高2017届极坐标与参数方程二轮专题复习资料.docx

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1．极坐标和直角坐标的互化公式

如图所示，设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x，y），极坐标是（ρ，θ）（ρ≥0），于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：

点M

直角坐标（x，y）

极坐标（ρ，θ）

互化公式

2.直线与圆的极坐标方程

（1）直线的极坐标方程

①过极点倾斜角为α的直线：

θ＝α（ρ∈R）；

②过A（a，0）（a>0）且垂直于极轴的直线：

ρcosθ＝a；

③过A（a>0）且平行于极轴的直线：

ρsinθ＝a.

（2）圆的极坐标方程

①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R；

②圆心在极轴上的点（a，0）处，且过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acosθ；

③圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asinθ，0≤θ≤π.

（1）确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：

极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．

（2）研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．

3．常见的参数方程

（1）直线的参数方程

若直线过（x0，y0），α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为

（t为参数），其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t>0；若动点P在定点P0的下方，则t<0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.

（2）圆的参数方程

若圆心在点M0（x0，y0），半径为r，则圆的参数方程为:

（θ为参数）．

（3）椭圆＋＝1（a>b>0）的参数方程为:

（θ为参数）．

（4）双曲线－＝1（a>0，b>0）的参数方程为:

（θ为参数）．

（5）抛物线y2＝2px（p>0）的参数方程为:

（t为参数）．

4．利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题

经过点P（x0，y0），倾斜角为α的直线l的参数方程为

（t为参数）．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：

（1）t0＝；

（2）|PM|＝|t0|＝；（3）|AB|＝|t2－t1|；（4）|PA|·|PB|＝|t1·t2|.

直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义，其几何意义为：

|t|是直线上任一点M（x，y）到M0（x0，y0）的距离，即|M0M|＝|t|.

1．（2016·北京，11，易）在极坐标系中，直线ρcosθ－ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝________．

2．（2015·广东，14，易）已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________．

3．（2015·安徽，12，易）在极坐标系中，圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝（ρ∈R）距离的最大值是________．

4．（2013·天津，11，易）已知圆的极坐标方程为ρ＝4cosθ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.

5．（2014·重庆，15，易）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0（ρ≥0，0≤θ<2π），则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________．

6．（2013·课标Ⅰ，23，10分，中）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.

（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

极坐标与直角坐标的互化在高考中经常出现，在课标卷中题型为解答题，难度为中低档．

在复习中要弄清极轴、极角、极坐标等相关概念，其中掌握极坐标和直角坐标互化的公式是解题的关键．

1（2015·课标Ⅰ，23，10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：

x＝－2，圆C2：

（x－1）2＋（y－2）2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若直线C3的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

题

（1）可直接将公式代入将直角坐标方程化为极坐标方程；

题

（2）可将θ＝代入C2的极坐标方程求出极径，再求出|MN|，最后得三角形的面积．

（2016·吉林长春二模，23，10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点．

（1）写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（2）设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

极坐标与直角坐标互化的方法

（1）将点的直角坐标（x，y）化为极坐标（ρ，θ）时，运用公式ρ＝，tanθ＝（x≠0）即可．在[0，2π）范围内，由tanθ＝（x≠0）求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ（k∈Z）即可．

（2）极坐标与直角坐标的互化，常用方法有代入法、平方法等，还经常会用到同乘（同除以）ρ等技巧．

注意：

极坐标下点的坐标表示不唯一．

曲线的极坐标方程在高考中经常考查，主要有以下几个命题角度：

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）在极坐标下求点到直线的距离；（3）在极坐标下求线段的长度．

题型多为解答题，属中低档题．

2（2014·辽宁，23，10分）将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

（1）写出C的参数方程；

（2）设直线l：

2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换、椭圆的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识和基本方法．解题

（1）可根据伸缩变换公式得出变换后的曲线（椭圆）方程，再写出其参数方程；解题

（2）时先求出直线的直角坐标方程，然后再化为极坐标方程．

（2016·辽宁五校联考，23，10分）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ＋cosθ）＝3，射线OM：

θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

求解与极坐标有关的问题的主要方法

（1）直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；

（2）转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．

1．（2016·湖南益阳一模，23，10分）已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．

2．（2016·河南郑州一模，23，10分）在极坐标系下，已知圆O：

ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsin＝（ρ≥0，0≤θ<2π）．

（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．

3．（2016·福建泉州质检，21

（2），7分）已知圆C：

x2＋y2＝4，直线l：

x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

（1）将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；

（2）P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．

4．（2015·贵州遵义一模，23，10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ2＝.

