高二数学寒假讲义.doc

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第一讲圆锥曲线专题

（一）

题型一：

面积问题

1.设是抛物线:

的焦点，设为抛物线上异于原点的两点，且满足,延长分别交抛物线于点，求四边形面积的最小值.

Q

P

N

M

F

O

2.、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最值.

题型二：

直线过定点问题

3.、是抛物线上的两点，且满足（为坐标原点），求证：

直线经过一个定点.

4.已知离心率为的双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点在轴上，双曲线的右支上一点使且的面积为1.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过双曲线的右顶点,求证：

直线过定点，并求出该定点的坐标.

5.已知点是平面上一动点，且满足

（1）求点的轨迹对应的方程；

（2）已知点在曲线上，过点作曲线的两条弦和，且，判断：

直线是否过定点？

试证明你的结论.

题型三：

直线斜率为定值问题

6.如图，过抛物线上一定点，作两条直线分别交抛物线于，

，当与的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线的斜率为定值.

7．已知椭圆过点，两个焦点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.

第三讲圆锥曲线专题

（二）

【知识要点】

熟练向量共线问题与坐标的转化

【经典例题】

1.已知抛物线，为的焦点，过焦点斜率为的直线与抛物线交于两点，若，则.

2.给定抛物线，过定点的直线与抛物线交于两点，若，求直线的方程.

3.已知椭圆，若过点的直线椭圆交于不同的两点、（点在、之间），试求与面积之比的取值范围（为坐标原点）.

4.已知两定点,动点在轴的射影为，若.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）直线交轴于点，交轨迹于两点，且满足，求实数的取值范围.

5.如图，已知点，直线为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且有.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于两点，交直线于点，已知求的值.

6.双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点的直线，交双曲线于两点，交轴于点（点与的顶点不重合）,当，且时，求点的坐标.

7.已知椭圆，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，点分所成比为，点分所成比为，求证为定值，并计算出该定值.

第四讲圆锥曲线专题（三）

1.设、分别是椭圆的左、右焦点.

（1）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值；

（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

2.设、分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.

x

y

P

A

B

M

N

O

3.已知定点A（－1，0），F（2，0），定直线l：

x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N

（1）求E的方程；

（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

4.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为﹒

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交于、两点，试问：

在轴上是否存在一个定点，为定值？

若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由﹒

5.已知椭圆C的离心率为，长轴的左右端点分别为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线与椭圆C交于两点，直线与交于点.试问：

当变化时，点S是否恒在一条定直线上？

若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

6.已知椭圆的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率，过椭圆的右焦点作与坐标轴不垂直的直线，交椭圆于、两点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点是线段上的一个动点，且，求的取值范围；

（3）设点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得、、

三点共线？

若存在，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

第五讲导数的概念与切线问题

【知识要点】

⒈导数的概念及其几何意义；

⒉你熟悉常用的导数公式吗？

⒊导数的运算法则：

⑴.两个函数四则运算的导数；

⑵.复合函数的导数：

.

4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?

【经典例题】

例1.导数的概念题:

1.一质点的运动方程为，则在一段时间内相应的平均速度为（）

A.B.C.D.

2.已知,则.

3.求导公式的应用

（1），则=.

（2），若，则=.

（3），则=，=.

（4），则=.

4.已知，则=.

例2.切线问题:

1.曲线上两点，若曲线上一点处的切线恰好平行于弦，则点的坐标为（）

A. B. C.D.

2.曲线在点处的切线方程是.

3.曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为_____.

4.曲线的所有切线中,斜率最小的切线的方程是.

例3.曲线：

在点处的切线为在点处的切线为，求曲线的方程.

例4.已知两曲线和都经过点，且在点处有公切线，试求的值.

例5.切线问题的综合应用:

1.（江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为.

2.（安徽卷理）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（）

A.B.C.D.

3.（全国卷Ⅰ理）已知直线与曲线相切，则的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

4.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是________.

5.曲线上的点到直线的最短距离为.

*6.向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟，则当水深为5m时，水面上升的速度为.

【经典练习】

1.设曲线在点处的切线与直线平行，则（）

A.1 B. C.D.

2.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

3.若曲线在点处的切线方程是，则（）

A.B.

C.D.

