三角恒等变换(附答案).doc
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教学设计方案
XueDaPPTSLearningCenter
姓名
学生姓名
填写时间
学科
数学
年级
高三
教材版本
人教版
阶段
第（9）周观察期：
□维护期：
□
课题名称
三角恒等变换
课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间
教学目标
大纲教学目标
1、巩固两角和、差的正弦、余弦和正切及二倍角公式
2、推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换.
3、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式
个性化教学目标
学生知识点综合能力的训练
教学重点
1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用
2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式
教学
难点
1、两角和差的正弦、余弦及正切及二倍角公式的灵活应用
2、掌握三角函数图像变换方法，能由图像求三角函数解析式
教学过程
第一部分：
知识点分析
一、回顾公式
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin（α±β）＝sin__αcos__β±cos__αsin__β．
cos（α∓β）＝cos__αcos__β±sin__αsin__β．
tan（α±β）＝．
2．二倍角的公式
sin2α＝2sin__αcos__α．
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
tan2α＝．
3．有关公式的逆用、变形等
（1）tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tan__αtan__β）．
（2）cos2α＝，sin2α＝．
（3）1＋sin2α＝（sinα＋cosα）2，
1－sin2α＝（sinα－cosα）2，
sinα±cosα＝sin.
4．归一公式
函数f（α）＝asinα＋bcosα（a，b为常数），可以化为f（α）＝sin（α＋φ）或f（α）＝·cos（α－φ）.
二、函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
1．“五点法”作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
（1）定点：
如下表所示.
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
（2）作图：
在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin（ωx＋φ）在一个周期内的图象．
（3）扩展：
将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin（ωx＋φ）在R上的图象．
2．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的两种途径
3．函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义
当函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），x∈[0，＋∞）表示一个振动量时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．
第二部分：
考点分析
高频考点一归一公式应用
例1：
（1）； ⑵；
⑶； ⑷．
【变式练习1】
（1）。
①求它的递减区间；②求它的最大值和最小值
（2）已知函数（其中），求：
①函数的最小正周期;
②函数的单调区间;
③函数图象的对称轴和对称中心．
（3）设函数f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为.
①求ω的值；
②若函数y＝g（x）的图像是由y＝f（x）的图像向右平移个单位长度得到的，求y＝g（x）的单调增区间．
[解析]
（1）f（x）＝（sinωx＋cosωx）2＋2cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx
＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝sin（2ωx＋）＋2，依题意得＝，故ω的值为.
（2）依题意得g（x）＝sin＋2＝sin＋2，
由2kπ－≤3x－≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ＋≤x≤kπ＋ （k∈Z），
故y＝g（x）的单调增区间为 （k∈Z）．
高频考点二三角函数式的化简与给角求值
【例2】
（1）=_____________________
（2）若，则等于（）
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，，求值
（4）已知α∈（0，π），化简：
＝________．
（5）[2sin50°＋sin10°（1＋tan10°）]·＝______．
【答案】 （4）cosα （4）
【解析】
（1）原式＝
＝＝.
因为0＜α＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝cosα.
（2）原式＝·
sin80°＝（2sin50°＋2sin10°·）·
cos10°＝2[sin50°·cos10°＋sin10°·cos（60°－10°）]
＝2sin（50°＋10°）＝2×＝.
【点拨】
（1）三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．
（2）对于给角求值问题，一般给定的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角．另外此类问题也常通过代数变形（比如：
正负项相消、分子分母相约等）的方式来求值．
【变式练习2】
（1）4cos50°－tan40°＝（ ）
A.B.C.D．2－1
（2）化简：
sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos2αcos2β＝________．
【答案】
（1）C
（2）
【解析】
（1）原式＝4sin40°－
＝＝＝
＝＝＝，故选C.
（2）法一 （从“角”入手，复角化单角）
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（2cos2α－1）（2cos2β－1）
＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－（4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1）
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
法二 （从“名”入手，异名化同名）
原式＝sin2αsin2β＋（1－sin2α）cos2β－cos2αcos2β
＝cos2β－sin2α（cos2β－sin2β）－cos2αcos2β
＝cos2β－cos2β（sin2α＋cos2α）＝－cos2β＝.
法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）
原式＝·＋·－cos2α·cos2β
＝（1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β）＋（1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β）－cos2α·cos2β
＝＋＝.
