江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷.doc

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江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为．

2．（5分）已知全集U={1，2，3}，集合A={1}，集合B={1，2}，则A∪∁UB=．

3．（5分）已知函数y=ax﹣2+1（a＞0，a≠1），不论常数a为何值，函数图象恒过定点．

4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点=．

5．（5分）已知函数则的值为．

6．（5分）已知a，b∈R，若2a=5b=100，则=．

7．（5分）关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0的两根为α，β，且满足0＜α＜1＜β，则a的取值范围是．

8．（5分）已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下对应的为实数z，记作f（x，y）=z．对于任意的正整数m，n（m＞n），映射f由下表给出：

（x，y） （n，n） （m，n） （n，m）

f（x，y） n m﹣n m+n

则使不等式f（2，x）≤3的解集为．

9．（5分）已知函数f（x）=log2（x+2）+x﹣5存在唯一零点x0，则大于x0的最小整数为．

10．（5分）函数的值域为．

11．（5分）生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；

十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

例如用十二进位制表示A+B=19，照此算法在十二进位制中运算A×B=．

12．（5分）已知函数f（x）=（a≠±1）在区间（0，1]上是减函数，则a的取值范围是．

13．（5分）已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：

若m是自然数，把m3按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m=．

14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为．当时，（a、b∈R），则f

（1）+f

（2）+…+f（100）的值为．

二、解答题：

本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）已知命题A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B=．

（1）若A∩B=（2，4），求m的值；

（2）若B⊆A，求m的取值范围．

16．（14分）已知z为复数，z+2i为实数，且（1﹣2i）z为纯虚数，其中i是虚数单位．

（1）求复数z；

（2）若复数z满足，求|ω|的最小值．

17．（14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：

万元）．

（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；

（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：

怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

18．（16分）

（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；

（2）证明：

为无理数；

（3）证明：

1，，4不可能为同一等差数列中的三项．

19．（16分）已知定义在R上的函数f（x）=ln（e2x+1）+ax（a∈R）是偶函数．

（1）求实数a的值；

（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义法证明；

（3）若f（x2+）＞f（mx+）恒成立，求实数m的取值范围．

20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣a|．

（1）当a=1时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的零点；

（2）若方程|f（x）|=g（x）有三个不同的实数解，求a的值；

（3）求G（x）=f（x）+g（x）在[﹣2，2]上的最小值h（a）．

江苏省宿迁市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．（5分）函数f（x）=lg（2x﹣1）的定义域为．

考点：

函数的定义域及其求法．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据对数函数的真数大于0，列出不等式，求出解集即可．

解答：

解：

∵函数f（x）=lg（2x﹣1），

∴2x﹣1＞0，

解得x＞；

∴f（x）的定义域为（，+∞）．

故答案为：

（，+∞）．

点评：

本题考查了求函数定义域的问题，求定义域是求使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题目．

2．（5分）已知全集U={1，2，3}，集合A={1}，集合B={1，2}，则A∪∁UB={1，3}．

考点：

交、并、补集的混合运算．

专题：

集合．

分析：

由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可．

解答：

解：

∵全集U={1，2，3}，集合A={1}，集合B={1，2}，

∴∁UB={3}，

则A∪∁UB={1，3}，

故答案为：

{1，3}

点评：

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

3．（5分）已知函数y=ax﹣2+1（a＞0，a≠1），不论常数a为何值，函数图象恒过定点（2，2）．

考点：

指数函数的图像与性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据指数函数过定点的性质，即a0=1恒成立，即可得到结论．

解答：

解：

∵y=ax﹣2+1，

∴当x﹣2=0时，x=2，

此时y=1+1=2，

即函数过定点（2，2）．

故答案为：

（2，2）

点评：

本题主要考查指数函数的图象和性质，直接解方程即可．比较基础．

4．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点=．

考点：

幂函数的性质．

专题：

计算题；函数的性质及应用．

分析：

设f（x）=xn，n是有理数，根据f

（2）=计算出n=﹣2，从而得到函数表达式，求出f（3）的值．

解答：

解：

设f（x）=xn，n是有理数，则

∵幂函数的图象过点

∴=2n，即2﹣2=2n，可得n=﹣2

∴幂函数表达式为f（x）=x﹣2，可得f（3）=3﹣2=

故答案为：

点评：

本题给出幂函数经过定点，求幂函数表达式，着重考查了幂函数的定义与简单性质等知识，属于基础题．

5．（5分）已知函数则的值为．

考点：

分段函数的应用；函数的值．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

直接利用分段函数，由里及外逐步求解即可．

解答：

解：

函数则=f（log3）=f（﹣3）=2﹣3=．

故答案为：

．

点评：

本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．

6．（5分）已知a，b∈R，若2a=5b=100，则=．

考点：

基本不等式；对数的运算性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

先两边求出对数，求出a，b的值，再根据对数的运算性质计算即可．

解答：

解：

a，b∈R，若2a=5b=100，

∴a=log2100==，

b=log5100==，

∴=（lg2+lg5）=，

故答案为：

．

点评：

本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

7．（5分）关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0的两根为α，β，且满足0＜α＜1＜β，则a的取值范围是．

