高中数学必修2知识点和例题讲义.doc
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第1讲第1章§1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
¤知识要点:
结构特征
图例
棱柱
(1)两底面相互平行,其余各面都是平行四边形;
(2)侧棱平行且相等.
圆柱
(1)两底面相互平行;
(2)侧面的母线平行于圆柱的轴;
(3)是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱锥
(1)底面是多边形,各侧面均是三角形;
(2)各侧面有一个公共顶点.
圆锥
(1)底面是圆;
(2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.
棱台
(1)两底面相互平行;
(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分.
圆台
(1)两底面相互平行;
(2)是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.
球
(1)球心到球面上各点的距离相等;
(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.
1.下列说法错误的是()
A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形答案:
D
2.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为___________cm.答案:
12
3.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是___________.
答案:
棱锥、棱柱、棱台、圆锥
第2讲§1.1.2简单组合体的结构特征
¤例题精讲:
【例1】在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有().
A.1个B.2个C.3个D.4个选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,求球的半径.
解:
圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为,
所以,球的半径为.
第3讲§1.2.2空间几何体的三视图
¤例题精讲:
【例1】画出下列各几何体的三视图:
解:
【例2】画出下列三视图所表示的几何体.
解:
【例3】如图,图
(1)是常见的六角螺帽,图
(2)是一个机器零件(单位:
cm),所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图.
解
第
第4讲§1.2.3空间几何体的直观图
¤知识要点:
“直观图”最常用的画法是斜二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下:
(1)建系:
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系,直观图中画成斜坐标系,两轴夹角为.
(2)平行不变:
已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x’或y’轴的线段.(3)长度规则:
已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.
第5讲§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标:
了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式);能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点:
表面积相关公式
表面积相关公式
棱柱
圆柱
(r:
底面半径,h:
高)
棱锥
圆锥
(r:
底面半径,l:
母线长)
棱台
圆台
(r:
下底半径,r’:
上底半径,l:
母线长)
¤例题精讲:
【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.解:
【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积.
解:
.
第6讲§1.3.1柱体、锥体、台体的体积
¤知识要点:
1.体积公式:
体积公式
体积公式
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
2.柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体.因而体积会有以下的关系:
.
¤例题精讲:
【例1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则长方体的体积是.解:
设长方体的长宽高分别为,则,三式相乘得.所以,长方体的体积为6.
【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域.
解:
如图,设所截等腰三角形的底边边长为.
在中,,所以,于是.依题意函数的定义域为.
【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为,母线长为6,现将该容器盛满水,然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .
解:
容器中水的体积为.流出水的体积为,如图,.设圆柱的母线与水平面所成的角为α,则,解得.
第7讲§1.3.2球的体积和表面积
¤知识要点:
1.表面积:
(R:
球的半径).2.体积:
.
¤例题精讲:
【例2】表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积.
解:
设球半径为,正四棱柱底面边长为,则作轴截面如图,,,又∵,∴,∴,∴,∴.
【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是().A. B. C. D.
【解】由已知可得,A、B、C、D在球的一个小圆上.∵AB=BC=CD=DA=3,∴四边形为正方形.∴小圆半径.
由得,解得.∴球的体积.所以选A.
第8讲§2.1.1平面
¤知识要点:
1.点在直线上,记作;点在平面内,记作;直线在平面内,记作.
2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:
公理1
公理2
公理3
图形语言
文字语言
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
符号语言
3.公理2的三条推论:
推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面.
¤例题精讲:
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?
【例2】空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,已知EF和GH交于P点,求证:
EF、GH、AC三线共点.
解:
∵PEF,EF面ABC,∴P面ABC.同理P面ADC.∵P在面ABC与面ADC的交线上,又∵面ABC∩面ADC=AC,∴PAC,即EF、HG、AC三线共点.
【例3】求证:
两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.
已知:
直线两两相交,交点分别为,求证:
直线共面.