法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式＝（sinαsinβ－cosαcosβ）2＋2sinαsinβ·cosαcosβ－cos2αcos2β
＝cos2（α＋β）＋sin2α·sin2β－cos2α·cos2β
＝cos2（α＋β）－cos（2α＋2β）
＝cos2（α＋β）－[2cos2（α＋β）－1]＝.
高频考点三三角函数的给值求值、给值求角
【例3】
（1）已知，是第三象限角，求的值.
（2）已知sin（30°＋α）＝，60°<α<150°，求cosα的值．
（3）已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求
cos（α＋β）的值；
（4）已知α，β∈（0，π），且tan（α－β）＝，tanβ＝－，求2α－β的值．
【答案】
（2）（3）－；（4）－.
【解析】
（2）方法二：
把30°＋α看作整体，可求cos（30°＋α）的值．∵60°<α<150°，∴90°<30°＋α<180°.
∵sin（30°＋α）＝，∴cos（30°＋α）＝－.
∴sin（30°＋α）＝sin30°·cosα＋cos30°·sinα＝cosα＋sinα＝，①
cos（30°＋α）＝cos30°·cosα－sin30°·sinα＝cosα－sinα＝－.②
由①②，得cosα＝.
（3）∵0<β<<α<π，∴<α－<π，－<－β<，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝，
∴cos（α＋β）＝2cos2－1＝2×－1＝－.
（4）∵tanα＝tan[（α－β）＋β]＝
＝＝>0，又α∈（0，π）．
∴0<α<，又∵tan2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan（2α－β）＝＝＝1.
∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
【点拨】
（1）解题中注意变角，如本题中＝－；
（2）通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：
①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
【变式练习3】已知cosα＝，cos（α－β）＝，且0<β<α<，
（1）求tan2α的值；
（2）求β.
【答案】
（1）－；
（2）
【解析】
（1）∵cosα＝，0<α<，
∴sinα＝，∴tanα＝4，
∴tan2α＝＝＝－.
（2）∵0<β<α<，∴0<α－β<，
∴sin（α－β）＝，
∴cosβ＝cos[α－（α－β）]
＝cosαcos（α－β）＋sinαsin（α－β）
＝×＋×＝.
∴β＝.
高频考点四三角变换的简单应用
【例4】已知函数f（x）＝Asin，x∈R，且f＝.
（1）求A的值；
（2）若f（θ）－f（－θ）＝，θ∈，求f.
【答案】
（1）A＝3.
（2）.
【解析】
（1）由f＝，得Asin＝Asin＝
A＝，所以A＝3.
（2）由f（θ）－f（－θ）＝3sin－3sin＝
3
＝6sinθcos＝3sinθ＝，
∴sinθ＝.
∵θ∈，∴cosθ＝，
∴f＝3sin
＝3sin＝3cosθ＝.
【点拨】 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．
【变式练习4】已知函数f（x）＝sin.
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．
【答案】
（1），k∈Z.
（2）－或－.
【解析】
（1）因为函数y＝sinx的单调递增区间为
，k∈Z，
由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以函数f（x）的单调递增区间为
，k∈Z.
（2）由已知，有sin＝cos（cos2α－sin2α），
所以sinαcos＋cosαsin
＝（cos2α－sin2α），
即sinα＋cosα＝（cosα－sinα）2（sinα＋cosα）．
当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，
知α＝＋2kπ，k∈Z.
此时cosα－sinα＝－.
当sinα＋cosα≠0时，有（cosα－sinα）2＝.
由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，
此时cosα－sinα＝－.
综上所述，cosα－sinα＝－或－.
高频考点五三角函数的定义域、值域
【例5】
（1）函数y＝的定义域为___________________________．
（2）函数y＝2sin（0≤x≤9）的最大值与最小值之和为（ ）
A．2－B．0C．－1D．－1－
【答案】
（1）{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}
（2）A
【解析】
（1）要使函数有意义，必须有
即
故函数的定义域为{x|x≠＋kπ且x≠＋kπ，k∈Z}．
（2）∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin∈.
∴y∈，∴ymax＋ymin＝2－.
【点拨】
（1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
（2）求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种类型：
①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再求最值（值域）；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；③形如y＝asinxcosx＋b（sinx±cosx）＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域（最值）．
【变式练习5】
（1）函数y＝的定义域为________．
（2）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________．
【答案】
（1）
（2）
【解析】
（1）法一 要使函数有意义，必须使sinx－cosx≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sinx＝cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
.
法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围
（如图阴影部分所示）．
∴定义域为
.
