厦门市2013届高三质量检查数学理科试卷(含答案).doc

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厦门市2013届高三质量检查

数学（理科）试卷

注意事项：

1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；

2.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共50分）

一.选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.

1．已知全集，集合，，则等于（）

A．B．C．D．

2.双曲线的渐近线方程为（）

A．B．C．D．

3.某雷达测速区规定：

凡车速大于或等于80km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）

A．20辆B．40辆C．60辆D．80辆

4.“”是”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5.函数（）

A.是偶函数且为减函数B.是偶函数且为增函数

C.是奇函数且为减函数D.是奇函数且为增函数

开始

i=0

输入正整数n

n为奇数?

n=3n+1

n=n/2

i=i+1

n=1?

输出i

结束

6.若不等式组表示的平面区域为，不等式表示的平面区域为，

现随机向区域内投掷一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为（）

A．B．C．D.

7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（）

A.B.C.D.

8.在右侧程序框图中，输入，按程序运行后输出的结果是（）

A．3B．4C．5D.6

9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

10.中，，为锐角，点O是外接圆的圆心，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二．填空题：

本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

11．若为纯虚数（为虚数单位），则实数=.

12．已知则＝.

13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图

是半圆。

现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到

A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为________．

14．在含有3件次品的10件产品中，取出件产品，

记表示取出的次品数，算得如下一组期望值：

当n=1时，;

当n=2时，;

当n=3时，;

……

观察以上结果，可以推测：

若在含有件次品的件产品中，取出件产品，记表示取出的次品数，则=．

15．某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将变形为，则表示（如图），下列关于函数的描述正确的是．（填上所有正确结论的序号）

①的图象是中心对称图形；②的图象是轴对称图形；

③函数的值域为；④方程有两个解.

三、解答题：

本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分13分）

已知函数（）的周期为4。

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）将的图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，

、分别为函数图象的最高点和最低点（如图），求的大小。

17．（本小题满分13分）

如图，PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB=PA=2QC=2，AC∩BD=O

（Ⅰ）求证：

OP⊥平面QBD;

（Ⅱ）求二面角P-BQ-D平面角的余弦值；

（Ⅲ）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求的值.

18．（本小题满分13分）

某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元。

此后该城市每年新增人口10万，医疗费用投入每年新增亿元。

已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%。

为加大医疗改革力度，要求将来10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增元，求的值。

（参考数据：

）

19.（本小题满分13分）

已知函数在处的切线与直线垂直，函数．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设是函数的两个极值点，若，求的最大值．

20.（本小题满分14分）

已知椭圆.

（Ⅰ）我们知道圆具有性质：

若为圆O：

的弦AB的中点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率的乘积为定值。

类比圆的这个性质，写出椭圆的类似性质，并加以证明；

（Ⅱ）如图

（1），点B为在第一象限中的任意一点，过B作的切线，分别与x轴和y轴的正半轴交于C，D两点，求三角形OCD面积的最小值；

（Ⅲ）如图

（2），过椭圆上任意一点作的两条切线PM和PN，切点分别为M，N.当点P在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？

若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

图

（1）图

（2）

21.本题设有

（1）

（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.

（1）（本小题满分7分）选修4-2：

矩阵与变换

已知矩阵，.

（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵；

（Ⅱ）求直线在矩阵对应的线性变换作用下所得曲线的方程.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）.

（Ⅰ）将C的方程化为普通方程；

（Ⅱ）以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程是，

求曲线C与C交点的极坐标.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：

不等式选讲

已知正数，，满足．

（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）若不等式对满足条件的，，恒成立，求实数的取值范围．

厦门市2013届高三质量检查

数学（理科）评分标准

一．选择题；

10.分析1：

BC=2，，所以，如图建系，

，求得圆O：

，设，则

分析2：

…

分析3：

又，

所以=

二．填空题：

11.12.13.（或）14.15．②③

15.分析：

如图设，当P，Q关于对称时，即

所以f（x）关于对称.

④设，则，观察出，则，由③知无解.

