常用逻辑用语复习教案.doc

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2-1第一章常用逻辑用语

小结与复习（教案）

【知识归类】

1．命题：

能够判断真假的陈述句.

2.四种命题的构成:

原命题:

若则;逆命题:

若则;否命题:

若则;逆否命题:

若则.

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:

原命题为真,它的逆命题.原命题为真,它的否命题.

原命题为真,它的逆否命题.逆命题为真,它的否命题.

原命题与逆否命题互为逆否命题,它们的真假性是.

逆命题与否命题互为逆否命题,它们同真同假.

3.充分条件与必要条件:

:

是充分条件;是必要条件;

.

4.逻辑联接词:

“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示，意义为：

或：

两个简单命题至少一个成立；且：

两个简单命题都成立；非：

对一个命题的否定.

按要求写出下面命题构成的各复合命题，并注明复合命题的“真”与“假”.

:

矩形有外接圆;矩形有内切圆.

（真）

（假）

非:

（假）

5.全称量词与全称命题：

常用的全称量词有：

“所有的”、“任意的”、“每一个”、“一切”、“任给”等，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫全称命题.

6.存在量词与特称命题：

常用的存在量词有：

“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”、“某个”等，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫特称命题.

7.对常用的正面叙述的词语填上它们的否定词语:

正面词语

等于=

大于（>）

小于（<）

是

都是

任意的

否定词语

不等于

不大于

不小于

不是

不都是

某个

正面词语

所有的

任意两个

至多有一个

至少有一个

至多有n个

否定词语

某些

某两个

至少有两个

一个也没有

至少有n+1个

8.反证法的逻辑基础:

（1）与的真假相异,因此,欲证为真,可证为假,即将作为条件进行推理,如果导致矛盾,那么必为假,从而为真.

（2）“”与“”等价.欲证“”为真,可由假设“”来证明“”,即将“”作为条件进行推理,导致与已知条件矛盾.

（3）由“”的真假表可知，“”为假，当且仅当真假，所以我们假设“真假”，即从条件和出发进行推理，如果导致与公理、定理、定义矛盾，就说明这个假设是错误的，从而就证明了“”是真命题.

后两条的逻辑基础,可以概括成一句话:

“否定结论，推出矛盾”.

【题型归类】

题型一：

四种命题之间的关系

例1“R），则”的逆否命题是（D）.

（A）R）,则

（B）R）,则

（C）R）,则

（D）R）,则

【审题要津】命题结论中的如何否定是关键.

解:

是,否定时“且”应变为“或”,所以逆否命题为:

R）,则,故应选D

【方法总结】一个命题结论当条件，条件作结论得到的命题为原命题的逆否命题.

题型二：

充分、必要条件题型

例2“”是“等式”的（A）.

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分有不必要的条件

【审题要津】,说明,问题的关键是由两个角的正弦值相等是否一定有两个角相等.

解:

由,所以,所以,充分;反之,由,不见得有,故应选A.

【方法总结】:

是充分条件;是必要条件,否则:

是的不充分条件;是不必要条件.

变式练习：

“”是“”的（A）.

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分有不必要的条件

例3，若是的必要但不充分条件，求实数的取值范围.

【审题要津】命题,可以化的更简,由和的关系可以得到与的关系,利用集合的理论方法将问题解决.

解:

得：

，

.

.

由是的必要但不充分条件知：

是的充分但不必要条件，即于是：

.

【方法总结】利用集合作为逻辑演绎的一个方法，体现了集合的应用，能把各种关系清楚地描绘出来.

题型三：

复合命题真假的判断

例4已知

方程无实根,求的取值范围.

【审题要津】把两个方程化简，然后根据列不等式组，方可求的取值范围.

解：

，

【方法总结】此题是方程与命题的综合题,涉及到一元二次方程的判别式和根与系数的关系,一元二次不等式及不等式组、集合的补集、两类复合命题的真假判断.

变式练习：

设有两个命题,:

不等式的解集为R,:

函数

在R上是减函数,如果这两个命题中有且只有一个真命题,则的取值范围是.

题型四：

全称命题、特称命题

例5设为两个集合,下列四个命题:

（2）

（3）（4）

其中真命题的序号为.

【审题要津】根据子集的概念,通过举反例加以排除假命题.

解:

所以

（1）,

（2）是假命题;,所以（3）是假命题,只有（4）为真命题.

【方法总结】全称命题通过“举反例”来否定.

变式练习：

下列命题中,既是真命题又是特称命题的是（A）.

（A）

（B）

（C）

（D）

题型五：

综合应用

例6已知关于的实系数二次方程有两个实数根.证明:

且的充要条件.

【审题要津】充要条件的证明题都必须从充分和必要两个方面加以证明,其中的充分性是由条件推出结论，从题目的叙述中可以看出，且条件，是结论，由于二次方程的根由相应的二次函数的图象与轴的交点直观的表示出来，因此可以其直观性帮助解题。

证明：

（1）充分性：

由韦达定理得.

设,则函数的图象是开口向上的抛物线,又,,.即有,

联立解得.

（2）必要性:

由且的图象是开口向上的抛物线,方程的两根同在内或无实根.是方程的根,同在内,即且.

【方法总结】从本题的要求看,需首先判定条件的充分性和必要性,判定的一般步骤是

（1）先分清条件与结论,

（2）进行互推,（3）根据定义下结论.

【思想方法】

1.数学思想：

本部分用到的数学思想有：

划归思想，分类讨论思想亦即否定思想.

2.数学方法:

本部分用到的数学主要是反证法,否定一个命题经常通过“举反例”来说明.

1．对任意实数给出下列命题：

（1）“”是“”的充要条件；

（2）“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

（3）“”是“”的充分条件；

（4）“”是“”的必要条件

其中真命题的个数是（B）.

（A）1（B）2（C）3（D）4

2.“”是“”的（B）.

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

3.设R则 的（A）.

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

4.“”的一个必要不充分条件是（B）.

（A）（B）

（C）（D）

5.在“”是“”的（B）.

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

6.设是两个集合，则“”是“”的（B）.

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

7.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（D）.

（A）（B）C）（D）

8.已知命题：

对任意的实数，若则.写出它的逆、否、逆否命题，并判断其真假.

解:

逆命题:

R,（假）

否命题:

R,（假）

逆否命题:

R,（假）

9.已知命题：

矩形的对角线相等.

（1）写出这个命题的否命题,并判断真假；

（2）写出这个命题的否定，并判断真假.

解：

（1）先将命题改写成“”的形式：

若四边形是矩形，则它的对角线相等.

否命题:

若四边形不是矩形,则它的对角线不相等（假）.

这是一个全称命题,所以它的否定是:

有些矩形的对角线不相等（假）.

10.已知方程,求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.

解：

令，方程有两个大于1的实数根

所以其充要条件为