证明:
因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A,B,C三点可以确定平面α.因为A∈α,B∈α,所以ABα.同理BCα,ACα.所以AB,BC,CA三直线共面.
【例4】在正方体中,
(1)与是否在同一平面内?
(2)点是否在同一平面内?
(3)画出平面与平面的交线,平面与平面的交线.
解:
(1)在正方体中,∵,∴由公理2的推论可知,与可确定平面,∴与在同一平面内.
(2)∵点不共线,由公理3可知,点可确定平面,∴点在同一平面内.
(3)∵,,∴点平面,平面,又平面,平面,∴平面平面,同理平面平面.
第9讲§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
¤知识要点:
1.空间两条直线的位置关系:
2.已知两条异面直线,经过空间任一点作直线,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).所成的角的大小与点的选择无关,为了简便,点通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作.求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:
选点→平移→定角→计算.
¤例题精讲:
【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有().
A.1条B.2条C.3条D.4条
解:
过P作∥a,∥b,若P∈a,则取a为,若P∈b,则取b为.这时,相交于P点,它们的两组对顶角分别为50°和130°.记,所确定的平面为β,那么在平面β内,不存在与,都成30°的直线.过点P与,都成30°角的直线必在平面β外,这直线在平面β的射影是,所成对顶角的平分线.其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和,射影是130°对顶角平分线的直线不存在.故答案选B.
【例2】如图正方体中,E、F分别为D1C1和B1C1的中点,P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点.
(1)求证:
D、B、F、E四点共面;
(2)若A1C与面DBFE交于点R,求证:
P、Q、R三点共线.
证明:
(1)∵正方体中,,∴.又∵中,E、F为中点,∴.∴,即D、B、F、E四点共面.
(2)∵,,,,∴.又,∴,,∴.即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线a//b//c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证:
a、b、c、d四线共面.
证明:
因为a//b,由公理2的推论,存在平面,使得.
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1,.
假设,则,在平面内过点C作,
因为b//c,则,此与矛盾.故直线.
综上述,a、b、c、d四线共面.
【例4】如图中,正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AD、AA1的中点.
(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;
(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.
解:
(1)如图,连结DC1,∵DC1∥AB1,∴DC1和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角.∵∠CC1D=45°,∴AB1和CC1所成的角是45°.
(2)如图,连结DA1、A1C1,∵EF∥A1D,AB1∥DC1,∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角.∵ΔA1DC1是等边三角形,∴∠A1DC1=60º,即直线AB1和EF所成的角是60º.
第10讲§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系
¤知识要点:
1.直线与平面的位置关系:
(1)直线在平面内(有无数个公共点);
(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线与平面平行(没有公共点).分别记作:
;;.
2.两平面的位置关系:
平行(没有公共点);相交(有一条公共直线).分别记作;.
¤例题精讲:
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小.
解:
分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性质知PN∥AB,PM∥CD,于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).连结MN、DN,设AB=2,∴PM=PN=1.而AN=DN=,由MN⊥AD,AM=1,得MN=,
∴MN2=MP2+NP2,∴∠MPN=90°.∴异面直线AB、CD成90°角.
【例2】在空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD的中点,若AC+BD=a,ACBD=b,求.
解:
四边形EFGH是平行四边形,
=2=.
A
B
C
D
E
F
G
H
【例3】已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且.求证:
(1)E、F、G、H四点共面;
(2)三条直线EF、GH、AC交于一点.
证明:
(1)在△ABD和△CBD中,∵E、H分别是AB和CD的中点,∴EHBD.
又∵,∴FGBD.∴EH∥FG.所以,E、F、G、H四点共面.
第11讲§2.2.1直线与平面平行的判定
¤知识要点:
1.定义:
直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.
2.判定定理:
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.符号表示为:
.图形如右图所示.