考点：

一元二次方程的根的分布与系数的关系．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

由已知中关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0的两实根α，β满足0＜α＜1＜β，根据方程的根与对应函数零点之间的关系，我们易得方程相应的函数在区间（0，1）与区间（1，+∞）上各有一个零点，此条件可转化为不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范

解答：

解：

依题意，函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6=的两个零点α，β满足0＜α＜1＜β，

且函数f（x）过点（0，4），则必有，

即：

，

解得：

﹣3．

故答案为：

（﹣3，﹣）

点评：

本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系．其中根据方程的根与对应函数零点之间的关系，构造关于a的不等式是解答本题的关键

8．（5分）已知f是有序数对集合M={（x，y）|x∈N*，y∈N*}上的一个映射，正整数数对（x，y）在映射f下对应的为实数z，记作f（x，y）=z．对于任意的正整数m，n（m＞n），映射f由下表给出：

（x，y） （n，n） （m，n） （n，m）

f（x，y） n m﹣n m+n

则使不等式f（2，x）≤3的解集为{1，2}．

考点：

映射．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

仔细阅读题意得出f（2，x）=，转化不等式为或求解即可．

解答：

解；根据题意得出：

f（2，x）=

∴不等式f（2，x）≤3可以转化为：

或

即﹣1≤x≤2或x∈∅，x∈N*，

∴解集为{1，2}

故答案为：

{1，2}

点评：

本题考查了学生的阅读题意得出需要的函数不等式，考查了分析转化问题的能力，属于中档题．

9．（5分）已知函数f（x）=log2（x+2）+x﹣5存在唯一零点x0，则大于x0的最小整数为3．

考点：

函数零点的判定定理．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

利用函数解析式判断f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，求解f

（2）＜0，f（3）=log25+3﹣5=＞0，根据函数零点存在性定理得出x0的范围即可．

解答：

解：

∵函数f（x）=log2（x+2）+x﹣5，

∴函数f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，

∵f

（2）=log24+2﹣5=﹣1＜0，

f（3）=log25+3﹣5=log25﹣2=log2＞0，

∴根据函数零点存在性定理得出；f（x）在（2，3）上有一个零点，且存在唯一零点，

故大于x0的最小整数为3，

故答案为：

3．

点评：

本题考查了运用观察法判断函数单调性，根据函数零点存在性定理判断零点的范围，难度不大，属于中档题．

10．（5分）函数的值域为（﹣∞，﹣2]∪[10，+∞）．

考点：

函数的值域．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

把函数恒等变形得出y=2+，x∈[0，3]且x≠2，利用函数的单调性，结合不等式求解即可．

解答：

解：

∵函数，

∴y=2+，x∈[0，3]且x≠2，

∵﹣2≤x﹣2≤1，x﹣2≠0

∴≤﹣4或≥8

∴y≤﹣2或y≥10，

故答案为：

（﹣∞，﹣2]∪[10，+∞）

点评：

本题考查了分式函数的值域的求解，不等式的运用，是一道难度不大的题目．

11．（5分）生活中常用的十二进位制，如一年有12个月，时针转一周为12个小时，等等，就是逢12进1的计算制，现采用数字0～9和字母A、B共12个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；

十二进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B

十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

例如用十二进位制表示A+B=19，照此算法在十二进位制中运算A×B=92．

考点：

进位制．

专题：

计算题．

分析：

先把十二进制数化为十进制数，利用十进制数计算乘积，再把乘积化为十二进制即可．

解答：

解：

把十二进制数化为十进制数，则B（12）=11，A（12）=10，

∴B（12）×A（12）=11×10=110=9×121+2×120=92；

故答案为：

92．

点评：

本题利用不同进制数之间的关系，考查了它们之间的换算，其算法通常是先化为十进制，利用十进制数计算，再把结果化为其他进制．

12．（5分）已知函数f（x）=（a≠±1）在区间（0，1]上是减函数，则a的取值范围是（﹣1，0）∪（1，3]．

考点：

函数单调性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

根据函数的解析式、定义域和复合函数的单调性列出不等式组，求出a的取值范围．

解答：

解：

∵f（x）=（a≠±1）在区间（0，1]上是减函数，

∴或，

解得﹣1＜a＜0或1＜a≤3，

∴a的取值范围是：

（﹣1，0）∪（1，3]，

故答案为：

（﹣1，0）∪（1，3]．

点评：

本题考查复合函数的单调性，注意函数的定义域，考查分类讨论思想，属于中档题．

13．（5分）已知大于1的任意一个自然数的三次幂都可写成连续奇数的和．如：

若m是自然数，把m3按上述表示，等式右侧的奇数中含有2015，则m=45．

考点：

归纳推理．

专题：

推理和证明．

分析：

由题意知，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可找出m3的等式右侧的奇数中含有2015时m的值．

