数列知识点归纳及例题分析Word格式.docx
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na1（q1）
Sna1q"
a1anq（q1）
1q1q
中项公式
A2（n,kN,nk0）
GVankank（n,kN*,nk0）
例题:
31
an—1
例4（等差数列的判定或证明）：
已知数列｛an｝中，ai=z,an=2—（n》2,n
5c
*1*
€N），数列｛bn｝满足bn=—;
（n€N）.
（1）求证：
数列｛bn｝是等差数列；
（2）求数列｛an｝中的最大项和最小项，并说明理由.
1*1
（1）证明an=2—（nA2，n€N），bn=-.
an-1an—1
1一1
1an—1一1
2-—一1
an—1
an一1一1an—；
一1=j
an—1
5
•••数列｛bn｝是以一2为首项，1为公差的等差数列.
712
（2）解由
（1）知，bn=门一2，贝Uan=1+b=1+2n一7,
2
设函数f（x）=1+2x^7,
易知f（x）在区间一^,2和2，+x内为减函数.
•••当n=3时，an取得最小值一1;
当n=4时，an取得最大值3.
例5（等差数列的基本量的计算）设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列｛an｝的前n项和为S,满足SS+15=0.
（1）若S=5,求S及a1
⑵求d的取值范围.
一15
解
（1）由题意知S3=S=一3,a6=S3—$=—8.
5a1+10d=5,所以“C
a1+5d=—8.
解得a1=7,所以S6=—3,a1=7.
⑵方法一•••S5S6+15=0,
•（5a1+10d）（6a1+15d）+15=0,
即2a2+9da1+10d2+1=0.
因为关于a1的一元二次方程有解，所以
△=81d2—8（10d2+1）=d2—8>
0,
解得dw—2边或d>
2（2.
方法二VS5S6+15=0,
9da1+10d2+1=0.
故（4a1+9d）=d一8.所以d》8.
故d的取值范围为dw—2边或d>
2寸2.
例6（前n项和及综合应用）
（1）在等差数列｛an｝中，已知a1=20,前n项和为
S,且810=S15,求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；
⑵已知数列｛an｝的通项公式是an=4n—25,求数列｛|釦｝的前n项和.
解方法一ai=20,So=Si5,
•10X20+^0汽1=15X20+d=—5.
5565
--an=20+（n一1）X—3=一3n+-3.
•••a13=0,即当nw12时，an>
0,n》14时，an<
0,
12X11
•••当n=12或13时，S取得最大值，且最大值为$3=S2=12X20+——X
方法二同方法一求得
=130.
d=-3.
nn—1
•-S1=20n+2—
55212552523125
——=——n+n=——n———+
36+662+24.
n€N，二当n=12或13时，S有最大值，且最大值为S2=S3=130.
（2）an=4n—25,an+1=4（n+1）—25,
•-an+1—an=4=d,又a1=4X1—25=—21.
所以数列｛an｝是以一21为首项，以4为公差的递增的等差数列.
an=4n—25<
0,①
令
an+1=4n+1—25》0,②由①得n<
64；
由②得n》54,所以n=6.即数列｛|呦的前6项是以21为首项,公差为一4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，
而|a7|=a7=4X7—24=3.
设｛|an|｝的前n项和为Tn,则
nW6
21n+2X—4
Tn=
X4n》7
n—6
66+3n—6+
—2n+23nnw6,
例8等差数列｛an｝,｛bn｝的前n项和分别为｛Sn
On
b为正整数的正整数
bn
n的个数是_3
例9已知数列4中,
ai
1，当n>
2时,
数列an的通项公式为
an
1一32
S
｝，｛Tn｝，且T
In
n_7¥
+号5，则使得
（先求an/bnn=5,13,35）
其前n项和Sn满足On2&
，贝y
2Sn1
例10在数列｛an｝中，a12，an1anln（1丄），则an2"
"
.
n
a的等比中项，则a+3b的最大值为2.
2cos20,23cos30，…，前100项之和为0,则0的值
例11设5/3^是1a和1
例12若数列1,2cos0,2
为
2r,kZ）
△ABC的三内角成等差数列，三边成等比数列，则三角形的形状为—等边
（2k
例13
三角形
三、数列求和：
（1）倒序相加法
如：
已知函数f（x）
飞・（xR），求Smf（-）
42m
f（—）L
m
f（—）
（2）
错位相减法:
anbn其中｛an｝是等差数列,
bn是等比数列。
（4）
裂项相消法:
拆项分组法:
an2n3n,
形如
6n
2n
（AnB）（AnC）
CB'
AnBAnC）
Cn,
（n为奇数）
（n为偶数）
/八n12
（1）n
练习:
1、数列1，
A•壬
2n1
123
2、数列中汽计,
3、数列an的通项公式为
4、设S.11丄L
2612
n2
前n项和Sn
，且SnSn1
5、设nN*，关于n的函数f（n）（前100项的和a1a2a3解答：
anf（n）f（n1）（
（1）n（2n1），所以a1
a2
的前n项和为（B）
Si00=
1）n1
f（n）f（n
a100
1）n1
a3
n2，若an
•答案：
100.
n2
（1）n（n1）2
（1）n[（n
a100（3）5（7）9
1），则数列｛an｝
1）2
（199）201
n2],
250100.
