立体几何证明方法总结.docx
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立体几何证明方法总结
一、线线平行的证明方法：
1、利用平行四边形。
2、利用三角形或梯形的中位线。
3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（线面平行的性质定理）
4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）
5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）
6、平行于同一条直线的两条直线平行。
7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）
二、线面平行的证明方法：
1、定义法：
直线与平面没有公共点。
2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）
3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法：
1、定义法：
两平面没有公共点。
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）
3、平行于同一平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。
5、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法：
1、勾股定理。
2、等腰三角形。
3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角是直角。
5、点在线上的射影。
6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理，需证明）
8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线逆定理，需证明）
9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
五、线面垂直的证明方法：
1、定义法：
直线与平面内任意直线都垂直。
2、点在面内的射影。
3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
（线面垂直的判定定理）
4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
（面面垂直的性质定理）
5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。
6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。
7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。
8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。
9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。
六、面面垂直的证明方法：
1、定义法：
两个平面的二面角是直二面角。
2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
（面面垂直的判定定理）
3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。
4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。
一．选择题（共27小题）
1．（2010?
浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A．
若l⊥m，m?
α，则l⊥α
B．
若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．
若l∥α，m?
α，则l∥m
D．
若l∥α，m∥α，则l∥m
2．（2006?
湖南）过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A．
4条
B．
6条
C．
8条
D．
12条
3．“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（ ）
A．
充分不必要条件
B．
必要不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
4．已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①
∥n；②
∥α；③
；④
．
其中正确命题的序号是（ ）
A．
①②
B．
②④
C．
②③
D．
①④
5．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1、CD、B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是（ ）
A．
AE丄CG
B．
AE与CG是异面直线
C．
四边形ABC1F是正方形
D．
AE∥平面BC1F
6．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A．
一条直线不相交
B．
两条直线不相交
C．
任意一条直线都不相交
D．
无数条直线不相交
7．α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A．
α⊥β，且a⊥β
B．
α∩β=b，且a∥b
C．
a∥b，且b∥α
D．
α∥β，且a?
β
8．已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（ ）
A．
若a?
β，且α∥β，则a∥α
B．
若b?
α，a∥b，则a∥α
C．
若a∥β，α∥β，则a∥α
D．
若b∥α，a∥b，则a∥α
9．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A．
①、③
B．
①、④
C．
②、③
D．
②、④
10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a、b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．其中正确命题是（ ）
A．
③
B．
④
C．
①③
D．
②④
11．已知两条直线a，b和平面α，若b?
α，则a∥b是a∥α的（ ）
A．
充分但不必要条件
B．
必要但不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分又不必要条件
12．已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A．
存在一条直线b，a∥b，b?
α
B．
存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C．
存在一个平面β，a?
β，α∥β
D．
存在一个平面β，a⊥β，a⊥β
13．已知α，β表示平面，a，b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A．
a⊥β，α⊥β
B．
a⊥β=b，a∥b
C．
a∥b，b∥α
D．
α∥β，a?
β
14．A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题
①
?
a∥b②
?
a∥b③
?
α∥β
④
?
α∥β⑤
?
α∥a⑥
?
α∥a
其中正确的命题是（ ）
A．
①②③
B．
①④⑤
C．
①④
D．
①③④
15．下列说法正确的是（ ）
A．
垂直于同一平面的两平面也平行
B．
与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C．
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．
垂直于同一直线的两平面平行
16．已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A．
若m∥α，n∥α，则m∥n
B．
若m∥α，m∥β，则α∥β
C．
若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．
若m⊥n，m⊥β，则n∥β
17．已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A．
a⊥b，b⊥α
B．
a∥β，β∥α
C．
b?
α，a∥b
D．
a∥b，b∥α，a?
α
18．A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）
A．
0
B．
1条
C．
2条
D．
3条
19．（2010?
山东）在空间，下列命题正确的是（ ）
A．
平行直线的平行投影重合
B．
平行于同一直线的两个平面平行
C．
垂直于同一平面的两个平面平行
D．
垂直于同一平面的两条直线平行
20．（2008?
湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．
若m∥α，n∥α，则m∥n
B．
若m?
α，n?
α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．
若α⊥β，m?
α，则m⊥β
D．
若α∥β，m⊥β，m?
α，则m∥α
21．（2008?
福建）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2008?
安徽）两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．
若m∥?
，n∥?
