辽宁省高考数学试卷理科答案与解析.doc
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2014年辽宁省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2014•辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( )
A.
{x|x≥0}
B.
{x|x≤1}
C.
{x|0≤x≤1}
D.
{x|0<x<1}
考点:
交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
先求A∪B,再根据补集的定义求CU(A∪B).
解答:
解:
A∪B={x|x≥1或x≤0},
∴CU(A∪B)={x|0<x<1},
故选:
D.
点评:
本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法.
2.(5分)(2014•辽宁)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=( )
A.
2+3i
B.
2﹣3i
C.
3+2i
D.
3﹣2i
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求.
解答:
解:
由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得:
,
∴z=2+3i.
故选:
A.
点评:
本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题.
3.(5分)(2014•辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则( )
A.
a>b>c
B.
a>c>b
C.
c>a>b
D.
c>b>a
考点:
对数的运算性质.菁优网版权所有
专题:
计算题;综合题.
分析:
利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c>1,则答案可求.
解答:
解:
∵0<a=<20=1,
b=log2<log21=0,
c=log=log23>log22=1,
∴c>a>b.
故选:
C.
点评:
本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题.
4.(5分)(2014•辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( )
A.
若m∥α,n∥α,则m∥n
B.
若m⊥α,n⊂α,则m⊥n
C.
若m⊥α,m⊥n,则n∥α
D.
若m∥α,m⊥n,则n⊥α
考点:
空间中直线与直线之间的位置关系.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;
B.运用线面垂直的性质,即可判断;
C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;
D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断.
解答:
解:
A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错;
B.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故B正确;
C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α,故C错;
D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n⊂α或n⊥α,故D错.
故选B.
点评:
本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型.
5.(5分)(2014•辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:
若•=0,•=0,则•=0;命题q:
若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是( )
A.
p∨q
B.
p∧q
C.
(¬p)∧(¬q)
D.
p∨(¬q)
考点:
复合命题的真假;平行向量与共线向量.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论.
解答:
解:
若•=0,•=0,则•=•,即(﹣)•=0,则•=0不一定成立,故命题p为假命题,
若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题,
则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题,
故选:
A.
点评:
本题主要考查复合命题之间的判断,利用向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假是解决本题的关键.
6.(5分)(2014•辽宁)6把椅子排成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )
A.
144
B.
120
C.
72
D.
24
考点:
计数原理的应用.菁优网版权所有
专题:
应用题;排列组合.
分析:
使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理可得结论.
解答:
解:
使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有种,即全排,6种;第二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子,2号位置与3号位置之间摆放一张凳子,剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡,随便摆放即可,即有种办法.根据分步计数原理,6×4=24.
故选:
D.
点评:
本题考查排列知识的运用,考查乘法原理,先排人,再插入椅子是关键.
7.(5分)(2014•辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.
8﹣2π
B.
8﹣π
C.
8﹣
D.
8﹣
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
计算题;空间位置关系与距离.
分析:
几何体是正方体切去两个圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高,把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算.
解答:
解:
由三视图知:
几何体是正方体切去两个圆柱,
正方体的棱长为2,切去的圆柱的底面半径为1,高为2,
∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π.
故选:
B.
点评:
本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.
8.(5分)(2014•辽宁)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则( )
A.
d<0
B.
d>0
C.
a1d<0
D.
a1d>0
考点:
数列的函数特性.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用;等差数列与等比数列.
分析:
由于数列{2}为递减数列,可得=<1,解出即可.
解答:
解:
∵等差数列{an}的公差为d,∴an+1﹣an=d,
又数列{2}为递减数列,
∴=<1,
∴a1d<0.
故选:
C.
点评:
本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
9.(5分)(2014•辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.
在区间[,]上单调递减
B.
在区间[,]上单调递增
C.
在区间[﹣,]上单调递减
D.
在区间[﹣,]上单调递增
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[,]上单调递增,则答案可求.
解答:
解:
把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,
得到的图象所对应的函数解析式为:
y=3sin[2(x﹣)+].
即y=3sin(2x﹣).
当函数递增时,由,得.
取k=0,得.
∴所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.
故选:
B.
点评:
本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题.
10.(5分)(2014•辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:
y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
直线与圆锥曲线的关系.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
由题意先求出准线方程x=﹣2,再求出p,从而得到抛物线方程,写出第一象限的抛物线方程,设出切点,并求导,得到切线AB的斜率,再由两点的斜率公式得到方程,解出方程求出切点,再由两点的斜率公式求出BF的斜率.
解答:
解:
∵点A(﹣2,3)在抛物线C:
y2=2px的准线上,
即准线方程为:
x=﹣2,
∴p>0,=﹣2即p=4,
∴抛物线C:
y2=8x,在第一象限的方程为y=2,
设切点B(m,n),则n=2,
又导数y′=2,则在切点处的斜率为,
∴即m=2m,
解得=2(舍去),
∴切点B(8,8),又F(2,0),
∴直线BF的斜率为,
故选D.
点评:
本题主要考查抛物线的方程和性质,同时考查直线与抛物线相切,运用导数求切线的斜率等,是一道基础题.
11.(5分)(2014•辽宁)当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.
[﹣5,﹣3]
B.
[﹣6,﹣]
C.
[﹣6,﹣2]
D.
[﹣4,﹣3]
考点:
函数恒成立问题;其他不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
综合题;导数的综合应用;不等式的解法及应用.
分析:
分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.
解答:
解:
当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;
当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,
令f(x)=,则f′(x)==﹣(*),
当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,
f(x)max=f
(1)=﹣6,∴a≥﹣6;
当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤,
由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;
综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].