¤例题精讲:
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别为AB、PD的中点,求证:
AF∥平面PEC
证明:
设PC的中点为G,连接EG、FG.∵F为PD中点,∴GF∥CD且GF=CD.
∵AB∥CD,AB=CD,E为AB中点,
∴GF∥AE,GF=AE,四边形AEGF为平行四边形.
∴EG∥AF,
又∵AF平面PEC,EG平面PEC,∴AF∥平面PEC.
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱BC、C1D1的中点.求证:
EF∥平面BB1D1D.
证明:
连接AC交BD于O,连接OE,则OE∥DC,OE=DC.
∵DC∥D1C1,DC=D1C1,F为D1C1的中点,
A
B
C
D
E
F
G
M
O
∴OE∥D1F,OE=D1F,四边形D1FEO为平行四边形.∴EF∥D1O.
又∵EF平面BB1D1D,D1O平面BB1D1D,∴EF∥平面BB1D1D.
【例3】如图,已知、、、分别是四面体
的棱、、、的中点,求证:
∥平
面.
证明:
如右图,连结,交于点,连结,
在中,、分别是、中点,∴,
∵为中点,∴为中点,
在中,∵、为、中点,∴,
又∵平面,平面,∴∥平面.
点评:
要证明直线和平面平行,只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.
【例4】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点
(1)求证:
MN//平面PAD;
(2)若,,求异面直线PA与MN所成的角的大小.
解:
(1)取PD的中点H,连接AH,由N是PC的中点,∴NH.由M是AB的中点,∴NHAM,即AMNH为平行四边形.∴.
由,∴.
(2)连接AC并取其中点为O,连接OM、ON,∴OMBC,ONPA,所以就是异面直线PA与MN所成的角,且MO⊥NO.由,,得OM=2,ON=所以,即异面直线PA与MN成30°的角
点评:
已知中点,牢牢抓住中位线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角,方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而得.
第12讲§2.2.2平面与平面平行的判定
¤知识要点:
面面平行判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.用符号表示为:
.
¤例题精讲:
【例1】如右图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证:
平面MNP∥平面A1BD.
A1
A
B1
B
C1
C
D1
D
G
E
F
证明:
连结B1D1,∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点,∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD,∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上,∴PN∥平面A1BD.同理,MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N,∴平面PMN∥平面A1BD.
【例2】正方体ABCD—A1B1C1D1中.
(1)求证:
平面A1BD∥平面B1D1C;
(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:
平面EB1D1∥平面FBD.
证明:
(1)由B1BDD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,∴B1D1∥BD,
又BDË平面B1D1C,B1D1平面B1D1C,∴BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C.而A1D∩BD=D,∴平面A1BD∥平面B1CD.
(2)由BD∥B1D1,得BD∥平面EB1D1.取BB1中点G,∴AE∥B1G.
从而得B1E∥AG,同理GF∥AD.∴AG∥DF.∴B1E∥DF.
N
M
P
D
C
Q
B
A
∴DF∥平面EB1D1.∴平面EB1D1∥平面FBD.
【例3】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M、N、Q分别在PA、BD、PD上,且PM:
MA=BN:
ND=PQ:
QD.求证:
平面MNQ∥平面PBC.
证明:
PM:
MA=BN:
ND=PQ:
QD.∴MQ//AD,NQ//BP,
而BP平面PBC,NQ平面PBC,∴NQ//平面PBC.
又ABCD为平行四边形,BC//AD,∴MQ//BC,
而BC平面PBC,MQ平面PBC,∴MQ//平面PBC.
由MQNQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,∴平面MNQ∥平面PBC.
点评:
由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一个平面后,转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.
第13讲§2.2.3直线与平面平行的性质
β
¤知识要点:
线面平行的性质:
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
即:
.
¤例题精讲:
【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E,求证:
E1E∥B1B
证明:
∵,
∴.
又,
∴.
则.
【例2】如图,,,,,求证:
.