解答：

解：

由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=个，

2015是从3开始的第1007个奇数，

当m=44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共=989个

当m=45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共=1034个

故m=45，

故答案为：

45．

点评：

本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，其中分析出分解式中项数及每个式子中各数据之间的变化规律是解答的关键．

14．（5分）已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为．当时，（a、b∈R），则f

（1）+f

（2）+…+f（100）的值为．

考点：

函数的周期性；函数奇偶性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

利用给出的条件得出a=0，b的值，根据周期性和奇偶性得出

（1）+f

（2）+…+f（100）=f

（1）=﹣f（）即可．

解答：

解：

∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，

∴f（0）=0，

∵当时，（a、b∈R），

∴a=0，

即当时，f（x）=﹣bx（a、b∈R），

∵函数f（x）的周期为，f

（1）=f（）=f（﹣），

f

（2）=f（）=f（），

f（3）=f（+）=f（0）=0

f（4）=f（3+1）=f

（1）=f（﹣），

…f（100）=f（99+1）=f

（1）=f（﹣）=﹣f（），

∴f

（1）+f

（2）+…+f（100）=f

（1）=，

∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为，

∴f（﹣）=﹣f（）=﹣1+，

f（﹣）=f（﹣）=f（）=1﹣，

∴﹣1=1﹣，求解b=

∴f

（1）+f

（2）+…+f（100）=f

（1）=﹣f（）==，

故答案为：

．

点评：

本题综合考查了函数的性质周期性运奇偶性的运用，整体运用的思想，考查了逻辑推理变换的能力，属于中档题．

二、解答题：

本大题共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（14分）已知命题A={x|x2﹣2x﹣8＜0}，B=．

（1）若A∩B=（2，4），求m的值；

（2）若B⊆A，求m的取值范围．

考点：

集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．

专题：

集合．

分析：

分别化简得A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|m﹣3＜x＜m}．

（1）由A∩B=（2，4）可得m﹣3=2且m≥4，解出即可．

（2）由B⊆A，即，解得即可．

解答：

解：

化简得A={x|﹣2＜x＜4}，B={x|m﹣3＜x＜m}．

（1）∵A∩B=（2，4），∴m﹣3=2且m≥4，则m=5．

（2）∵B⊆A，即，解得1≤m≤4．

∴m的取值范围是[1，4]．

点评：

本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

16．（14分）已知z为复数，z+2i为实数，且（1﹣2i）z为纯虚数，其中i是虚数单位．

（1）求复数z；

（2）若复数z满足，求|ω|的最小值．

考点：

复数求模；复数代数形式的乘除运算．

专题：

数系的扩充和复数．

分析：

（1）设z=a+bi（a，b∈R），l利用z+2i为实数，（1﹣2i）z为纯虚数，列出方程求解即可．

（2）设ω=x+yi，（x，y∈R），通过，|ω|最小值即为原点到圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=1上的点距离的最小值，即可求解|ω|的最小值．

解答：

解：

（1）设z=a+bi（a，b∈R），

则z+2i=a+（b+2）i，因为z+2i为实数，所以有b+2=0①…2分

（1﹣2i）z（1﹣2i）（a+bi）=a+2b+（b﹣2a）i，因为（1﹣2i）z为纯虚数，

所以a+2b=0，b﹣2a≠0，②…4分

由①②解得a=4，b=﹣2．…6分

故z=4﹣2i．…7分

（2）因为z=4﹣2i，则=4+2i，…8分

设ω=x+yi，（x，y∈R），因为，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=1…10分

又|ω|=，故|ω|最小值即为原点到圆（x﹣4）2+（y﹣2）2=1上的点距离的最小值，

因为原点到点（4，2）的距离为=，又因为圆的半径r=1，原点在圆外，

所以|ω|的最小值即为2﹣1．…14分．

点评：

本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力．

17．（14分）某商场欲经销某种商品，考虑到不同顾客的喜好，决定同时销售A、B两个品牌，根据生产厂家营销策略，结合本地区以往经销该商品的大数据统计分析，A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，其关系如图1所示，B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，其关系如图2所示（利润与资金的单位：

