高二第一学期(理科)数学期末复习专题训练(空间向量).doc
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高二第一学期（理科）数学期末复习专题训练
（空间向量与立体几何）
1、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其
中实点·代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标
系O－xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是
（ ）
A．（，，1）B．（0,0,1）C．（1，，1）D．（1，，）
2、若向量a＝（1，λ，2），b＝（－2,1,1），a，b夹角的余弦值为，则λ等于（ ）
A．1 B．－1C．±1 D．2
3、若A、B两点的坐标是A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则|AB|的取值范围是（ ）
A．[0,5]B．[1,5]C．（1,5） D．[1,25]
4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为（ ）
A．a2B.a2C.a2D.a2
4、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A（－1,2，－1），B（3，－2,3），则正方体的棱长等于（ ）
A．4 B．2C. D．2
5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝（0,2,1），b＝（，，），那么这条斜线与平面的夹角是（ ）
A．90° B．60°C．45° D．30°
6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A. B.C. D.
7、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为（ ）
A．60°B．45°C．30° D．90°
8、设点C（2a＋1，a＋1,2）在点P（2，0,0）、A（1，－3,2）、B（8，－1,4）确定的平面上，则a等于（ ）
A．16B．4C．2 D．8
9、点P（1,2,3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝____________.
10、已知x，y，z满足（x－3）2＋（y－4）2＋z2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是__________
11、若向量a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），满足条件（c－a）·（2b）＝－2，则x＝________.
12、已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ＝＋＋，则λ＝________.
13、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________．
14、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
15、已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_______________
16、在空间直角坐标系中，解答下列各题．
（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4,1,2）的距离为；
（2）在xOy平面内直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6,5,1）的距离最小．
17.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：
－－；
（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x、y、z的值．
18、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
19、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A1ED.
20、四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
（1）写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（2）在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：
BE∥平面PCD.
高二第一学期（理科）数学期末复习专题训练
（空间向量与立体几何）参考答案
1、结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图．其中实点·代表钠原子，黑点代表氯原子．建立空间直角坐标系O－xyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是（ ）
A．（，，1）B．（0,0,1）C．（1，，1）D．（1，，）
答案：
A
2、若向量a＝（1，λ，2），b＝（－2,1,1），a，b夹角的余弦值为，则λ等于（ ）
A．1 B．－1C．±1 D．2
解析：
选A.cos〈a，b〉＝＝＝，解得λ＝1.
3、若A、B两点的坐标是A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则|AB|的取值范围是（ ）
A．[0,5]B．[1,5]C．（1,5） D．[1,25]
解析：
选B.
|AB|＝＝
＝∈[1,5]．∴|AB|∈[1,5]．
4、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为（ ）
A．a2B.a2C.a2D.a2
解析：
选C.如图所示，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝（a＋b），＝c，∴·＝（a＋b）·c＝（a·c＋b·c）＝（a2cos60°＋a2cos60°）＝a2.
4、已知正方体的不在同一个表面上的两个顶点A（－1,2，－1），B（3，－2,3），则正方体的棱长等于（ ）
A．4 B．2C. D．2
解析：
选A.由于A（－1,2，－1），B（3，－2,3）是不在同一个表面上的两个顶点，所以它们是对角线的两个端点，故对角线长度等于|AB|＝＝4，若设正方体的棱长为a，则有a＝4，故a＝4.
5、如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝（0,2,1），b＝（，，），那么这条斜线与平面的夹角是（ ）
A．90° B．60°C．45° D．30°
解析：
选D.cosθ＝＝，因此a与b的夹角为30°.从而可得斜面与平面的夹角为30°.
6、正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）
A. B.C. D.
解析：
选D.如图，连接BD交AC于O，连接D1O.由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.
7、直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为（ ）
A．60°B．45°C．30° D．90°
解析：
选D.建立坐标系如图所示，易得M（0,0，），A1（0，，0），
A（0，，），B1（1,0,0），∴＝（1，－，－），
＝（0，－，）．∴·＝1×0＋3－＝0，
∴⊥.即AB1⊥A1M.
8、设点C（2a＋1，a＋1,2）在点P（2，0,0）、A（1，－3,2）、B（8，－1,4）确定的平面上，则a等于（ ）
A．16B．4C．2 D．8
解析：
选A.＝（－1，－3,2），＝（6，－1,4）．根据共面向量定理，设＝x＋y（x、y∈R），则（2a－1，a＋1,2）＝x（－1，－3,2）＋y（6，－1,4）＝（－x＋6y，－3x－y,2x＋4y），
∴解得x＝－7，y＝4，a＝16.