，则m∥n
B．
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．
若m∥α，m∥β，则α∥β
D．
若m⊥α，n⊥α，则m∥n
23．（2007?
辽宁）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
若m?
β，α⊥β，则m⊥α
B．
若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．
若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．
若m⊥β，m∥α，则α⊥β
24．（2007?
江苏）已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α?
n⊥α②α∥β，m?
α，n?
β?
m∥n
③m∥n，m∥α?
n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α?
n⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A．
①③
B．
②④
C．
①④
D．
②③
25．（2002?
北京）已知三条直线m、n、l，三个平面a、b、g，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．已知直线m?
平面α，直线n?
平面α，“直线c⊥m，直线c⊥n”是“直线c⊥平面α”的（ ）
A．
充分而不必要条件
B．
必要而不充分条件
C．
充要条件
D．
既不充分也不必要条件
27．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与平面α的位置关系是（ ）
A．
一定平行
B．
不平行
C．
平行或相交
D．
平行或在平面内
二．填空题（共3小题）
28．如图：
点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A﹣D1PC的体积不变；
②A1P∥面ACD1；
③DP⊥BC1；
④面PDB1⊥面ACD1．
其中正确的命题的序号是
_________ ．
29．考察下列三个命题，在“﹣﹣”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l，m为不同的直线，α、β为不重合的平面），则此条件为 _________ ．
①
?
l∥α，②
?
l∥α，③
?
l∥α
30．在正四面体PABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点．给出下面四个结论：
①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC，
其中所有不正确的结论的序号是 _________ ．
1.分析：
根据题意，依次分析选项：
A，根据线面垂直的判定定理判断．C：
根据线面平行的判定定理判断．D：
由线线的位置关系判断．B：
由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
解答：
解：
A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：
l∥α，m?
α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：
平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：
由线面垂直的性质可知：
平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选B
2.
：
解：
如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，
其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，
故选D．
3
3解答：
解：
若“直线l与平面α无公共点”成立，则“l∥α”
即“直线l与平面α无公共点”?
“l∥α”为真命题
反之，当“l∥α”时，“直线l与平面α无公共点”
即“l∥α”?
“直线l与平面α无公共点”也为真命题
根据充要条件的定义可得：
直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的充要条件
故选C
4解答：
4：
①
?
m∥n，根据线面垂直的性质定理：
垂直于同一平面的两直线平行，故①正确．
②
?
n∥α，由m⊥α，m⊥n得n∥α或n?
α，故②不正确．
③
?
m∥n，由m∥α，n∥α，则m，n可能平行、可能相交、可能异面．故③不正确．
④
，则m，n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m⊥n．故④正确．
故选D．
分析：
5根据正方体的几何特征，可以判断出AE与CG相交，但不垂直，由此可以判断出A，B的真假，分析四边形ABC1F中各边的长度，即可判断C的真假，由线面平行的判定定理，可以判断出D的真假，进而得到答案．
解答：
解：
由正方体的几何特征，可得AE丄C1G，
但AE与平面BCB1C1不垂直，
故AE丄CG不成立；
由于EG∥AC，故A，E，B，C四点共线
∴AE与CG是异面直线错误；
四边形ABC1F中，AB≠BC1，故四边形ABC1F是正方形错误；
而AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F
故选D
点评：
6解答：
解：
∵直线与平面平行，由其性质可知：
∴这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，
A一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A错误；
B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故B错误；
D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故D错误；
故选C．
点评：
此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：
如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：
三个不共线的点确定一个平面
推论一：
直线及直线外一点确定一个平面
推论二：
两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
7解答：
解：
A、还可能有a?
α，所以不正确
B、因为a不一定在β内，所以不正确
C、还可能有a?
α，所以不正确
D、α∥β，且a?
β由面面平行的性质定理可知是正确的．
故选D
点评：
本题主要考查线线，线面，面面的平行及垂直间的相互转化，一定要注意常见结论的严密性．
8解答：
解：
A、∵α∥β，又a?
β，∴a∥α故A正确；
B、∵b?
α，a∥b，若a?
α，则a不可能与α平行，故B错误；
C、∵a∥β，α∥β，若a?
α，则结论不成立，故C错误；
D、∵b∥α，a∥b，若a?
