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HW数学复习资料2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）解析几何

2010-2017新课标全国卷分类汇编（解析几何）

1．（2017课标全国Ⅰ，理10）已知为抛物线：

的交点，过作两条互相垂直，，直线与交于、两点，直线与交于，两点，的最小值为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

设倾斜角为．作垂直准线，垂直轴

易知

同理，，

又与垂直，即的倾斜角为

，而，即．

，当取等号，即最小值为，故选A

2．（2017课标全国Ⅰ，理15）已知双曲线，（，）的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为_______．

【答案】

【解析】如图，

，

∵，∴，

∴

又∵，∴，解得

∴

3．（2017课标全国Ⅰ，理20）（12分）已知椭圆：

，四点，，，中恰有三点在椭圆上．

（1）求的方程；

（2）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为，证明：

过定点．

【解析】

（1）根据椭圆对称性，必过、又横坐标为1，椭圆必不过，所以过三点

将代入椭圆方程得

，解得，

∴椭圆的方程为：

．

（2）当斜率不存在时，设

得，此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

当斜率存在时，设，

联立，整理得

，，

则

又，此时，存在使得成立．

∴直线的方程为

当时，，所以过定点．

4．（2017课标全国Ⅱ，理9）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，

即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．

【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式

【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

5．（2017课标全国Ⅱ，理16）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则.

【答案】6

【解析】

试题分析：

如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：

，结合题意，有，故．

【考点】抛物线的定义、梯形中位线在解析几何中的应用．

【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．

6．（2017课标全国Ⅱ，理20）（12分）设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：

过点且垂直于的直线过的左焦点.

解：

（1）设，则，将点代入中得，所以点的轨迹方程为.

（2）由题可知，设，则，

.由得，由

（1）有，则有，所以，即过点

且垂直于的直线过的左焦点.

7．（2017课标全国Ⅲ，理1）已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A．3B．2C．1D．0

【答案】B

【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，

故表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即元素的个数为2，故选B.

8．（2017课标全国Ⅲ，理5）已知双曲线C（a＞0,b＞0）的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为，则①

又∵椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则②

由①②解得，则双曲线的方程为，故选B.

9．（2017课标全国Ⅲ，理10）已知椭圆C：

，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，

∴

又∵，则上式可化简为

∵，可得，即

∴，故选A

10．（2017课标全国Ⅲ，理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）

A．3 B． C． D．2

【答案】A

【解析】由题意，画出右图．

设与切于点，连接．

以为原点，为轴正半轴，

为轴正半轴建立直角坐标系，

则点坐标为．

∵，．

∴．

∵切于点．

∴⊥．

∴是中斜边上的高．

即的半径为．

∵在上．

∴点的轨迹方程为．

设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：

而，，．

∵

∴，．

两式相加得：

（其中，）

当且仅当，时，取得最大值3．

11．（2017课标全国Ⅲ，理20）（12分）已知抛物线C：

y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

（1）证明：

坐标原点O在圆M上；

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程.

解：

（1）设

由可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OA⊥OB

故坐标原点O在圆M上.

（2）由

（1）可得

故圆心M的坐标为，圆M的半径

由于圆M过点P（4，-2），因此,故

即

由

（1）可得，

所以，解得.

当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为（3,1），圆M的半径为，圆M的方程为

当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为

12.（2016课标全国Ⅰ，理5）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为，则的取值范围是

（A） （B） （C） （D）

【解析】：

表示双曲线，则，∴

由双曲线性质知：

，其中是半焦距，∴焦距，解得

∴，故选A．

13.（2016课标全国Ⅰ，理10）以抛物线的顶点为圆心的圆交于两点，交的准线于两点，已知,，则的焦点到准线的距离为

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

【解析】：

以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为，设圆的方程为，如图：

F

设，，点在抛物线上，

∴……①；点在圆上，

∴……②；点在圆上，

∴……③；联立①②③解得：

，

焦点到准线的距离为．故选B．

14.（2016课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）

设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点．

（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围．

【解析】：

⑴ 圆A整理为，A坐标，如图，

，则，由，

则，

根据椭圆定义为一个椭圆，方程为，（）；

⑵ ；设，因为，设，

联立：

，则

圆心到距离，

所以，

15.（2016课标全国Ⅱ，理4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（）

（A）（B）（C）（D）2

16.（2016课标全国Ⅱ，理11）已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）2

17.（2016课标全国Ⅱ，理20）（本小题满分12分）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．

（Ⅰ）当时，求的面积；（Ⅱ）当时，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.

试题解析：

（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

考点：

椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.

18.（2016课标全国Ⅲ，理11）已知为坐标原点，是椭圆：

的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（）

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

考点：

椭圆方程与几何性质．

【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：

（1）直接求得的值，进而求得的值；

（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；（3）通过特殊值或特殊位置，求出．

19.（2016课标全国Ⅲ，理16）已知直线：

与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.