9、点P（1,2,3）关于y轴的对称点为P1，P关于坐标平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|＝__.
解析：
∵P1（－1,2，－3），P2（1，－2,3）．
∴|P1P2|＝＝2.
答案：
2
10、已知x，y，z满足（x－3）2＋（y－4）2＋z2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是__________
解：
由已知得点P（x，y，z）在以M（3,4,0）为球心，为半径的球面上，x2＋y2＋z2表示原点O与点P的距离的平方，显然当O，P，M共线且P在O与M之间时，|OP|最小，此时|OP|＝|OM|－＝－＝5－.∴|OP|2＝27－10.
11、若向量a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），满足条件（c－a）·（2b）＝－2，则x＝________.
解析：
∵a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），∴c－a＝（0,0,1－x），2b＝（2,4,2）．
∴（c－a）·（2b）＝2（1－x）＝－2，∴x＝2.答案：
2
12、已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ＝＋＋，则λ＝________.
解析：
如图，正方体中，＋＋＝＝3，∴λ＝3.
答案：
3
13、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________．
解析：
建立坐标系如图，则A（1,0,0），E（0,2,1），
B（1,2,0），C1（0,2,2），∴＝（－1,0,2），
＝（－1,2,1），∴cos〈，〉＝＝.
答案：
14、如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．
解析：
不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系（x轴垂直于AB），则C（0,0,0），A（，－1,0），
B1（，1,2），D（，－，2），则＝（，－，2），
＝（，1,2）．设平面B1DC的法向量为n＝（x，y,1），
由解得n＝（－，1,1）．
又∵＝（，－，－2），∴sinθ＝|cos〈，n〉|＝.
答案：
15、已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是_______________
解析：
选C.如图建立坐标系Dxyz，则A1（2,0,4），A（2,0,0），
B1（2,2,4），D1（0,0,4），＝（－2,0,4），＝（0,2,4），＝（0,0,4），设平面AB1D1的法向量为n＝（x，y，z），
则即
解得x＝2z且y＝－2z，不妨设n＝（2，－2,1），
设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d＝＝，
16、在空间直角坐标系中，解答下列各题．
（1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4,1,2）的距离为；
（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6,5,1）的距离最小．
解：
（1）设点P（x,0,0），由题意，得|P0P|＝＝，解得x＝9或x＝－1.所以点P的坐标为（9,0,0）或（－1,0,0）．
（2）由已知，可设M（x,1－x,0），
则|MN|＝＝.
所以，当x＝1时，|MN|min＝，此时点M的坐标为（1,0,0）．
17.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
（1）化简：
－－；
（2）设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x、y、z的值．
解：
（1）∵＋＝，∴－－＝－（＋）＝－＝－＝.
（2）∵＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋＋＝－－，∴x＝，y＝－，z＝－.
18、如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
（1）求AC1的长；
（2）求BD1与AC夹角的余弦值．
解：
记＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
∴a·b＝b·c＝c·a＝.
（1）||2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）
＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6，∴||＝，即AC1的长为.
（2）＝b＋c－a，＝a＋b，∴|1|＝，||＝，·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.
∴cos〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.
19、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A1ED.
解：
如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D（0,2,0），F（1,2,1），A1（0,0,4），E（1，，0）．
（1）易得＝（0，，1），＝（0,2，－4），于是cos〈，〉＝＝－.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.
（2）证明：
易知＝（1,2,1），＝（－1，－，4），＝（－1，，0），于是·＝0，·＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.
20、四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．
（1）写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（2）在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：
BE∥平面PCD.
解：
（1）在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，CD⊥平面PAC.
（2）依题意AB，AD，AP两两垂直，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．
则P（0,0,2），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,4,0）．
∵E是PA的中点，∴点E的坐标为（0,0,1），
＝（－2,0,1），＝（2,2，－2），＝（0,4，－2）．
设n1＝（x，y，z）是平面PCD的法向量．
由即
取y＝1，得n1＝（1,1,2）为平面PCD的一个法向量．
∵·n1＝－2×1＋0×1＋1×2＝0，∴⊥n1，
∴∥平面PCD.又BE⊄平面PCD，∴BE∥平面PCD.
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