三．解答题：

16.本题考查了三角函数和角公式的变换和三角函数图像周期、对称、平移等基本性质，考查运用有关勾股定理、余弦定理求解三角形的能力，考查了运用数形结合的数学思想解决问题的能力．满分13分．

解：

（1）

----------------------------------------------------------------1分

-------------------------------------3分

-------------------------------------5分

-------------------------------------6分

（2）将的图像沿轴向右平移个单位得到函数---------------------------7分

因为、分别为该图像的最高点和最低点，

所以--------------------------------------------------------------------------9分

所以----------------------------------------------------------------------------10分

--------------------------------------------------12分

所以---------------------------------------------------------------------------------------13分

法2：

法3：

利用数量积公式，

17．本题主要考查空间直线与平面垂直的判断、线面平行及二面角的判断及计算、空间向量应用的基本方法，

考查空间想象、计算、推理论证等能力．满分13分．

解：

（Ⅰ）连接OQ，由题知PA∥QC,∴P、A、Q、C共面

BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A，

∴BD⊥平面PACQ,∴BD⊥OP.------------------------------------------------------1分

由题中数据得PA=2，AO=OC=,OP=,QC=1，OQ=

∴△PAO∽△OCQ,∴∠POA=∠OQC,

又∵∠POA+∠OPA=90°∴∠POA+∠COQ=90°∴OP⊥OQ

（或计算PQ=3，由勾股定理得出∠POQ=90°，OP⊥OQ）------------------3分

∵OP⊥BD,OP⊥OQ,BD∩OQ=O，∴OP⊥平面QBD--------------------------4分

（Ⅱ）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系，

∴各点坐标分别为A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,2,0）,P（0,0,2）,Q（2,2,1）,O（1,1,0）-------------------5分

∴=（-2,0,2）,=（0,2,1）,设平面PBQ的法向量

∴，得，

不妨设，∴--------------------------------------------------------------------------------------------------6分

由（Ⅰ）知平面BDQ的法向量，---------------------------------------------------------------------------7分

，>=，

∴二面角P-BQ-D平面角的余弦值为.-------------------------------------------------------------------------------------9分

（Ⅲ）设,∴,

，-------------------------------------------------------------------------------------------11分

∵CE∥平面PBQ,∴与平面PBQ的法向量垂直。

----------------------------------------------------------------------------------------12分

∴.∴--------------------------------------------------------------------------------------------------------------13分

（方法二）在平面PAD中，分别过D点、P点作直线PA、AD的平行线相交于点M，

连结MC交直线DQ与点N，在平面PQD中过点N作直线NE∥PQ交PQ于点E，----------------------------11分

由题可知CN∥PB,NE∥PQ,CN∩NE=N

∴平面CNE∥平面PBQ,∴CE∥平面PBQ----------------------------------12分

∵CQ=1，MD=PA=2，∴

∵NE∥PQ,------------------------------------------------------------13分

18．本题主要考查学生审题阅读、理解分析的能力，考查等差等比数列的基本知识，考查数学建模及其应用与计算的能力，考查运用数学知识分析问题和解决实际问题问题的能力．满分13分.

解：

（Ⅰ）依题意，从2002年起，该城市的人口数组成一个等差数列，

到2012年，，该城市的人口数为万人，--------------------------------2分

故2012年医疗费用投入为元，即为30亿元，

由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列，--------------------------------------------------4分

所以，解得，--------------------------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）依题意，从2013年起（记2013年为第一年），

该城市的人口数组成一个等比数列，

其中，公比，----------------------------------------6分

医疗费用人均投入组成一个等差数列，

其中，公差为，；---------------------------------------------------------------7分

于是，从2013年起，将来10医疗费用总投入为：

，----------------------------------------------------------------------------------------8分

，

，

相减得：

，

，

所以（万元），----------------------------------------------------------------------------12分

由题设，，解得。

------------------------------------------------------13分

19.本题主要考查函数的导数的几何意义，导数知识的应用等基础知识，函数的单调性、考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、数学建模应用解决问题、分类与整合思想。

满分13分.