法三 sinx－cosx＝sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sinx的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，
解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.
所以定义域为.
（2）设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－
2sinxcosx，sinxcosx＝，且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－（t－1）2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－－.
∴函数的值域为.
高频考点六三角函数的奇偶性、周期性、对称性
【例6】
（1）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝（ ）
A.B.C.D.
（2）函数y＝2cos2－1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
【答案】
（1）A
（2）A
【解析】
（1）＝2，即ω＝1，
∴f（x）＝sin（x＋φ），
∴f＝sin＝±1.
∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜，
∴φ＋＝，∴φ＝.
（2）y＝2cos2－1＝cos＝sin2x为奇函数，最小正周期T＝＝π.
【点拨】
（1）求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ（k∈Z），求x；求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z）即可．
（2）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，则最小正周期为T＝；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．
【变式练习6】
（1）如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）
A.B.C.D.
（2）若函数f（x）＝sin（φ∈[0，2π]）是偶函数，则φ＝（ ）
A.B.C.D.
【答案】
（1）A
（2）C
【解析】
（1）由题意得3cos＝3cos
＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
（2）由已知f（x）＝sin是偶函数，可得＝kπ＋，即φ＝3kπ＋（k∈Z），又φ∈[0，2π]，所以φ＝.
高频考点七三角函数的单调性
【例7】
（1）已知f（x）＝sin，x∈[0，π]，则f（x）的单调递增区间为________．
（2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A.B.
C.D．（0，2]
【答案】
（1）
（2）A
【解析】
（1）由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.又x∈[0，π]，
所以f（x）的单调递增区间为.
（2）由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，
由题意知⊆，
∴
∴≤ω≤，故选A.
【点拨】
（1）求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin（ωx＋φ）形式，再求y＝Asin（ωx＋φ）的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．
（2）对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷．
【变式练习7】函数f（x）＝sin的单调减区间为______．
【答案】（k∈Z）
【解析】由已知函数为y＝－sin，欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的减区间为（k∈Z）．
高频考点八函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
【例8】设函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）的周期为π.
（1）求它的振幅、初相；
（2）用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（3）说明函数f（x）的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
【解析】
（1）f（x）＝sinωx＋cosωx
＝2＝2sin，
又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.∴f（x）＝2sin.
∴函数f（x）＝sinωx＋cosωx的振幅为2，初相为.
（2）令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.
列表，并描点画出图象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sinX
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
（3）法一 把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到y＝2sin的图象．
法二 将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到y＝2sin的图象．
【点拨】 作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象常用如下两种方法：
（1）五点法作图法，用“五点法”作y＝Asin（ωx＋φ）的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
（2）图象的变换法，由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象有两种途径：
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
【变式练习8】设函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的最小正周期为π，且f＝.
（1）求ω和φ的值；
（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象．
【解析】
（1）∵T＝＝π，ω＝2，
又f＝cos＝，∴sinφ＝－，
又－＜φ＜0，∴φ＝－.
（2）由
（1）得f（x）＝cos，列表：
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f（x）
1
0
－1
0
图象如图．
高频考点九由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
【例9】函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为________．
【答案】f（x）＝sin
【解析】由题图可知A＝，
法一 ＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f（x）＝sin（2x＋φ），
又对应五点法作图中的第三个点，因此2×＋φ＝π，所以
φ＝，故f（x）＝sin.
法二 以为第二个“零点”，为最小值点，
列方程组解得
故f（x）＝sin.
【点拨】 已知f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
（1）五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0（或ωx0＋φ＝π），即可求出φ；
（2）代入法，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．
【变式练习9】函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则f的值为________．
【答案】1
【解析】由三角函数图象可得A＝2，T＝－＝π，所以周期T＝π＝，解得ω＝2.又函数图象过点所以f＝2sin＝2，0＜φ＜π，解得φ＝，所以f（x）＝2sin，f＝2sin＝1.
高频考点十 函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质应用
【例10】已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
（1）求f的值；
（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位后，得到y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．
【答案】
（1）；
（2）（k∈Z）．
【解析】
（1）因为f（x）的图象上相邻最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f（x）的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，
所以f（x）＝sin，
则f＝sin＝sin＝.
（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到f的图象，
所以g（x）＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z）时，g（x）单调递减．
因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．
【点拨】函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx＋φ看做一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想．
【变式练习10】已知函数f（x）＝2sin·cos－sin（x＋π）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值．
【解析】
（1）f（x
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