巧用“三线合一”证明题.doc

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等腰三角形

巧用“三线合一”证题

“三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。

本文结合实例说明其应用，供参考。

一.直接应用“三线合一”

例1.已知，如图1，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高。

求证：

AD垂直平分EF

例2.如图2，中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：

二.先连线，再用“三线合一”

例3.如图3，在中，，，D是BC的中点，P为BC上任一点，作，，垂足分别为E、F

求证：

（1）DE＝DF；

（2）

三.先构造等腰三角形，再用“三线合一”

例4.如图4，已知四边形ABCD中，，M、N分别为AB、CD的中点，求证：

例5.如图5，中，BC、CF分别平分和，于E，于F，求证：

EF//BC

一、证明角相等

图1

2

1

E

D

C

B

A

【例1】已知：

如图1，在中，，于D．求证：

．

二、证明线段相等

【例2】如图2，是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使，过点D作，垂直为M．求证：

．

三、证明直线垂直

【例3】（2009·义乌）如图3，在正△ABC中，于点D，以AD为一边向右作正△ADE．请判断AC、DE的位置关系，并给出证明．

F

E

D

C

B

图3

A

例1.等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=___________。

图1。

例2.已知：

如图2，△ABC中，AB=AC，CE⊥AE于E，，E在△ABC外，求证：

∠ACE=∠B。

图2

例3.已知：

如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DM⊥BC于M，求证：

M是BE的中点。

图3

［练习］

1.如图4，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个如图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC边的中点D处有一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此重锤是否通过A点，如通过A点，则是水平的，你能说明其中的道理吗？

图4

2.已知：

如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且ED⊥FD，求证：

S四边形CEDF＝。

图5

5