【答案】4

考点：

直线与圆的位置关系．

【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．

20.（2016课标全国Ⅲ，理20）（本小题满分12分）

已知抛物线：

的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

试题解析：

由题设.设，则，且

.

记过两点的直线为，则的方程为......3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则，

所以.......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为.....12分

考点：

1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

【方法归纳】

（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；

（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．

21.（2015课标全国Ⅰ，理5）已知是双曲线上的一点，是的两个焦点，若,则的

取值范围是

（A）（B）（C）（D）

答案：

A

解析：

由条件知F1（－，0），F2（，0），＝（－－x0，－y0），＝（－x0，－y0），

－3＜0. ①

又＝1，＝2+2.代入①得，∴－＜y0＜

22.（2015课标全国Ⅰ，理14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为

答案：

+y2＝

解析：

由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为（4，0），（0，2），（0，－2），设圆心为（a，0）（a＞0），所以＝4－a，解得a＝，故圆心为，此时半径r＝4－，因此该圆的标准方程是+y2＝

23.（2015课标全国Ⅰ，理20）在直角坐标系中，曲线与直线交于两点。

（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程.

（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有说明理由。

解：

（1）由题设可得M（2，a），N（－2，a），或M（－2，a），N（2，a）.

又y'＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点（2，a）处的切线方程为y－a＝（x－2），即x－y－a＝0.

y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点（－2，a）处的切线方程为y－a＝－（x+2），即x+y+a＝0.

故所求切线方程为x－y－a＝0和x+y+a＝0. 5分

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为符合题意的点，M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.

将y＝kx+a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1+x2＝4k，x1x2＝－4a.

从而k1+k2＝＝

当b＝－a时，有k1+k2＝0，则直线PM的倾角与直线PN的倾角互补，

故∠OPM＝∠OPN，所以点P（0，－a）符合题意. 12分

24.（2015课标全国Ⅱ，理7）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，－7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）

　A．2 B．8 C．4 D．10

答案：

C

解析：

设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，将点A，B，C代入，得解得

则圆的方程为x2+y2－2x+4y－20＝0.令x＝0得y2+4y－20＝0，

设M（0，y1），N（0，y2），则y1，y2是方程y2+4y－20＝0的两根，

由根与系数的关系，得y1+y2＝－4，y1y2＝－20，故|MN|＝|y1－y2|＝＝4.

25.（2015课标全国Ⅱ，理11）已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（　　）

A． B．2 C． D．

答案：

D

解析：

设双曲线的标准方程为＝1（a＞0，b＞0），点M在右支上，

如图所示，∠ABM＝120°，过点M向x轴作垂线，垂足为N，则∠MBN＝60°.

∵AB＝BM＝2a，

∴MN＝2asin60°＝a，BN＝2acos60°＝a.

∴点M坐标为（2a，a），代入双曲线方程＝1，整理，得＝1，即＝1.

∴e2＝1+＝2，∴e＝.

26．（2015课标全国Ⅱ，理20）已知椭圆C：

9x2+y2＝m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.

（1）证明：

直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;

（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形?

若能，求此时l的斜率;若不能，说明理由.

解：

（1）设直线l：

y＝kx+b（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM）.

将y＝kx+b代入9x2+y2＝m2得（k2+9）x2+2kbx+b2－m2＝0，故xM＝，yM＝kxM+b＝.

于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.

（2）四边形OAPB能为平行四边形.因为直线l过点，

所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.由

（1）得OM的方程为y＝－x.

设点P的横坐标为xP.

由，即xP＝.

将点的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.

于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4+.

因为ki＞0，ki≠3，i＝1，2，

所以当l的斜率为4－或4+时，四边形OAPB为平行四边形.

27.（2014课标全国Ⅰ，理4）已知F为双曲线C：

x2－my2＝3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（　　）．

A．B．3C．D．3m

答案：

A

解析：

由题意，可得双曲线C为，则双曲线的半焦距.不妨取右焦点，其渐近线方程为，即.所以由点到直线的距离公式得.故选A.

28.（2014课标全国Ⅰ，理10）已知抛物线C：

y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若，则|QF|＝（　　）．

A．B．3C．D．2

答案：

B

解析：

如图，由抛物线的定义知焦点到准线的距离p＝|FM|＝4.

过Q作QH⊥l于H，则|QH|＝|QF|.

由题意，得△PHQ∽△PMF，

则有，∴|HQ|＝3.∴|QF|＝3.

