等比数列教案经典.doc

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《等比数列》教学设计（共2课时）

第一课时

1、创设情境，提出问题（阅读本章引言并打出幻灯片）

情境1：

本章引言内容

提出问题：

同学们，国王有能力满足发明者的要求吗？

引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为：

1，2，……，

（1）

于是发明者要求的麦粒总数是

情境2：

某人从银行贷款10000元人民币，年利率为r，若此人一年后还款，二年后还款，三年后还款，……，还款数额依次满足什么规律？

10000（1+r）,10000,10000,……

（2）

情境3：

将长度为1米的木棒取其一半，将所得的一半再取其一半，再将所得的木棒继续取其一半，……各次取得的木棒长度依次为多少？

……（3）

问：

你能算出第7次取一半后的长度是多少吗？

观察、归纳、猜想得

2、自主探究，找出规律：

学生对数列

（1），

（2），（3）分析讨论，发现共同特点：

从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。

也就是说这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。

于是得到等比数列的定义：

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母表示，即。

如数列

（1），

（2），（3）都是等比数列，它们的公比依次是2，1+r,

点评：

等比数列与等差数列仅一字之差，对比知从第二项起，每一项与前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”。

3、观察判断，分析总结：

观察以下数列，判断它是否为等比数列，若是，找出公比，若不是，说出理由，然后回答下面问题：

1，3，9，27，……

……

1，-2，4，-8，……

-1，-1，-1，-1，……

1，0，1，0，……

思考：

①公比能为0吗？

为什么？

首项能为0吗？

②公比是什么数列？

③数列递增吗？

数列递减吗？

④等比数列的定义也恰好给出了等比数列的递推关系式：

这一递推式正是我们证明等比数列的重要工具。

选题分析；因为等差数列公差可以取任意实数，所以学生对公比往往忘却它不能取0和能取1的特殊情况，以致于在不为具体数字（即为字母运算）时不会讨论以上两种情况，故给出问题以揭示学生对公比有防患意识，问题③是让学生明白时等比数列的单调性不定，而时数列为摆动数列，要注意与等差数列的区别。

备选题：

已知则……，……成等比数列的从要条件是什么？

4、观察猜想，求通项：

方法1：

由定义知道……归纳得：

等比数列的通项公式为：

（说明：

推得结论的这一方法称为归纳法，不是公式的证明，要想对这一方式的结论给出严格的证明，需在学习数学归纳法后完成，现阶段我们只承认它是正确的就可以了）

方法2：

迭代法

根据等比数列的定义有

……

方法3：

由递推关系式或定义写出：

……，通过观察发现…………

，即：

（此证明方法称为“累商法”，在以后的数列证明中有重要应用）

公式的特征及结构分析：

（1）公式中有四个基本量：

，可“知三求一”，体现方程思想。

（2）的下标与的上标之和，恰是的下标，即的指数比项数少1。

5、问题探究：

通项公式的应用

例、已知数列是等比数列，，求的值。

备选题：

已知数列满足条件：

，且。

求的值

6、课堂演练：

教材138页1、2题

备选题1：

已知数列为等比数列，，求的值

备选题2：

公差不为0的等差数列中，依次成等比数列，

则公比等于

7、归纳总结：

（1）等比数列的定义，即

（2）等比数列的通项公式及推导过程。

选作：

1、已知数列为等比数列，且，求

2、已知数列满足

（1）求证：

是等比数列；。

（2）求的通项。

第二课时

1、复习回顾：

上节课，我们学习了……（打出幻灯片）

（1）等比数列定义：

（2）通项公式：

（3）若，数列是等比数列吗？

对不对？

（注意：

考虑公比为常数）

2、尝试练习：

在等比数列中

（1），求

（2）求

（3）在－2与－8之间插入一个数A，使－2，A，－8成等比数列，求A

（鼓励学生尝试用不同的方法求解，相互讨论分析不同的解法，然后归纳出等比数列的性质）

3、性质探究：

（1）若a,G,b成等比数列，则有，称G为a,b的等比中项，

即；

思考：

是谁的等比中项？

呢？

呢？

总结归纳得到性质

（2）

（2）

逆向思考：

若数列满足，它一定是等比数列吗？

（3）若，则

（4）

4、灵活运用：

下面我们来看应用等比数列性质可以解决那些问题。

例1、在等比数列中，，求

变式1、等比数列中，若，则

变式2、等比数列中，若，则

变式3、等比数列中，若，则＝

例2、已知数列是项数相同的等比数列，求证：

是等比数列。

变式1、已知数列是项数相同的等比数列，问数列是等比数列吗？

变式2、已知数列是等比数列，若取出所有偶数项组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？

若是，它的首项和公比分别为多少？

变式3、已知数列是等比数列，若取出……组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？

若是，它的首项和公比分别为多少？

变式4、已知数列是等比数列，若每一项乘以非零常数C组成一个新数列，此数列还是等比数列吗？

若是，它的首项和公比分别为多少？

（通过上述问题的讨论求解，归纳、总结、推广得出等比数列的一些性质）

例3、三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数。

备选题、有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数。

5、课堂演练：

教材138页3、4、5

备选题：

已知数列为等比数列，且则

备选题：

有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项的和为18，求这四个数。

6、归纳总结：

（1）等比中项的概念

（2）等比数列有关性质

7、课后作业：

必作：

教材139页习题6、7、10、11

选作：

1、在数列中，，且成等差数列，成等比数列，，求的值。

2、设，且能按某种顺序构成等比数列，求这个等比数列。