A
B
C
D
β
证明:
连结,
∵,
∴直线和可以确定一个平面,记为,
∵,,∴,
∵,,
∴,
又∵,
∴四边形为平行四边形,∴.
第14讲§2.2.4平面与平面平行的性质
¤知识要点:
1.面面平行的性质:
如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.用符号语言表示为:
.2.其它性质:
①;②;③夹在平行平面间的平行线段相等.
¤例题精讲:
【例1】如图,设平面α∥平面β,AB、CD是两异面直线,M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、D∈β.求证:
MN∥α.
证明:
连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE,
则ME∥AC,∴ME∥平面α,又NE∥BD,∴NE∥β,
又ME∩NE=E,∴平面MEN∥平面α,∵MN平面MEN,∴MN∥α.
【例2】如图,A,B,C,D四点都在平面a,b外,它们在a内的射影A1,B1,C1,D1是平行四边形的四个顶点,在b内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上,求证:
ABCD是平行四边形.
证明:
∵A,B,C,D四点在b内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上,
∴A,B,C,D四点共面.
又A,B,C,D四点在a内的射影A1,B1,C1,D1是平行四边形的四个顶点,
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1.
∴AB,CD是平面ABCD与平面ABB1A1,平面CDD1C1的交线.
∴AB∥CD.同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
第15讲§2.3.1直线与平面垂直的判定
¤知识要点:
1.定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,则直线与平面互相垂直,记作.-平面的垂线,-直线的垂面,它们的唯一公共点叫做垂足.(线线垂直线面垂直)
2.判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为:
若⊥,⊥,∩=B,Ì,Ì,则⊥
3.斜线和平面所成的角,简称“线面角”,它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过解直角三角形求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.
¤例题精讲:
【例1】四面体中,分别为的中点,且,,求证:
平面.
证明:
取的中点,连结,∵分别为的中点,∴,.
又∴,∴在中,,∴,∴,又,即,,∴平面.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B1的中点,求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解:
取CD的中点F,连接EF交平面于O,连AO.由已知正方体,易知平面,所以为所求.在中,,,.
所以直线AE与平面所成的角的正弦值为.
【例3】三棱锥中,,平面ABC,垂足为O,求证:
O为底面△ABC的垂心.
证明:
连接OA、OB、OC,∵平面ABC,∴.
又∵,
∴,得,
∴O为底面△ABC的垂心.
点评:
此例可以变式为“已知,求证”,其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明.三条侧棱两两垂直时,也可按同样的思路证出.
第16讲§2.3.2平面与平面垂直的判定
¤知识要点:
1.定义:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角(dihedralangle).这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.记作二面角.(简记)
2.二面角的平面角:
在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面内分别作垂直于棱的射线和,则射线和构成的叫做二面角的平面角.范围:
.
3.定义:
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.记作.
4.判定:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.(线面垂直面面垂直)
¤例题精讲:
【例1】已知正方形ABCD的边长为1,分别取边BC、CD的中点E、F,连结AE、EF、AF,以AE、EF、FA为折痕,折叠使点B、C、D重合于一点P.
(1)求证:
AP⊥EF;
(2)求证:
平面APE⊥平面APF.
证明:
(1)如右图,∵∠APE=∠APF=90°,PE∩PF=P,
∴PA⊥平面PEF.∵EF平面PEF,∴PA⊥EF.
(2)∵∠APE=∠EPF=90°,AP∩PF=P,∴PE⊥平面APF.
又PE平面PAE,∴平面APE⊥平面APF.
【例2】如图,在空间四边形ABCD中,分别是的中点,求证:
平面平面.
证明:
为AC中点,所以.
同理可证∴面BGD.
又易知EF//AC,则面BGD.
又因为面BEF,所以平面平面.
第17讲§2.3.3线面、面面垂直的性质
¤知识要点:
1.线面垂直性质定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行.(线面垂直线线平行)2.面面垂直性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直