29.（2014课标全国Ⅰ，理20）已知点A（0，－2），椭圆E：

（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（1）求E的方程；

（2）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

分析：

（1）由过A（0，－2），F（c,0）的直线AF的斜率为或过两点的直线斜率公式可求c，再由，可求a，由b2＝a2－c2可求b2，则椭圆E的方程可求．

（2）由题意知动直线l的斜率存在，故可设其斜率为k，写出直线方程，并与椭圆方程联立，消去y，整理成关于x的一元二次方程，利用弦长公式求出弦PQ的长|PQ|，利用点到直线的公式求出点O到直线PQ的距离d，则由，可将S△OPQ表示成关于k的函数，转化为求函数f（k）的最大值问题．注意k应使得一元二次方程的判别式大于0.

解：

（1）设F（c,0），由条件知，，得.

又，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.

故E的方程为.

（2）当l⊥x轴时不合题意，故设l：

y＝kx－2，P（x1，y1），Q（x2，y2）．

将y＝kx－2代入，得（1＋4k2）x2－16kx＋12＝0.

当Δ＝16（4k2－3）＞0，即时，.

从而.

又点O到直线PQ的距离，

所以△OPQ的面积S△OPQ＝＝.

设，则t＞0，.

因为，当且仅当t＝2，即时等号成立，且满足Δ＞0.

所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为

或.

30.（2014课标全国Ⅱ，理10）设F为抛物线C：

y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（　　）．

A．B．C．D．

答案：

D

解析：

由已知得，故直线AB的方程为，即.

设A（x1，y1），B（x2，y2），

联立

将①代入②并整理得，∴，

∴线段|AB|＝x1＋x2＋p＝＝12.

又原点（0,0）到直线AB的距离为.

∴.

31.（2014课标全国Ⅱ，理16）设点M（x0,1），若在圆O：

x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是__________．

答案：

[－1,1]

解析：

如图所示，设点A（0,1）关于直线OM的对称点为P，则点P在圆O上，

且MP与圆O相切，而点M在直线y＝1上运动，由圆上存在点N使∠OMN＝45°，

则∠OMN≤∠OMP＝∠OMA，∴∠OMA≥45°，∴∠AOM≤45°.

当∠AOM＝45°时，x0＝±1.∴结合图象知，当∠AOM≤45°时，－1≤x0≤1，∴x0的范围为[－1,1]．

32.（2014课标全国Ⅱ，理20）设F1，F2分别是椭圆C：

（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直．直线MF1与C的另一个交点为N.

（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；

（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

分析：

在第

（1）问中，根据椭圆中a，b，c的关系及题目给出的条件可知点M的坐标，从而由斜率条件得出a，c的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第

（2）问中，根据题目条件，O是F1F2的中点，MF2∥y轴，可得a，b之间的一个关系式，再根据条件|MN|＝5|F1N|，可得|DF1|与|F1N|的关系，然后可求出点N的坐标，代入C的方程，可得a，b，c的另一关系式，最后利用a，b，c的关系式可求得结论．

解：

（1）根据及题设知，2b2＝3ac.

将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，

解得，（舍去）．

故C的离心率为.

（2）由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D（0,2）是线段MF1的中点，故，

即b2＝4a.①

由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|，

设N（x1，y1），由题意知y1＜0，

则即

代入C的方程，得.②

将①及代入②得.

解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，.

33.（2013课标全国Ⅰ，理4）已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）．

A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝±x

答案：

C

解析：

∵，∴.

∴a2＝4b2，.∴渐近线方程为.

34.（2013课标全国Ⅰ，理10）已知椭圆E：

（a＞b＞0）的右焦点为F（3,0），过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E的方程为（　　）．

A．B．C．D．

答案：

D

解析：

设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在椭圆上，

∴①－②，得，

即，

∵AB的中点为（1，－1），∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，

而＝kAB＝，∴.又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.

∴椭圆E的方程为.故选D.

35.（2013课标全国Ⅰ，理20）（本小题满分12分）已知圆M：

（x＋1）2＋y2＝1，圆N：

（x－1）2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

解：

由已知得圆M的圆心为M（－1,0），半径r1＝1；圆N的圆心为N（1,0），半径r2＝3.

设圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（1）因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为（x≠－2）．

（2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，

所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2,0）时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为（x－2）2＋y2＝4.

若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.

若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q（－4,0），所以可设l：

y＝k（x＋4）．

由l与圆M相切得，解得k＝.

当k＝时，将代入，

并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.

所以|AB|＝.

当时，由图形的对称性可知|AB|＝.

综上，|AB|＝或|AB|＝.

36.（2013课标全国Ⅱ，理11）设抛物线C：

y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点（0,2），则C的方程为（　　）．

A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x

答案：

C

解析：

设点M的坐标为（x0，y0），由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.

又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为（x－x0）＋（y－y0）y＝0.

将