4.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）

A. B. C. D.

5.若满足，则（）

A. B. C.2 D.4

6.已知函数的图象在点处的切线方程是，则.

7.曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是.

8.过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程是.

9.已知，,则.

10.已知直线为曲线的一条切线，则=.

第六讲导数的应用

（一）

【知识要点】

导数的应用

（1）求曲线的切线方程;

（2）求单调区间;

（3）求函数的极值（或函数最值）.

【经典例题】

1.已知曲线.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求过点并与曲线相切的直线方程.

2.（2009北京文）设函数.

（1）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（2）求函数的单调区间与极值.

3．已知，直线与函数的图象都相切于点.

（1）求直线的方程及的解析式；

（2）若（其中是的导函数），求函数的值域.

4.设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）求在区间的最大值和最小值.

5.设函数在及时取得极值．

（1）求的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

*6.（2009安徽卷文）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，求在区间上的值域.

【经典练习】

1.如果函数y=f（x）的图象如右图，那么导函数

的图象可能是（）

2.在下列结论中，正确的结论有（ ）

①单调增函数的导函数也是单调增函数；②单调减函数的导函数也是单调减函数；

③单调函数的导函数也是单调函数；④导函数是单调的，则原函数也是单调的．

A.0个 B.2个 C.3个 D.4个

3.函数在[－1,3]上的最大值为（）

A．11B．2C．12D.10

4.曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）

A. B. C. D.

5.（全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，

则=（）

A.2 B.3 C.4 D.5

6.（2009年广东卷文）函数的单调递增区间是（）

A.B.（0,3）C.（1,4）D.

7.函数的单调递增区间是.

8.曲线过点P的切线方程为.

【经典作业】

1.曲线在点处的切线的倾斜角为（）

A.30° B.45° C.60° D.120°

2.如果质点A按规律运动，则在秒时的瞬时速度为（）

A.6B.8C.16D.24

3.经过原点且与曲线相切的直线的方程是___________________.

4.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　　　.

5.函数的极大值为6,极小值为2,则的减区间是.

6.已知函数（其中常数），是奇函数.

（1）求的表达式；

（2）讨论的单调性，并求在区间上的最大值与最小值.

第七讲导数的应用

（二）

【知识要点】

（1）单调性问题

（2）极值的存在性问题

【经典例题】

题型一：

单调性问题

1.（2009安徽卷理）已知函数，讨论的单调性.

2.（全国一19）已知函数，．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．

3.（2009北京理）设函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

*4．已知函数.

（1）任取两个不等的正数，恒成立，求的取值范围；

（2）当时，求证：

没有实数解．

题型二：

极值的存在性问题

5.已知，讨论函数的极值点的个数.

*6.（海南理21）设函数.

（1）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

（2）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

【经典练习】

1.（辽宁卷6）设为曲线上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）

A. B. C. D.

2.（2009福建卷理）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（）

A.=B.=C.=D.

3．若函数有三个单调区间，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

4.设函数则下列结论中，正确的是（ ）

A.有一个极大值点和一个极小值点 B.只有一个极大值点

C.只有一个极小值点 D.有二个极小值点

5.函数，当时，有极值，则函数的单调减区间为．

6．已知曲线上一点，则点处的切线方程是；过点的切线方程是．

7.已知在上为减函数，则的取值范围为．

【经典作业】

1．设,点是函数的图象的一个公共点,两函数的图象在点处有相同的切线.

（1）用表示.

（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.

2.（北京卷文18）设定函数，且方程的两个根分别为1，4.

（1）当且曲线过原点时，求的解析式；

（2）若在无极值点，求的取值范围.

第八讲导数的应用（三）

【知识要点】

（1）不等式证明问题

（2）恒成立问题求范围

【经典例题】

题型一：

不等式证明问题

1.证明不等式

（1）；

（2）.

2.已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.

（1）用表示，并求的最大值；

（2）求证：

（）．

题型二：

恒成立问题

3.已知函数在处取得极值，其中为常数.

（1）试确定的值；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

4.设函数．

（1）求的最小值；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围.

5.（安徽卷20）设函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）已知对任意成立，求实数的取值范围.

*6．设函数，若对于任意的都有成立，求实数.

【经典练习】

1.已知对任意实数，有，且时，，则时（）

A. B.

C. D.

2.已知是定义在上的函数，且,则当,有（）

A.B.

