北京市高考专题复习数列部分.doc

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2016届北京市高三高考专题复习（数列部分）

一、填空、选择题

1、（2013年北京高考）若等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，则公比q＝________；前n项和Sn＝________．

2、（昌平区2015届高三上期末）已知数列满足且其前项之和为，则满足不等式成立的的最小值是

A.7B.6C.5D.4

3、（房山区2015届高三一模）已知数列的前项和为，，，则（）

A． B． C． D．

4、（海淀区2015届高三一模）已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差________；的最小值为.

5、（海淀区2015届高三二模）已知数列的前项和为，，，则.

6、已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为 （　　）

A．3或 B．3或 C． D．

7、设为等比数列的前项和,,则 （　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

8、等差数列中,则的值为 （　　）

A． B． C．21 D．27

9、在等差数列中,,,则的值是 （　　）

A．15 B．30 C．31 D．64

10、已知为等差数列,为其前项和.若,则 （　　）

A． B． C． D．

二、解答题

1、（2015年北京高考）已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，，问：

与数列的第几项相等？

2、（2014年北京高考）已知是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

3、（2013年北京高考）给定数列a1，a2，…，an，对i＝1，2，…，n－1，该数列前i项的最大值记为Ai，后n－i项ai＋1，ai＋2，…，an的最小值记为Bi，di＝Ai－Bi.

（1）设数列{an}为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；

（2）设a1，a2，…，an（n≥4）是公比大于1的等比数列，且a1>0.证明：

d1，d2，…，dn－1是等比数列；

（3）设d1，d2，…，dn－1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：

a1，a2，…，an－1是等差数列．

4、（昌平区2015届高三上期末）在等比数列中，.

（I）求等比数列的通项公式；

（II）若等差数列中，，求等差数列的前项的和，并求的最大值.

5、（朝阳区2015届高三一模）设数列的前项和为，且，，.

（Ⅰ）写出，，的值；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）已知等差数列中，有，，求数列的前项和．

6、（东城区2015届高三二模）已知等比数列的前项和，且成等差数列．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，求满足的最大正整数．

7、（房山区2015届高三一模）已知数列中，点在直线上，且首项是方程的整数解.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）数列的前项和为，等比数列中，，，数列的前项和为，当时，请直接写出的值.

8、（丰台区2015届高三一模）已知等差数列和等比数列中，，，．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）如果，写出m，n的关系式，并求．

9、（丰台区2015届高三二模）已知等差数列的前项和为，等比数列满足，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）如果数列为递增数列，求数列的前项和．

10、（海淀区2015届高三一模）已知数列的前项和为,，且是与的等差中项.

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和为,且对,恒成立,求实数的最小值.

11、（海淀区2015届高三二模）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，又数列满足，是数列的前项和.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若对任意的，都有成立，求正整数k的值.

12、（石景山区2015届高三一模）设数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若为等比数列，且，求数列的前n项和．

13、（西城区2015届高三二模）设数列的前n项和为，且，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列为等差数列，且，公差为.当时，比较与的大小．

14、已知数列的前项和为,,满足下列条件

①;②点在函数的图象上;

（I）求数列的通项及前项和;

（II）求证:

.

15、已知为等比数列，其前项和为，且.

（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

参考答案

一、填空、选择题

1、2　2n＋1－2　[解析]∵a3＋a5＝q（a2＋a4），∴40＝20q，∴q＝2，∴a1（q＋q3）＝20，∴a1＝2，∴Sn＝＝2n＋1－2.

2、C　　3、B　　4、12，－54　　5、1

6、C　7、B8、A9、A10、D

二、解答题

1、【答案】

（1）；

（2）与数列的第63项相等.

【解析】

试题分析：

本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和d，解方程得到和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列的公差为d.

因为，所以.

又因为，所以，故.

所以.

（Ⅱ）设等比数列的公比为.

因为，，

所以，.

所以.

由，得.

所以与数列的第63项相等.

考点：

等差数列、等比数列的通项公式.

2、解：

（Ⅰ）设等差数列的公差为，由题意得

所以．

设等比数列的公比为，

由题意得，解得．

所以．

从而

（Ⅱ）由⑴知．

数列的前项和为，数列的前项和为．

所以，数列的前项和为．

3、解：

（1）d1＝2，d2＝3，d3＝6.