万元）．

（1）分别将A、B两个品牌的销售利润y1、y2表示为投入资金x的函数关系式；

（2）该商场计划投入5万元经销该种商品，并全部投入A、B两个品牌，问：

怎样分配这5万元资金，才能使经销该种商品获得最大利润，其最大利润为多少万元？

考点：

函数模型的选择与应用．

专题：

应用题；函数的性质及应用．

分析：

（1）设y1=k1x（x＞0），y2=k2（x＞0），分别代入点（2，0.5）和（4，1.5），解方程即可得到所求函数的解析式；

（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5﹣x）万元，则，令，运用二次函数在闭区间上最值的求法，可得y的最大值．

解答：

解：

（1）因为A品牌的销售利润y1与投入资金x成正比，

设y1=k1x（x＞0），

又过点（2，0.5），解得，

所以；

B品牌的销售利润y2与投入资金x的算术平方根成正比，

设y2=k2（x＞0），又过点（4，1.5），即有1.5=2k2，

解得k2=，

所以y2=（x＞0）；

（2）设总利润为y，投入B品牌为x万元，则投入A品牌为（5﹣x）万元，

则，

令，

则=，

当时，即时，投入A品牌为：

，．

答：

投入A品牌万元、B品牌万元时，经销该种商品获得最大利润，最大利润为万元．

点评：

本题考查函数的解析式的求法和函数的最值，主要考查二次函数的最值求法和换元法思想，属于中档题．

18．（16分）

（1）找出一个等比数列{an}，使得1，，4为其中的三项，并指出分别是{an}的第几项；

（2）证明：

为无理数；

（3）证明：

1，，4不可能为同一等差数列中的三项．

考点：

等比数列的通项公式；等差数列的通项公式．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（1）根据题意取一个等比数列{an}：

首项为1、公比为，由等比数列的通项公式求出an，再求出an=4时的项数n即可判断；

（2）假设是有理数，利用有理数的定义得：

存在互质整数h、k，使得，再进行证明直到推出矛盾；

（3）假设1，，4是同一等差数列中的三项，利用等差数列的通项公式和

（2）的结论进行证明，直到推出矛盾．

解答：

解：

（1）取一个等比数列{an}：

首项为1、公比为，

则，…2分

则令=4，解得n=5，

所以a1=1，，a5=4．…4分

（2）证明：

假设是有理数，则存在互质整数h、k，使得，…5分

则h2=2k2，所以h为偶数，…7分

设h=2t，t为整数，则k2=2t2，所以k也为偶数，

则h、k有公约数2，这与h、k互质相矛盾，…9分

所以假设不成立，所以是有理数．…10分

（3）证明：

假设1，，4是同一等差数列中的三项，

且分别为第n、m、p项且n、m、p互不相等，…11分

设公差为d，显然d≠0，则，

消去d得，，…13分

由n、m、p都为整数，所以为有理数，

由

（2）得是无理数，所以等式不可能成立，…15分

所以假设不成立，即1，，4不可能为同一等差数列中的三项．…16分．

点评：

本题考查了等差、等比数列的通项公式，有理数的定义是应用，以及利用反证法证明结论成立，属于中档题．

19．（16分）已知定义在R上的函数f（x）=ln（e2x+1）+ax（a∈R）是偶函数．

（1）求实数a的值；

（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并用定义法证明；

（3）若f（x2+）＞f（mx+）恒成立，求实数m的取值范围．

考点：

函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）利用f（x）是定义在R上的偶函数，可得f

（1）=f（﹣1），即可求出a．

（2）设x1，x2为[0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，利用函数的单调性的定义证明f（x1）﹣f（x2）＜0，推出函数f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．

（3）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，且是偶函数推出，令，则t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），化简得到，|m|＜1，求出﹣1＜m＜1．

解答：

19．解：

（1）因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f

（1）=f（﹣1），

即ln（e2+1）+a=ln（e﹣2+1）﹣a，即2a==﹣2，得a=﹣1，…2分

当a=﹣1时，f（x）=ln（e2x+1）﹣x，

对于∀x∈R，f（﹣x）=ln（e﹣2x+1）+x=ln（e2x+1）﹣x=f（x），综上a=﹣1…4分

（2）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，…5分

证明如下：

设x1，x2为[0，+∞）内的任意两个值，且x1＜x2，则=

因为0≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x2+x1＞0，所以，

所以，所以，

所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

所以f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…10分

（3）f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，且是偶函数，又，

所以，…12分

令，则t∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），

所以|mt|＜t2﹣2，恒成立，…14分

因为，关于|t|在[2，+∞）上单调递增，

所以，所以|m|＜1恒成立，所以﹣1＜m＜1．…16分．

点评：

本题考查函数的恒成立，函数的单调性以及函数的奇偶性的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．

20．（16分）已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=|x﹣a|．

（1）当a=1时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的零点；

（2）若方程|f（x）|=g（x）有三个不同的实数解，求a的值；

（3）求G（x）=f（x）+g（x）在[﹣