高考南通市数学学科基地密卷2.doc
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2018年高考模拟试卷
（2）
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．已知集合A={1，4}，B={}，则A∩B=▲．
2．设复数（为虚数单位），则的共轭复数为▲．
3．函数的定义域为▲．
4．阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为▲．
s0
t1
ForIFrom1To3
ss+I
ttI
EndFor
rst
Printr
（第4题）
甲
乙
8
9
79
013
98
210
（第5题）
5．如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）
的那一位同学的方差为▲．
6．将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子
的概率为▲．
7．在平面直角坐标系xOy中，将函数的图象向右平移个单位得到的图象，则的值为▲．
8．在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为▲．
9．若，则的值为▲．
10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f
（2），
f
（1）=4，则f（3）+f（10）的值为▲．
11．已知为数列{an}的前n项和，且，，则{an}的首项的所有可能值为▲．
12．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，为轴上一动点，则△ABP周长的最小值为▲．
13．已知函数记，若，则实数的取值范围为▲．
14．若△ABC中，AB=，BC=8，45°，D为△ABC所在平面内一点且满足
，则AD长度的最小值为▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
C
A
D
B
（第15题）
如图，在△ABC中，为所对的边，CD⊥AB于D，且．
（1）求证：
；
（2）若，求的值．
16．（本小题满分14分）
A
C
B
D
（第16题）
V
E
F
在正四棱锥中，E，F分别为棱VA，VC的中点．
（1）求证：
EF∥平面ABCD；
（2）求证：
平面VBD⊥平面BEF．
17．（本小题满分14分）
如图所示的某种容器的体积为90cm3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥的底面半径都为rcm．圆锥的高为h1cm，母线与底面所成的角为；圆柱的高为
h1
r
h2
（第17题）
45°
h2cm．已知圆柱底面的造价为2a元/cm2，圆柱侧面造价为a元/cm2，圆锥侧面造价为a元/cm2．
（1）将圆柱的高h2表示为底面半径r的函数，并求出定义域；
（2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r为多少？
18．（本小题满分16分）
已知在平面直角坐标系中，椭圆C：
离心率为，其短轴
长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，
直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为，，且，
P
E
x
y
O
A
Q
D
（第18题）
，（为非零实数），求的值．
19．（本小题满分16分）
设数列的前n项和为，已知，（）．
（1）求证：
数列为等比数列；
（2）若数列满足：
，．
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数n，使得成立？
若存在，求出所有n的值；若不
存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数，．
（1）当时，
①若曲线与直线相切，求c的值；
②若曲线与直线有公共点，求c的取值范围．
（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得
最大值时，求a，b的值．
2018年高考模拟试卷
（2）
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并在相应的答题区域内作答．
A．[选修4—1：
几何证明选讲]（本小题满分10分）
如图，ABCD为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E，F．M，N为AB，CD
F
A
D
C
E
N
M
B
上两点，EM＝EN，点F在MN的延长线上．求证：
∠BFM＝∠AFM．
B．[选修4—2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知在二阶矩阵对应变换的作用下，四边形变成四边形，其中
，，，，，．
（1）求矩阵；
（2）求向量的坐标．
C．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中
取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方
程是ρ＝4cosθ，求直线l被圆C截得的弦长．
D．[选修4—5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
已知x>0，y>0，z>0，，求证：
．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．
22．（本小题满分10分）
某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同
学数学获一等奖的概率为，物理，化学，生物获一等奖的概率都是，且四门学科
是否获一等奖相互独立．
（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；
（2）用随机变量表示该同学获得一等奖的总数，求的概率分布和数学期望．
23．（本小题满分10分）
已知函数，记，当．
（1）求证：
在上为增函数；
（2）对于任意，判断在上的单调性，并证明．
2018年高考模拟试卷
（2）参考答案
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1．{1}【解析】依题意，A∩B={1}
2．【解析】由于，所以的共轭复数为．
3．【解析】由，解得．
4．36【解析】，，输出的结果．
5．【解析】由茎叶图可知，，
所以甲的方差为；同理乙的方差为，所以比较稳定的是甲．
6．【解析】所有等可能的基本事件总数为种，“黑白两球均不在1号盒子”
有种，所以概率为．
7．【解析】，所以．
8．【解析】一条渐近线与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为．
9．【解析】由，得．
10．4【解析】令f（x+4）=f（x）+f
（2）中x=-2，得f
（2）=f（-2）+f
（2），所以f（-2）=0，
又因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f
（2）=0，所以f（x+4）=f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数，所以f（3）+f（10）=f（-1）+f
（2）=f
（1）+0=4．
C
x
y
O
B
A
（第12题）
P
Q
11．【解析】因为，所以，
所以，，…，，
将以上各式相加，得，
又，所以，获解．
12．14【解析】设直线l与圆C的一个交点B（5，5）关于x轴的
对称点为，易知B恰为圆C的直径，记A与x轴
交于点Q，则，
所以△ABP的周长的最小值为，易求得结果为14.
