高中数学数列求和方法Word文件下载.doc

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可进行分组即：

前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和

（注：

）

（3）裂项法：

如，求Sn，常用的裂项，；

（4）错位相减法：

其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比如：

求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+（2n－1）xn－1注意讨论x，

（5）倒序求和：

等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。

如求证：

Cn0+3Cn1+5Cn2+…

+（2n—1）Cnn=（n+1）2n

►名题归类例释

错位相减法：

例1求数例1，3a，5a2，7a3，…（2n－1）an-1，…（a≠1）的前n项和．

　解：

因Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋（2n－1）an-1，

（1）

（1）×

a得

aSn=a＋3a2＋5a3＋…（2n－3）an-1＋（2n－1）an，

（2）

　　两式相减得

　　（1－a）Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－（2n－1）an

　　=2（1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1）－（2n－1）an-1

　　=

所以:

裂项求和法：

例2求和：

解：

，

分部求和法：

例3已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求

首先由

则

倒序相加法：

例4设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：

因为

（1）

（2）

（1）+

（2）得

常规题型：

例1．已知数列中，是其前项和，并且，

⑴设数列，求证：

数列是等比数列；

⑵设数列，求证：

数列是等差数列；

（1）由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4（a-a），

即a=4a-4a．

a-2a=2（a-2a），又b=a-2a，所以b=2b　　　①

已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3　　②

由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·

2．

例2．设二次方程x-+1x+1=0（n∈N）有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

（1）试用表示a；

（2）

例3．数列中，且满足

⑴求数列的通项公式；

⑵设，求；

（1）由题意，，为等差数列，设公差为，

由题意得，.

（2）若，

时，

故

►连线高考

填空题：

1、（湖南卷）若数列满足：

，2，3….则　　　　　　.

数列满足：

，2，3…，该数列为公比为2的等比数列，

∴.

2、（山东卷）设为等差数列的前n项和，＝14，S10－＝30，则S9＝　　　　.

设等差数列的首项为a1，公差为d，由题意得

，联立解得a1=2,d=1，所以S9＝

3、（浙江卷）设为等差数列的前项和，若,则公差为　　　（用数字作答）。

解析：

设首项为，公差为，由题得

4、（重庆卷）在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3（n≥1）,则该数列的通项an=_________.

在数列中，若，∴，即{}是以为首项，2为公比的等比数列，，所以该数列的通项.

解答题：

5、（北京卷）设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn.

（Ⅰ）若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.

解：

（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,

又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.

因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…

（Ⅱ）由得即

由①+②得－7d＜11。

即d＞－。

由①+③得13d≤－1，即d≤－

于是－＜d≤－

又d∈Z,故d=－1

将④代入①②得10＜a1≤12.

又a1∈Z,故a1=11或a1=12.

所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…

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