解：

（Ⅰ）∵，∴.------------------------------------------------------------------1分

∵与直线垂直，∴，∴.---------------------------------3分

（Ⅱ）∵，∴.---------------------------4分

由题知在上有解，∵,----------------------------------------------------------------5分

设，则∴只须------------------------------7分

，故的取值范围为.-------------------------------------------------8分

（Ⅲ）∵，∴令，得：

∴，

法1：

∵

----------------------------10分

∵，∴设，令-------------------------11分

则，∴在上单调递减．-----------------------------------------12分

又∵，∴，即

∵，∴，∴，，故所求最小值为--13分

法2：

同上得

--------------------------------------------10分

令，则----------------------------------------11分

≥0----------------------------------------------------------12分

在上为增函数.当时,故所求最小值为---------------------13分

20.本题主要考查直线、圆、椭圆等基础知识，考查类比推理论证能力、运算求解能力，考查一般到特殊的思想方法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

满分14分.

解：

（Ⅰ）若A，B为椭圆上相异的两点，为A，B中点，当直线AB

的斜率与直线OE的斜率的乘积必为定值;---------------------------------------------------1分

证1：

设，则

（2）-

（1）得：

，-----------2分

仅考虑斜率存在的情况：

----------------------------------------4分

证2：

设AB：

与椭圆联立得：

，-----------------------------------------------------------------------------------------------------2分

所以----------4分

（Ⅱ）（ⅰ）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上的B的切线的斜率，

即，

所以点B处的切线QB：

----------------6分

令，，令，所以-----------------8分

又点B在椭圆的第一象限上，所以

，当且仅当

所以当时，三角形OCD的面积的最小值为-------10分（没写等号成立扣1分）

（ⅱ）设，由（ⅰ）知点处的切线为：

又过点，所以，又可理解为点在直线上

同理点在直线上，所以直线MN的方程为：

　--------------------------12分

所以原点O到直线MN的距离，----------13分

所以直线MN始终与圆相切.　------------------------14分

21.

（1）选修4-2：

矩阵与变换

本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法等基础知识，考查书写表达能力、运算求解能力。

满分7分K^S*5U.C#O%

解：

（Ⅰ），矩阵A可逆．---------------------------------------------------------------------1分

且-------------------------------------------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）==---------------------------------------------------------------------------4分

设直线上任意一点在矩阵对应的线性变换作用下得到，

则=----------------------------------------------------------------------------------------------------5分

即：

，从而------------------------------------------------------------------------------6分

代入得即为所求的曲线方程。

-------------------------------------7分

（2）选修4-4：

坐标系与参数方程

本小题主要考查圆的参数方程、直线的极坐标方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想。

满分7分

解：

（Ⅰ）C的普通方程为：

---------------------------------------------------------------------------3分

（Ⅱ）法一：

如图,设圆心为A，原点O在圆上，

设C与C相交于O、B，取线段OB中点C，

直线OB倾斜角为，OA=2，-----------------------------------------------4分

OC=1从而OB=2，-------------------------------------------------------------5分

O、B的极坐标分别为------------------------------------7分

法二：

C的直角坐标方程为：

--------------------------------------4分

代入圆的普通方程后，得,即：

，得：

O、B的直角坐标分别为---------------------------------------------------------------------5分

从而O、B的极坐标分别为---------------------------------------------------------------------7分

（3）选修4-5：

不等式选讲

本小题主要考查柯西不等式、绝对值的意义、绝对值不等式、恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力，分类讨论思想。

满分7分

解：

（Ⅰ）由柯西不等式，----------------------------------------------1分

即有，

又、、是正数，即的最大值为6，-------------------------------------2分

当且仅当，即当时取得最大值。

-------------------------------------------------3分

（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）得，------------------------------------------------------4分

即：

---------------------------------------------------------------------6分

解得：

无解或综上，实数的取值范围为------------------------------------------7分