α，则结论不成立，故D错误；
故A正确；
点评：
此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：
如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：
三个不共线的点确定一个平面
推论一：
直线及直线外一点确定一个平面
推论二：
两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
9分析：
对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可．
解答：
解：
对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．
对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；
对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；
故选B．
点评：
本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．
10解答：
解：
①a与b可以相交，故①错误；
②∵α与β可以垂直，故②错误；
③∵a⊥α，b⊥β，a⊥b，?
α⊥β，故③正确；
④∵a、b在平面α内的射影互相垂直，a与b不一定是垂直的，有可能斜交，故④错误；
故选A．
点评：
此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：
如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：
三个不共线的点确定一个平面
推论一：
直线及直线外一点确定一个平面
推论二：
两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
11解答：
解：
当b?
α是
若a∥b时，a与α的关系可能是a∥α，也可能是a?
α，即a∥α不一定成立，故a∥b?
a∥α为假命题；
若a∥α时，a与b的关系可能是a∥b，也可能是a与b异面，即a∥b不一定成立，故a∥α?
a∥b也为假命题；
故a∥b是a∥α的既不充分又不必要条件
故选D
点评：
本题考查的知识点是充要条件，直线与平面平行关系的判断，先判断a∥b?
a∥α与a∥α?
a∥b的真假，然后利用充要条件的定义得到结论是证明充要条件的常规方法，要求大家熟练掌握．
12解答：
解：
A、直线a在α内时，不正确
B、直线a在α内时，不正确
C、面面平行的性质定理知正确
D、直线a在α内时，不正确
故选C
点评：
本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面．
13解答：
解：
选项A，a⊥β，α⊥β?
a∥α或a?
α
选项B，a⊥β=b，a∥b?
a∥α或a?
α
选项C，a∥b，b∥α?
a∥α或a?
α
A、B、C三个选项都不能排除a?
α，
选项D，根据线面平行的性质可知正确
故选D
14解答：
解：
根据平行公理可知①正确；
根据面面平行的判定定理可知④正确；
对于②错在a、b可能相交或异面．
对于③错在α与β可能相交，
对于⑤⑥错在a可能在α内．
故选：
C
点评：
本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解，属于综合题．
15分析：
垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论．
解答：
解：
垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故A不正确，
与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故B不正确，
过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故C不正确，
垂直于同一直线的两个平面平行，正确，
故选D．
16解答：
解：
对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；
对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；
对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内
故选C．
点评：
本题考查空间中直线和平面的位置关系．涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
17解答：
解：
A：
a⊥b，b⊥α，则a与平面平行或在平面内，不正确．
B：
a∥β，β∥α，则a与平面平行或在平面内，不正确．
C：
b?
α，a∥b，则a与平面平行或在平面内，不正确．
D：
由线面平行的判定理知，正确．
故选D
点评：
本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
18
解答：
解：
取AB的中点H，连接HE、EF、FG、GH
∴平面HEFG为平面α
其中AB、BD、CD、AC都与平面α相交
∵E、F是BD、CD的中点
∴EF∥BC，
而EF?
α，BC?
α
∴BC∥平面α
同理可证AD∥平面α
故选C
点评：
本题主要考查了直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于基础题．
19解答：
解：
平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
20分析
由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．
解答：
解：
A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选D．
点评：
本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题．
21分：
由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．
解答：
解：
连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1=
=
=
．
故选D．
22分析：
本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，若m∥?
，n∥?
，m，n可以相交也可以异面，故A不正确；若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故B不正确；若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故C不正确；m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；故D答案正确；分析即可得到结论．
解答：
解：
m，n均为直线，其中m，n平行α，m，n可以相交也可以异面，故A不正确；
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故B不正确；
若m∥α，m∥β，则α∥β，则α、β可以相交也可以平行，故C不正确；
m⊥α，n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；
故选D．
23分析：
对于选项A直线m可能与平面α斜交，对于选项B可根据三棱柱进行判定，对于选项C列举反例，如正方体同一顶点的三个平面，对于D根据面面垂直的判定定理进行判定即可．
解答：
解：
对于选项D，若m∥α，则过直线m的平面与平面α相交得交线n，由线面平行的性质定理可得m∥n，又m⊥β，故n⊥β，且n?
α，故由面面垂直的判定定理可得α⊥β．
故选D
点评：
本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及面面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题．
24解答：
解：
用线面垂直和面面平行的定理可判断①④正确；
②中，由面面平行的定义，m，n可以平行或异面；
③中，用线
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