C.D.

3.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时

且则不等式的解集是（）

A.B.

C.D.

4.函数有（）

A.极小值-2，极大值2B.极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值1D.极小值-1，极大值3

5.（2009天津卷理）设函数则（）

A．在区间内均有零点

B．在区间内均无零点

C．在区间内有零点，在区间内无零点

D．在区间内无零点，在区间内有零点

【经典作业】

1．函数有极值的充要条件是（）

A.B.C.D.

2.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（　）

A.或B.或C.或D.或

3.对于R上可导的任意函数，若满足，则必有（）

A.B.

C.D.

4.设为实数，函数.

（1）求的单调区间与极值；

（2）求证：

当且时，.

第九讲导数的应用（四）

【知识要点】

图像的交点问题

【典型例题】

1.（2009陕西卷文）已知函数

（1）求的单调区间；

（2）若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.

2．设函数，，当时，取得极值.

（1）求的值，并判断是函数的极大值还是极小值；

（2）当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.

3.已知函数其中是的的导函数

（1）对满足的一切的值，都有求实数的取值范围

（2）设（），当实数ｍ在什么范围内变化时，函数的图像与直线只有一个公共点.

4.设函数，其中a＞0，曲线在点P（0，）处的切线方程为y=1

（1）确定b、c的值；

（2）设曲线在点（）及（）处的切线都过点（0,2）证明：

当时，；

（3）若过点（0,2）可作曲线的三条不同切线，求a的取值范围.

【课堂练习】

1.设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

2．方程的实数解的集合是（　　）

A.至少有2个元素　　　　　　　B.至少有3个元素

C.恰有1个元素D.恰好有5个元素

3.直线是曲线的一条切线，则实数b＝.

4.若上是减函数，则的取值范围是________.

5.已知函数

（1）求在区间上的最大值

（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？

若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

【课后作业】

1.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（　）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

2.曲线在原点处的切线方程为（）

A.B.C.D.

3.设，若函数，有大于零的极值点，则（）

A. B. C. D.

4.已知是函数的一个极值点.

（1）求；

（2）求函数的单调区间；

（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.

第十讲导数专题

（一）

【知识要点】

1.证明不等式

2.恒成立问题

【典型例题】

1.证明：

.

2.设函数，其中．

（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（2）求函数的极值点；

（3）证明对任意的正整数，不等式都成立．

3.设，．

（1）求的单调区间和最小值；

（2）讨论与的大小关系；

（3）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立．

4.已知,.

（1）求函数的单调区间；

（2）求函数上的最小值；

（3）对一切的,恒成立，求实数的取值范围.

5.设函数.

（1）若=，求的单调区间；

（2）若当时，求的取值范围.

6．设函数f（x）＝（x＋1）ln（x＋1），若对所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求实数的取值范围.

第十一讲导数专题

（二）

【知识要点】

双变量的不等式证明（或恒成立问题）

【典型例题】

1.证明：

当m>n>0时，.

2.已知函数.

（1）为定义域上的单调函数，求实数的取值范围;

（2）当时，求函数的最大值;

（3）当时，且，证明：

.

3.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：

若，则对任意x，x，xx，有.

4.已知函数.

（1）若函数y=f（x）的图象切x轴于点（2，0），求a、b的值；

（2）设函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率为k，试求的充要条件；

（3）若函数y=f（x）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于1，求证.

5.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设.如果对任意，，求的取值范围.

6．已知函数，其中.

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对于任意的，不等式对上恒成立，求的取值范围.

第十二讲导数专题（三）

【知识要点】

双自变量的不等式证明与恒成立问题

【典型例题】

1.已知函数是上的奇函数，当时取得极值.

（1）求的单调区间和极大值；

（2）证明对任意，不等式恒成立.

2.设，且曲线在处的切线与轴平行.

（1）求的值，并讨论的单调性；

（2）证明：

当时，.

3.设，且（为自然对数的底数）.

（1）求与的关系；

（2）若在其定义域内为单调递增函数，求的取值范围；

（3）设且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

4.已知函数，.

（1）求的单调区间和值域；

（2）设，函数.若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

5.已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）设=，当=时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.

6.设是函数的一个极值点.

（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；

（2）设，.若存在，使得成立，求的取值范围.

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