高一数学集合知识点归纳及典型例题.doc
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高一数学集合知识点归纳及典型例题
一、、知识点:
本周主要学习集合的初步知识,包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。
本章知识结构
1、集合的概念
集合是集合论中的不定义的原始概念,教材中对集合的概念进行了描述性说明:
“一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)”。
理解这句话,应该把握4个关键词:
对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的,它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N+、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示方法
(1)列举法的表示形式比较容易掌握,并不是所有的集合都能用列举法表示,同学们需要知道能用列举法表示的三种集合:
①元素不太多的有限集,如{0,1,8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集,如{1,2,3,…,100}
③呈现一定规律的无限集,如{1,2,3,…,n,…}
●注意a与{a}的区别
●注意用列举法表示集合时,集合元素的“无序性”。
(2)特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准,然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外,弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y=x2},{y|y=x2},{(x,y)|y=x2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系
“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。
掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概念,学会正确使用“”等符号,会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。
5、集合的运算
集合运算的过程,是一个创造新的集合的过程。
在这里,我们学习了三种创造新集合的方式:
交集、并集和补集。
一方面,我们应该严格把握它们的运算规则。
同时,我们还要掌握它们的运算性质:
还要尝试利用Venn图解决相关问题。
二、典型例题
例1.已知集合,若,求a。
解:
根据集合元素的确定性,得:
若a+2=1,得:
,但此时,不符合集合元素的互异性。
若,得:
。
但时,,不符合集合元素的互异性。
若得:
,都不符合集合元素的互异性。
综上可得,a=0。
【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依据。
确定性是入手点,互异性是检验结论的工具。
例2.已知集合M=中只含有一个元素,求a的值。
解:
集合M中只含有一个元素,也就意味着方程只有一个解。
(1),只有一个解
(2)
.
综上所述,可知a的值为a=0或a=1
【小结】熟悉集合语言,会把集合语言翻译成恰当的数学语言是重要的学习要求,另外多体会知识转化的方法。
例3.已知集合且BA,求a的值。
解:
由已知,得:
A={-3,2},若BA,则B=Φ,或{-3},或{2}。
若B=Φ,即方程ax+1=0无解,得a=0。
若B={-3},即方程ax+1=0的解是x=-3,得a=。
若B={2},即方程ax+1=0的解是x=2,得a=。
综上所述,可知a的值为a=0或a=,或a=。
【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。
例4.已知方程有两个不相等的实根x1,x2.设C={x1,x2},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10},若,试求b,c的值。
解:
由,那么集合C中必定含有1,4,7,10中的2个。
又因为,则A中的1,3,5,7,9都不在C中,从而只能是C={4,10}
因此,b=-(x1+x2)=-14,c=x1x2=40
【小结】对的含义的理解是本题的关键。
例5.设集合,
(1)若,求m的范围;
(2)若,求m的范围。
解:
(1)若,则B=Φ,或m+1>5,或2m-1<-2
当B=Φ时,m+1>2m-1,得:
m<2
当m+1>5时,m+1≤2m-1,得:
m>4
当2m-1<-2时,m+1≤2m-1,得:
m∈Φ
综上所述,可知m<2,或m>4
(2)若,则BA,
若B=Φ,得m<2
若B≠Φ,则,得:
综上,得m≤3
【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。
例6.已知A={0,1},B={x|xA},用列举法表示集合B,并指出集合A与B的关系。
解:
因为xA,所以x=Φ,或x={0},或x={1},或x=A,
于是集合B={Φ,{0},{1},A},从而A∈B
三、练习题
1.设集合M=则()
A. B. C.a=M D.a>M
2.有下列命题:
①是空集②若,则③集合有两个元素④集合为无限集,其中正确命题的个数是()
A.0 B.1 C.2 D.3
3.下列集合中,表示同一集合的是()
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={(2,3)}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={2,1}
4.设集合,若,则a的取值集合是()
A. B.{-3} C. D.{-3,2}
5.设集合A={x|1A. B. C. D.
6.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B的关系是()
A.AB B.BA C.A=B D.AB
7.已知M={x|y=x2-1},N={y|y=x2-1},那么M∩N=()
A.Φ B.M C.N D.R
8.已知A={-2,-1,0,1},B={x|x=|y|,y∈A},则集合B=_________________
9.若,则a的值为_____
10.若{1,2,3}A{1,2,3,4,5},则A=____________
11.已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N表示相同的集合,求a,b的值
12.已知集合求实数p的范围。
13.已知,且A,B满足下列三个条件:
①②③Φ,求实数a的值。
四、练习题答案
1.B 2.A 3.D 4.C 5.A 6.B 7.C
8.{0,1,2}
9.2,或3
10.{1,2,3}或{1,2,3,4}或{1,2,3,5}或{1,2,3,4,5}
11.解:
依题意,得:
或,解得:
,或,或
结合集合元素的互异性,得或。
12.解:
B={x|x<-1,或x>2}
①若A=Φ,即,满足AB,此时
②若,要使AB,须使大根或小根(舍),解得:
所以
13.解:
由已知条件求得B={2,3},由,知AB。
而由①知,所以AB。
又因为Φ,故A≠Φ,从而A={2}或{3}。
当A={2}时,将x=2代入,得
经检验,当a=-3时,A={2,-5};当a=5时,A={2,3}。
都与A={2}矛盾。
当A={3}时,将x=3代入,得
经检验,当a=-2时,A={3,-5};当a=5时,A={2,3}。
都与A={2}矛盾。
综上所述,不存在实数a使集合A,B满足已知条件。