（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；

（2）若P（x，y）是曲线C上的一个动点，求3x＋4y的最大值．

5．（2015·辽宁大连一模，23，10分）已知在极坐标系中点C的极坐标为.

（1）求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程（写出解题过程）并画出图形；

（2）在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q（5，－），M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

1．（2014·安徽，4，易）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（　　）

A.B．2C.D．2

2．（2015·湖北，16，中）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ－3cosθ）＝0，曲线C的参数方程为（t为参数），l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________．

3．（2016·课标Ⅰ，23，10分，中）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝4cosθ.

（1）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（2）直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

4．（2016·课标Ⅱ，23，10分，中）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.

（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．

5．（2016·课标Ⅲ，23，10分，中）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.

（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

6．（2014·福建，21

（2），7分，易）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．

（1）求直线l和圆C的普通方程；

（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

7．（2014·江苏，21C，10分，易）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长．

8．（2013·课标Ⅱ，23，10分，中）已知动点P，Q都在曲线C：

（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．

（1）求M的轨迹的参数方程；

（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

9．（2015·湖南，16

（2），6分，中）已知直线l：

（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

高考中参数方程与普通方程的互化问题一般以解答题的第一问的形式出现，难度中低档．在复习中注意掌握参数方程与普通方程互化公式，特别要掌握消去参数的常用方法．

1（2014·课标Ⅰ，23，10分）已知曲线C：

＋＝1，直线l：

（t为参数）．

（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

题

（1）利用同角三角函数的平方关系将椭圆的标准方程化为参数方程（常见的），利用消元法求出直线l的普通方程；

题

（2）利用直线参数方程中参数的几何意义进行转化求解．

（2016·东北三校联考，23，10分）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为.

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：

代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1.

将普通方程化为参数方程的方法

（1）只要适当选取参数t，确定x＝φ（t），再代入普通方程，求得y＝ψ（t），即可化为参数方程

（2）选取参数的原则是：

①曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；②当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值．一般地，与时间有关的问题，常取时间作参数；与旋转有关的问题，常取旋转角作参数．此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、斜率、截距等作参数．

近几年高考往往在同一道解答题中，同时考查极坐标方程、参数方程及它们之间的综合应用，难度相对较大．在复习中注意涉及参数方程和极坐标方程的综合问题．求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．

2（2015·课标Ⅱ，23，10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：

（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝2sinθ，C3：

ρ＝2cosθ.

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．

题

（1）先将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程求解；

题

（2）可将曲线C1的参数方程化为极坐标方程，表示出A，B两点的极坐标，再求|AB|的最大值．

（2016·云南昆明一模，23，10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t＝1时，曲线C1上的点为A；当t＝－1时，曲线C1上的点为B.以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.

（1）求A，B的极坐标；

（2）设M是曲线C2上的动点，求|MA|2＋|MB|2的最大值．

转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用

在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．

1．（2016·河北石家庄一模，23，10分）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝cosθ.

（1）求曲线C2的直角坐标方程；

（2）若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．

2．（2016·河南开封质检，23，10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos＝2.

（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）求曲线C上的点到直线l的最大距离．

3．（2016·山西忻州一模，23，10分）在直角坐标平面内，直线l过点P（1，1），且倾斜角α＝.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．

4．（2015·吉林长春质检，23，10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ－4sinθ）＝12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．

（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；

（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．

5．（2016·河北衡水调研，23，10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.

（1）求曲线C的参数方程；

（2）当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．

6．（2016·贵州六校联考，23，10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：

ρsin2θ＝2acosθ（a>0），过点P（－2，－4）的直线l：

（t为参数）与曲线C相交于M，N两点．

（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

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