四、求数列通项式
公式法：
an1
Jan1,2anan1anan1,an1~等
叩2an1
累加法：
anan1
f（n）（n2）或anan1f（n）,且f（n）不为常数
（3）
累乘法：
f（n）（n2）且f（n）不为常数
待定系数法：
形如an1
kanb,（k0,1,其中a1
a）型
转换法：
已知递推关系
f（Sn,an）0Snan
Sn
a1,（n1）
Sn1,（n2）
解题思路：
利用an
变化
（1）已知f（Sn1，an
1）0；
（2）
已知f（Sn,Sn
Snl）
（6）猜想归纳法（慎用）练习：
考点三：
数列的通项式
1、
在数列an中，前n项和Sn4n2
8,则通项公式an
3、
已知数列的前n项和Sn3
2n,则an
5n1
an2n1n2
4、
已知数列an,a1
2,an
1an
3n
2，则
n*）
5、
在数列an中，a1
2,an
anIg
（n
如果数列
a1
3,
an15anan1（nN）,则
7、
{an}满足a11,an1
3an1
则an=
3n2
8、已知数列an的首项a1
2,且an12an1,则通项公式an
2n11
9、若数列an满足d2,an13务2nN,则通项公式an
10、如果数列an的前n项和Sn
3，那么这个数列的通项公式是（D）
A.an2（n2n1）
B.
an32n
C.an3n1
D.
an23n
五、数列应用题：
等差数列模型
假设维护费第一年为1000元，以后每年增加
1、一种设备的价格为450000元，
。
30年
1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为2、在一次人才招聘会上，有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准：
甲公司：
第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；
乙公司：
第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初同时被甲、乙公司录取，试问：
（1）若该人打算连续工作n年，则在第n年的月工资收入分别是多少元
（2）若该人打算连续工作10年，且只考虑工资收入的总量，该人应该选择哪家公司为什么（精确到1元）
解:
（1）设在甲公司第n年的工资收入为an元，在乙公司第n年的工资收入为g
总收入为S甲，在甲公司的总收入为
301869
比2000（11.05n）12
11.05
由于S甲S乙，所以该人应该选择甲公司.
等比数列模型
例从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展
旅游产业，根据计划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年度减少-
本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加丄。
4
（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，
写出an、bn的表达式;
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入（精确到整数）
参考解答:
总投入.
S648，则｛an｝的公差为（
2.（2017年新课标n卷理）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是:
一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍
则塔的顶层共有灯（
等比数列，贝Uan前6项的和为（
A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.（2017年新课标I）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件
为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活
动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列
，再接
100且
1,1,2,124,124,8,1,2,4,8,16,其中第一项是2°
，接下来的两项是20,21
下来的三项是20,21,22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N:
N
该数列的前N项和为2的整数幕.那么该款软件的激活码是（
（将正确的答案填在题中横线上）
则-k1Sk
a4
三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
10.（2017年新课标n文）已知等差数列｛an｝前n项和为&
，等比数列｛g｝前n项
和为Tn,a11,b11,a2b?
2.（〔）若a3d5，求｛bn｝的通项公式；
（2）若T321，求S3.
11.（2017年新课标I文）记Sn为等比数列an的前n项和，已知S22,S36.
13.（2017年天津卷文）已知｛an｝为等差数列，前n项和为Sn（nN）,｛g｝是首项
a1a?
6,a1a2a3.
（1）求数列｛an｝的通项公式;
（2）｛bn｝为各项非零等差数列，前n项和Sn,已知S2n16^1,求数列一前n
项和Tn
15.（2017年天津卷理）已知｛an｝为等差数列，前n项和为Sn（nN），｛bn｝是首
项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312,b3a42印，S11血
（1）求｛an｝和｛bn｝的通项公式;
（2）求数列｛a2nb2n1｝的前n项和（nN）.
16.（2017年北京卷理）设｛an｝和｛bn｝是两个等差数列，记
其中max｛xi,X2,,Xs｝表示Xi,X2,,Xs这s个数中最大的数.
CnM；
或者存
（1）若ann，bn2n1,求“①心的值，并证明｛阳是等差数列;
（2）证明：
或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时,
在正整数m，使得Cm,Cm1,Cm2,是等差数列.
17.（2017年江苏卷）对于给定的正整数k，若数列｛an｝满足:
ankank1Lan1an1Lank1ank2kan对任意正整数
n（n
k）总成立，则称
数列｛an｝是“P（k）数列”.
（1）证明：
等差数列｛an｝是“P（3）数列”；
数列.
18.
（本小题满分12分）
P（X1,1）,P（X2,2）,,Pn1（Xn1,n1）得到折线P1P2Pn1，
求由该折线与直线y0,XX1,XXn1所围成的区域的面积Tn.
19.
N）.
（2017年浙江卷）已知数列{xn}满足：
X11,XnXn1ln（1Xn1）（n
证明：
当nN时,
（1）0Xn1Xn；
（2）2Xn1Xn
（3）洛Xn
'
an—1an—1—1
2n—23n+132n》7
例7已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为」
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