B. C. D.
9.函数的极大值为,极小值为,则为(A)
A.0 B.1C.2 D.4
10.三次函数在内是增函数,则(A)
A. B.C. D.
11.在函数的图象上,其切线的倾斜角小于的点中,坐标为整数的点的个数是 (D)
A.3 B.2 C.1 D.0
12.函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内有极小值点( A)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
(二)填空题
13.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为________。
14.已知曲线,则过点“改为在点”的切线方程是___
15.已知是对函数连续进行n次求导,若,对于任意,都有=0,则n的最少值为7。
16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 20 吨.
(三)解答题
17.已知函数,当时,取得极大值7;当时,取得极小值.求这个极小值及的值.
J解析:
。
据题意,-1,3是方程的两个根,由韦达定理得
∴
∴
∵,∴
极小值
∴极小值为-25,,。
18.已知函数
(1)求的单调减区间;
(2)若在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.
解析:
(1)令,解得
所以函数的单调递减区间为
(2)因为
所以因为在(-1,3)上,所以在[-1,2]上单调递增,又由于在[-2,-1]上单调递减,因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有,解得
故因此
即函数在区间上的最小值为-7.
19.设,点P(,0)是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点P处有相同的切线。
(1)用表示;
(2)若函数在(-1,3)上单调递减,求的取值范围。
解析:
(1)因为函数,的图象都过点(,0),所以,
即.因为所以.
又因为,在点(,0)处有相同的切线,所以
而
将代入上式得因此故,,
(2).
当时,函数单调递减.
由,若;若
由题意,函数在(-1,3)上单调递减,则
所以
又当时,函数在(-1,3)上单调递减.
所以的取值范围为
20.设函数,已知是奇函数。
(1)求、的值。
(2)求的单调区间与极值。
解:
(1)∵,∴。
从而=是一个奇函数,所以得,由奇函数定义得;
(2)由(Ⅰ)知,从而,由此可知,
和是函数是单调递增区间;
是函数是单调递减区间;
在时,取得极大值,极大值为,在时,取得极小值,极小值为。
21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:
1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?
最大体积是多少?
解:
设长方体的宽为(m),则长为(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令,解得(舍去)或,因此.
当时,;当时,,
故在处取得极大值,并且这个极大值就是的最大值。
从而最大体积,此时长方体的长为2m,高为1.5m.
答:
当长方体的长为2m时,宽为1m,高为1.5m时,体积最大,最大体积为。
22.已知函数在区间,内各有一个极值点.
(1)求的最大值;
(2)当时,设函数在点处的切线为,若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动,经过点时,从的一侧进入另一侧),求函数的表达式.
解析:
(1)因为函数在区间,内分别有一个极值点,所以在,内分别有一个实根,
设两实根为(),则,且.于是
,,且当,即,时等号成立.故的最大值是16.
(2)解法一:
由知在点处的切线的方程是
,即,
因为切线在点处空过的图象,
所以在两边附近的函数值异号,则
不是的极值点.
而,且
.
若,则和都是的极值点.
所以,即,又由,得,故.
解法二:
同解法一得
.
因为切线在点处穿过的图象,所以在两边附近的函数值异号,于是存在().
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
设,则
当时,,当时,;
或当时,,当时,.
由知是的一个极值点,则,
所以,又由,得,故.
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