高二数学必修5数列通项公式的求法归纳(精).doc

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数列通项公式的四大题型

类型一：

观察分析法（已知前几项，写通项公式）

具体方法有：

（1）联想比较法。

如由-1，2，-3，4，-5，······联想到数列-1，1，-1，1，······和1，2，3，4，5，······，可得；

由3，6，11，18，27，······联想到数列1，4，9，16，25，······，可得；

由······可知该数列中各项分式的分子为2n-1,而分母比分子多4，故.

（2）逐差法。

如1，3，5，7，9，······，可发现：

3-1=5-3=7-5=9-7=2，于是归纳得.

（3）逐商法.如1，3，9，27，81，······可发现于是归纳可得.

（4）待定系数法.如：

3，6，11，18，27，38，······，一次逐差得数列3，5，7，9，11，······，二次逐差得数列2，2，2，2，······，一般地，逐差k次后可得常数列，则通项公式可设为k次多项式.可以猜想通项公式为.令n=1,2,3,得

a+b+c=34a+2b+c=69a+3b+c=11联立可得a=1,b=0,c=2.

经检验适合，故.

类型二：

定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.

解：

设数列公差为

∵成等比数列，∴，即

∵，∴………………………………①

∵∴…………②

由①②得：

，∴

点评：

利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。

类型三：

前n项和法（已知前n项和，求通项公式）

若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。

例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。

解：

由

当时，有

……，

经验证也满足上式，所以

点评：

利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．

类型四：

由递推式求数列通项法

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。

题型1：

递推公式为

解法：

把原递推公式转化为，利用累加法（逐差相加法）求解。

例3.已知数列满足，，求。

解：

由条件知：

分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以，（）

=满足上式故

题型2：

递推公式为

解法：

把原递推公式转化为，利用累乘法（逐商相乘法）求解。

例4.已知数列满足，，求。

解：

由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，（）

满足上式故

注：

由和确定的递推数列的通项还可以如下求得：

所以，，，依次向前代入，得

，

题型三、形如的递推式

解法：

取倒法构造辅助数列

例5：

题型4、递推式：

解法：

只需构造数列，消去带来的差异．其中有多种不同形式

①为常数，即递推公式为（其中p，q均为常数，）。

解法：

转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例6.已知数列中，，，求.

解：

设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.

②为一次多项式，即递推公式为

解法：

转化为：

，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。

例7．设数列：

，求.

解：

设，将代入递推式，得

…（１）则,又，故代入（１）得

备注：

本题也可由,（）两式相减得转化为求之.

③为的二次式，则可设;

题型5：

递推公式为（其中p，q均为常数，）。

（或,其中p，q,r均为常数）

解法：

该类型较题型3要复杂一些。

一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再应用类型3的方法解决。

例8.已知数列中，,，求。

解：

在两边乘以得：

令，则,应用例7解法得：

所以

题型5：

递推公式为（其中p，q均为常数）。

解法：

先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。

例9.已知数列中，,,，求。

解：

由可转化为

即或

这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即

又，所以。