13．【解析】条件可转化为函数
在上存在零点，
所以方程有根，
所以函数的图象
有交点的横坐标在上，
注意到函数的图象为顶点（-a，-2a）在直线y=2x上移动的折线，
再考虑临界位置不难求解．
14．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，，，
C
x
y
A
B
D
（第14题）
设，所以，，，
所以，
即，令，则，所以mn=4，
所以
．
C
A
D
B
（第15题）
当且仅当5m=n=时，AD取得最小值．
二、解答题：
本大题共6小题，共90分．
15．（本小题满分14分）
（1）证明：
因为，
所以，……3分
由正弦定理，得，
所以．……6分
（2）解：
由
（1）得，，……8分
所以，
化简，得．……10分
又，所以，所以，，……12分
所以．……14分
16．（本小题满分14分）
（1）因为E，F分别为棱VA，VC的中点，
所以EF∥AC，……3分
又因为，，
所以EF∥平面ABCD．……6分
A
C
B
D
（第16题）
V
E
F
O
（2）连结，交于点，连结．
因为为正四棱锥，
所以．
又，所以．……8分
又因为，EF∥AC，
所以EF⊥VO，EF⊥BD．……10分
又，，
所以，……12分
又，所以平面VBD⊥平面BEF．……14分
17．（本小题满分14分）
（1）解：
因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以，
圆锥的体积为，圆柱的体积为．……2分
因为，所以，
所以．……4分
因为，所以．因此．
所以，定义域为．……6分
（2）圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，底面积．……8分
容器总造价为
．……10分
令，则．令，得．
当时，，在上为单调减函数；
当时，，在上为单调增函数．
因此，当且仅当时，有最小值，y有最小值90元．……13分
所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm．……14分
P
E
x
y
O
A
Q
D
（第18题）
18．（本小题满分16分）
（1）解：
因为短轴长2b=2，所以b=1，……2分
又离心率，所以，……4分
所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为．……6分
（2）由
（1），点A，设，
则
因为，所以，……8分
由①得，，由②得，，
所以，……11分
两边同时乘以k1得，，
所以，，
代入椭圆的方程得，，……14分
同理可得，，
所以．……16分
19．（本小题满分16分）
（1）解：
由，得（），
两式相减，得，即（）．……2分
因为，由，得，所以，
所以对任意都成立，
所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．……4分
（2）①由
（1）知，，
由，得，……6分
即，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．……8分
所以，
所以．……10分
②设，
则，
所以，
两式相减，
得，
所以．……12分
由，得，即．
显然当时，上式成立，
设（），即．
因为，
所以数列单调递减，
所以只有唯一解，
所以存在唯一正整数，使得成立．……16分
20．（本小题满分16分）
（1）解：
当时，，所以．
①设切点为，则……2分
由②③得，
由①得代入④得，
所以．……4分
②由题意，得方程有正实数根，
即方程有正实数根，
记，令，
当时，；当时，；
所以在上为减函数，在上为增函数；
所以．……6分
若，则，不合；
若，由①知适合；
若，则，又，
所以，由零点存在性定理知在上必有零点．
综上，c的取值范围为．……9分
（2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立，
所以当时，对于任意正实数x恒成立，
由
（1）知，，
两边同时乘以x得，①，
两边同时加上得，②，
所以（*），当且仅当时取等号．
对（*）式重复以上步骤①②可得，，
进而可得，，，……，
所以当，时，，当且仅当时取等号．
所以．……12分
当取最大值1时，对于任意正实数x恒成立，
令上式中得，，所以，
所以对于任意正实数x恒成立，
即对于任意正实数x恒成立，
所以，所以函数的对称轴，
所以，即，所以，．……14分
又由，两边同乘以x2得，，
所以当，时，也恒成立，
综上，得，．……16分
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内
作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
F
A
D
C
E
N
M
B
A．[选修4—1：
几何证明选讲]（本小题满分10分）
证明：
因为EM＝EN，所以∠EMN＝∠ENM，……3分
因为ABCD为圆内接四边形，所以∠FCN＝∠A，……6分
又因为∠EMN＝∠AFM＋∠A，
∠ENM＝∠BFM＋∠FCN，
所以∠AFM＝∠BFM．……10分
B．[选修4—2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
（1）解：
设，
则有，……2分
故解得，所以．……5分
（2）由，知，
易求，……7分
由，得，所以．……10分
C．[选修4—4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
解：
直线l的参数方程（t为参数）化为直角坐标方程是y＝x－3，……2分
圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0．……5分
圆C的圆心（2，0）到直线x－y－3＝0的距离为d＝＝．……7分
又圆C的半径r＝2，
所以直线l被圆C截得的弦长为2＝．……10分
D．[选修4—5：
不等式选讲]（本小题满分10分）
证明：
因为，……5分
所以，
又因为，
所以．……10分
【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
（1）解：
记“该同学获得个一等奖”为事件，，
则，
，
所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为
．……4分
（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，
，
，
所以的概率分布为
故．……10分
23．（本小题满分10分）
（1）证明：
因为，所以，
因为所以，，
所以，所以，
所以在上为增函数．……4分
（2）结论：
对于任意，在上均为增函数．
证明：
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论也成立，即在上为增函数，
所以当时，在上恒成立．
当n=k+1时，，
所以
又当时，，，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上为增函数．
由①②得证，对于任意，在上均为增函数．……10分
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