立体几何线面垂直的证明.doc

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立体几何证明

【知识梳理】

1.直线与平面平行

判定定理：

如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行线面平行”）

性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行线线平行”）

2.．直线与平面垂直

判定定理一如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直线面垂直”）

判定定理二：

如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.

性质1.如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线。

（线面垂直线线垂直）

性质2：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

三。

平面与平面

空间两个平面的位置关系：

相交、平行.

1.平面与平面平行

判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（“线面平行面面平行”）

2.两个平面垂直

判定定理：

如果一条直线与一个平面垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直面面垂直”）

性质定理：

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.（面面垂直线面垂直）

知识点一

【例题精讲】

1.在棱长为2的正方体中，E、F分别为、DB的中点。

（1）求证：

EF//平面；

（2）求证：

平面BEF；

（3）求三棱锥的体积V.

2.如图所示,四棱锥PABCD底面是直角梯形,底面ABCD,E为PC的中点,PA＝AD＝AB＝1.

（1）证明:

;

（2）证明:

;

（3）求三棱锥BPDC的体积V.

3、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点，证明：

（1）AE⊥CD

（2）PD⊥平面ABE．

4、.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：

AB⊥A1C；

练习

1、如图，菱形ABCD与等边△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．

（Ⅰ）证明：

AD⊥PB；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PAB的高．

2.如图1­4所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．求证：

EF⊥平面BCG；

3.如图1­1所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

（1）证明：

AC1⊥A1B；

4、如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．（Ⅰ）求证：

BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．

5、三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA=PB=PC=BC=2AB=2，

（1）求证：

面PBC⊥面ABC

6.已知四棱锥P-ABCD中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC的中点.

（1）求证:

PA∥平面EDB;

（2）求证:

平面EDB⊥平面PBC;

7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．

（1）求证：

AP∥平面BDE；

2.求证BE垂直平面PAC

8、将如图一的矩形ABMD沿CD翻折后构成一四棱锥M﹣ABCD（如图二），若在四棱锥M﹣ABCD中有MA=．

（1）求证：

AC⊥MD；

（2）求四棱锥M﹣ABCD的体积．

作业

1、如图1，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B﹣ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=6．

（Ⅰ）求证：

OD⊥平面ABC；

2、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，O是AC的中点，A1O⊥平面ABC，∠BCA=90°，AA1=AC=BC．（Ⅰ）求证：

A1B⊥AC1；

3、如图所示，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=．（Ⅰ）求证：

PC⊥AD；

4、如图，四棱锥P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．

（Ⅰ）求证：

AP∥平面BEF；

（Ⅱ）求证：

BE⊥平面PAC．

5、如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=1，SD=．

（1）证明：

CD⊥SD；

6.如图，四棱锥S﹣ABCD中，△ABD是正三角形，CB=CD，SC⊥BD．

（Ⅰ）求证：

SB=SD；（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为棱SA的中点，求证：

DM∥平面SBC．

7、如图，在矩形中，点为边上的点，点为边的中点，,现将沿边折至位置，且平面平面.

（1）求证：

平面平面；

8、如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

且∠DAB=60，,PB=2,

E,F分别是BC,PC的中点．

（1）证明：

AD平面DEF;

9、在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．　

（Ⅰ）求证：

平面平面

10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点.

（Ⅱ）求证：

平面；

11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是

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