（2）证明：

因为a1>0，公比q>1，

所以a1，a2，…，an是递增数列．

因此，对i＝1，2，…，n－1，Ai＝ai，Bi＝ai＋1.

于是对i＝1，2，…，n－1，

di＝Ai－Bi＝ai－ai＋1＝a1（1－q）qi－1.

因此di≠0且＝q（i＝1，2，…，n－2），

即d1，d2，…，dn－1是等比数列．

（3）证明：

设d为d1，d2，…，dn－1的公差．

对1≤i≤n－2，因为Bi≤Bi＋1，d>0，所以Ai＋1＝Bi＋1＋di＋1≥Bi＋di＋d>Bi＋di＝Ai.

又因为Ai＋1＝max{Ai，ai＋1}，所以ai＋1＝Ai＋1>Ai≥ai.

从而a1，a2，…，an－1是递增数列，因此Ai＝ai（i＝1，2，…，n－1）．

又因为B1＝A1－d1＝a1－d1

因此an＝B1.

所以B1＝B2＝…＝Bn－1＝an.

所以ai＝Ai＝Bi＋di＝an＋di.

因此对i＝1，2，…，n－2都有ai＋1－ai＝di＋1－di＝d，

即a1，a2，…，an－1是等差数列．

4、解：

（I）在等比数列中，设公比为，

因为,

所以得

所以数列的通项公式是.……………5分

（II）在等差数列中，设公差为.

因为,

所以……………9分

方法一

，

当时，最大值为72.……………13分

方法二

由,当,解得,即

所以当时，最大值为72.……………13分

5、（Ⅰ）解：

因为，，

所以，，

．………3分

（Ⅱ）当时，．

又当时，．

所以………6分

（Ⅲ）依题意，，.

则由得，，,则.

所以

所以.

因为=

，

所以.

所以

.

所以.………13分

6、解：

（Ⅰ）设的公比为，因为成等差数列，

所以.

整理得，即，解得.

又，解得.

所以.…………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得,

所以.

.…………………………10分

所以由，得，

整理得，

解得.

故满足的最大正整数为.…………………………13分

7、解：

（I）根据已知，即， ………………2分

所以数列是一个等差数列， ………………4分

（II）数列的前项和 ………………6分

等比数列中，，，所以，……………9分

数列的前项和 ……………11分

即，又，所以或2 ……………13分

8、解：

（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则

．

解得或（舍）．

所以，．……………………6分

（Ⅱ）因为，

所以，即．

．……………………13分

所以．

9、解：

（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则由题意得

．

代入得，解得或（舍）．

所以．

所以；或．……………………7分

（Ⅱ）因为数列为递增数列，

所以．

所以，

，

相减得，

所以．……………………13分

10、解：

（Ⅰ）因为,

所以.………………1分

因为是与的等差中项,

所以,即.

所以.………………3分

所以是以1为首项，2为公比的等比数列.

所以.………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

.

所以,.

所以是以1为首项,为公比的等比数列.………………9分

所以数列的前项和.………………11分

因为，

所以.

若，当时，.

所以若对,恒成立，则.

所以实数的最小值为2.………………13分

11、解：

（Ⅰ）因为数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.………………2分

所以.………………3分

所以.………………6分

（Ⅱ）令.

则.………………9分

所以当时，；

当时，；

当时，，即.

所以数列中最大项为和.

所以存在或，使得对任意的正整数，都有.………………13分

12、（Ⅰ）依题意得，即．

当n=1时，a1=S1=1……………1分

当n≥2时，；……………3分

当n=1时，a1==1

所以……………4分

（Ⅱ）得到，又，，

，……………8分

，

……………13分

13、（Ⅰ）证明：

因为，

所以当时，，

由两式相减，得，

即，………………3分

因为当时，，

所以，………………4分

所以．………………5分

所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，

所以．………………7分

（Ⅱ）解：

因为，………………9分

所以，，………………11分

因为，………………12分

由，得，

所以当时，.………………13分

14、解:

（I）由题意

当时

整理,得

又,所以或

时,,,

得 ,

时,,,

得 ,

（II）证明:

时,

所以

时,

因为

所以

综上

15、解：

（Ⅰ）当时，.……………………………………1分

当时，.……………………………………………3分

因为是等比数列，

所以，即..…………………………………5分

所以数列的通项公式为.…………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，设数列的前项和为.

则.①

.②

①-②得……………………9分

……………………………………11分

.…………………………………………………12分

所以.……………………………………………………………13分

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