知识点二:
一元二次不等式及其解法
二、一元二次不等式和及其解法
二次函数
()的图象
一元二次方程
有两相异实根
有两相等实根
无实根
R
顺口溜:
在二次项系数为正的前提下:
大于型取两边,小于型取中间
分式不等式,分式不等式.
【典型例题】
1.设二次不等式的解集为,则ab的值为()
A.-6B.-5C.6D.5
2.已知函数,若x的取值范围是全体实数,则实数a的取值范围是()
A.B.C.D.
3.若不等式的解集为,则()
A.B.C.D.
4.若关于实数x的方程有一正根和一负根,则实数a的取值范围是.
5:
解关于x的不等式.
6.已知不等式的解集为,求不等式的解集.
7.不等式|x2-3x|>4的解集是________
【提高训练】
1.设集合,则下列关系中成立的是()
A.B.C.D.
2.不等式的解集是()
A.B.C.D.
4.关于实数x的方程有两个正根,则实数m的取值范围是.
【习题训练】
1.设f(x)=x2+bx+1,且f(-1)=f(3),则f(x)>0的解集是()
A.B.R
C.{x|x≠1}D.{x|x=1
2.若不等式ax+x+a<0的解集为Φ,则实数a的取值范围()
Aa≤-或a≥Ba<C-≤a≤Da≥
3.不等式组的解集为()
A.(0,)B.(,2)C.(,4)D.(2,4)
4.关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根,则a的取值范围是.
5.不等式(x-2)≥0的解集为________________.
知识点三:
简单的线性规划
1、一元一次不等式与线性规划
(1)①若,,则点在直线的上方.
②若,,则点在直线的下方.
(2)线性规划:
【典型例题】
1.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是( )
A.2B.5C.6D.8
2.若实数x、y满足,则的取值范围是( )
A.(0,1) B.C.(1,+∞)D.
3.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( )A.7 B.5 C.4 D.3
【提高训练】
1.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是( )
A.2B.5C.6D.8
2.点P(x,y)在直线4x+3y=0上,且满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点距离的取值范围是( )A.[0,5] B.[0,10] C.[5,10] D.[5,15]
3.设D是不等式组表示的平面区域,则D中的点P(x,y)到直线x+y=10距离的最大值是________.
5.设、满足条件,则的最小值 .
【习题训练】
1.已知实数x、y满足则目标函数z=x-2y的最小值是______.
2.不等式组表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有____个.
3.若实数x,y满足不等式组则2x+3y的最小值是________.
知识点四:
基本不等式
(1),(当且仅当时成立等号),
扩展:
平均不等式:
平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数),即
(当a=b时取等)
(2)对勾函数
定义域,值域
奇函数
渐近线:
直线和直线
拐点:
,
、、、
题型一:
求值域
技巧一:
凑项
例1:
已知,求函数的最大值。
技巧二:
凑系数
例1.当时,求的最大值。
技巧三:
分离
例3.求的值域。
题型二:
条件求值
1.若实数满足,则的最小值是.
2:
已知,且,求的最小值。
3.已知x,y为正实数,且x2+=1,求x的最大值.
4.已知x,y为正实数,3x+2y=10,求函数W=+的最值.
【基础训练】
1.下列结论正确的是___
A.当且时,B.时,
C.当时,的最小值为2D.时,无最大值
2.已知a>0,b>0,a+b=1,则+的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.[2,+∞)C.(4,+∞)D.[4,+∞)
3.若x>0,y>0且,则xy的最小值是;
4.若实数a、b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是;
5.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为;
6.点(x,y)在直线x+3y-2=0上,则最小值为;
7.已知正整数a,b满足4a+b=30,使得+取最小值时,则实数对(a,b)是( )
A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)
8.若,且,则,,,中最大的是_______________.
9.设函数则( )
A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数
10.函数的值域为( )
A.[2,)B.(,-2]C.[-2,2]D.(,-2][2,)
11.已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为;
【提高训练】
1.已知,则的最小值.
2已知点()在直线上,其中,则( )
A.有最大值为2B.有最小值为2C.有最大值为1D.有最小值为1
3.已知非负实数、满足,则的最大值是( )
A.B.C.5D.10
4 .设,则( )
A.有最大值8B.有最小值8C.有最大值8D.有最小值8
5 .设,,则( )
A.有最大值B.有最小值C.有最大值4D.有最小值4
6.已知点在直线上移动,则的最小值是( )
A.8B.6C.3D.4
7.已知x>y>0,求的最小值及取最小值时的x、y的值.
【习题训练】
1.若,则的最小值是______
2.正数满足,则的最小值为______
3.若,且,则在下列四个选项中,较大的是( )A.B.C.D.
4.设a,b,a+2b=3,则最小值是;
5.若x+2y=1,则2x+4y的最小值是________.
6.若是正数,且,则有
A.最大值16 B.最小值C.最小值16 D.最大值
8.函数的最小值是()A)24B)13C)25D)26
知识点五:
不等式的综合应用
常见、常用结论:
(1)
(2)
1.不等式对一切实数恒成立,求实数的取值范围_____
2.若不等式对满足的所有都成立,则的取值范围_____
3.若不等式对的所有实数都成立,求的取值范围
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