高中数学必修5常考题型:数列求和(复习课).doc
《高中数学必修5常考题型:数列求和(复习课).doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学必修5常考题型:数列求和(复习课).doc(6页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
数列求和(复习课)
【知识梳理】
1.公式法(分组求和法)
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成,并且各独立项也可组成等差或等比数列,则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解.
2.裂项求和法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项,保留哪些项,常见的拆项公式有:
①=·(-);
②若{an}为等差数列,公差为d,
则=(-);
③=-等.
3.错位相减法
若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn},当求该数列的前n项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比q,然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相减法.
4.倒序相加法
如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法.
【常考题型】
题型一、分组转化法求和
【例1】 已知数列{cn}:
1,2,3,…,试求{cn}的前n项和.
[解] 令{cn}的前n项和为Sn,
则Sn=1+2+3+…+
=(1+2+3+…+n)+
=+
=+1-n.
即数列{cn}的前n项和为Sn=+1-n.
【类题通法】
当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.
【对点训练】
1.求和:
Sn=3+33+333+…+.
解:
数列3,33,333,…,的通项公式
an=(10n-1).
∴Sn=(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)
=(10+102+…+10n)-
=×-
=(10n-1)-.
题型二、错位相减法求和
【例2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N*,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N*.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
[解]
(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1,
所以an=4n-1,n∈N*.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N*.
(2)由
(1)知an·bn=(4n-1)·2n-1,n∈N*,
所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1,2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5.
故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*.
【类题通法】
如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.
在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
【对点训练】
2.已知an=,求数列{an}的前n项和Sn.
解:
Sn=+++…++,
Sn=++…++,
两式相减得Sn=+++…+-
=-=--,
∴Sn=--=-.
题型三、裂项相消法求和
【例3】 已知等差数列{an}满足:
a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
[解]
(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由于a3=7,a5+a7=26,
∴a1+2d=7,2a1+10d=26,
解得a1=3,d=2.
由于an=a1+(n-1)d,Sn=,
∴an=2n+1,Sn=n(n+2).
(2)∵an=2n+1,
∴a-1=4n(n+1),
因此bn==.
故Tn=b1+b2+…+bn
=
=
=.
∴数列{bn}的前n项和Tn=.
【类题通法】
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察是否能分解成两项的差,这两项一定要是同一数列相邻(相间)的两项,即这两项的结论应一致.
【对点训练】
3.在数列{an}中,an=++…+,且bn=,求数列{bn}的前n项的和.
解:
an=(1+2+…+n)=,
∵bn=,
∴bn==8(-),
∴数列{bn}的前n项和为
Sn=8[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=8(1-)=.
【练习反馈】
1.已知an=(-1)n,数列{an}的前n项和为Sn,则S9与S10的值分别是( )
A.1,1 B.-1,-1
C.1,0 D.-1,0
解析:
选D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1,
S10=S9+a10=-1+1=0.
2.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为( )
A. B.
C. D.
解析:
选B 依题意bn====-,所以{bn}的前10项和为S10=+++…+=-=,故选B.
3.求和:
Sn=1+++1++++…+=________.
解析:
被求和式的第k项为:
ak=1+++…+==2.
所以Sn=2
=2
=2
=2
=2n+-2.
答案:
2n+-2
4.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于________.
解析:
an==1-
∴Sn=n-=n-1+==5+,
∴n=6.
答案:
6
5.已知等比数列{an}中,a2=8,a5=512.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:
(1)==64=q3,
∴q=4.
∴an=a2·4n-2=8×4n-2=22n-1.
(2)由bn=nan=n×22n-1知Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1①,
从而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1②,
①-②得(1-22)×Sn=2+23+25+…+22n-1-n×22n+1,即Sn=[(3n-1)22n+1+2].