故选:
C.
点评:
本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集.
12.(5分)(2014•辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:
①f(0)=f
(1)=0;
②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.
若对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,则m的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
函数恒成立问题;绝对值不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
综合题;函数的性质及应用.
分析:
依题意,构造函数f(x)=(0<k<),分x∈[0,],且y∈[0,];x∈[0,],且y∈[,1];x∈[0,],且y∈[,1];及当x∈[,1],且y∈[,1]时,四类情况讨论,可证得对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<恒成立,从而可得m≥,继而可得答案.
解答:
解:
依题意,定义在[0,1]上的函数y=f(x)的斜率|k|<,
依题意,k>0,构造函数f(x)=(0<k<),满足f(0)=f
(1)=0,|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|.
当x∈[0,],且y∈[0,]时,|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×<;
当x∈[0,],且y∈[,1],|f(x)﹣f(y)|=|kx﹣(k﹣ky)|=|k(x+y)﹣k|≤|k(1+)﹣k|=<;
当y∈[0,],且x∈[,1]时,同理可得,|f(x)﹣f(y)|<;
当x∈[,1],且y∈[,1]时,|f(x)﹣f(y)|=|(k﹣kx)﹣(k﹣ky)|=k|x﹣y|≤k×(1﹣)=<;
综上所述,对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<,
∵对所有x,y∈[0,1],|f(x)﹣f(y)|<m恒成立,
∴m≥,即m的最小值为.
故选:
B.
点评:
本题考查函数恒成立问题,着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用,考查分析、推理及运算能力,属于难题.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
考生根据要求作答.
13.(5分)(2014•辽宁)执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y= .
考点:
程序框图.菁优网版权所有
专题:
计算题;算法和程序框图.
分析:
根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件|y﹣x|<1,计算输出y的值.
解答:
解:
由程序框图知:
第一次循环x=9,y=+2=5,|5﹣9|=4>1;
第二次循环x=5,y=+2=,|﹣5|=>1;
第三次循环x=,y=+2.|+2﹣|=<1,
满足条件|y﹣x|<1,跳出循环,输出y=.
故答案为:
.
点评:
本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.
14.(5分)(2014•辽宁)正方形的四个顶点A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1)分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是 .
考点:
几何概型.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论.
解答:
解:
∵A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1),
∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4,
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[(1﹣)﹣(﹣1+)]=2×=,
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是.
故答案为:
.
点评:
本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键.
15.(5分)(2014•辽宁)已知椭圆C:
+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= 12 .
考点:
椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
画出图形,利用中点坐标以及椭圆的定义,即可求出|AN|+|BN|的值.
解答:
解:
如图:
MN的中点为Q,易得,,
∵Q在椭圆C上,∴|QF1|+|QF2|=2a=6,
∴|AN|+|BN|=12.
故答案为:
12.
点评:
本题考查椭圆的定义,椭圆的基本性质的应用,是对基本知识的考查.
16.(5分)(2014•辽宁)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小值为 ﹣2 .
考点:
基本不等式.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
首先把:
4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,转化为=,再由柯西不等式得到|2a+b|2,分别用b表示a,c,在代入到﹣+得到关于b的二次函数,求出最小值即可.
解答:
解:
∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0,
∴=
由柯西不等式得,
[][]=|2a+b|2
故当|2a+b|最大时,有
∴
∴﹣+===,
当b=时,取得最小值为﹣2.
故答案为:
﹣2
点评:
本题考查了柯西不等式,以及二次函数的最值问题,属于难题.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)(2014•辽宁)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知•=2,cosB=,b=3,求:
(Ⅰ)a和c的值;
(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.
考点:
余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简•=2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值;
(Ⅱ)由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
解答:
解:
(Ⅰ)∵•=2,cosB=,
∴c•acosB=2,即ac=6①,
∵b=3,
∴由余弦定理得:
b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,
∴a2+c2=13②,
联立①②得:
a=3,c=2;
(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,
由正弦定理=得:
sinC=sinB=×=,
∵a=b>c,∴C为锐角,
∴cosC===,
则cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.
点评:
此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题的关键.
18.(12分)(2014•辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
考点:
离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
(Ⅰ)由频率分布直方图求出事件A1,A2的概率,利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率;
(Ⅱ)写出X可取得值,利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率;列出分布列.根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E(X)及方差D(X).
解答:
解:
(Ⅰ)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,
因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,
P(A2)=0.003×50=0.15,
P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108,
(Ⅱ)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为:
,
,
,
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3,0.6),
所以期望E(X)=3×0.6=1.8,
方差D(X)=3×0.6×(1﹣0.6)=0.72.
点评:
在n次独立重复试验中,事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式,考查分布列的求法.
19.(12分)(2014•辽宁)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F分别为AC、DC的中点.
(Ⅰ)求证:
EF⊥BC;
(Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值.
考点:
用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
(Ⅰ)以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,得到E、F、B、C点的坐标,易求得此•=0,所以EF⊥BC;
(Ⅱ)设平面BFC的一个法向量=(0,0,1),平面BEF的法向量=(x,y,z),依题意,可求得一个=(1,﹣,1),设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,可求得sinθ的值.
解答:
(Ⅰ)证明:
由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图所示空间直角坐标系,易得B(0,0,0),A(0,﹣1,),D(,﹣1,0),C(0,2,0),因而E(0,,),F(,,0),所以=(,0,﹣),=(0,2,0),因此•=0,所以EF⊥BC.
(Ⅱ)解:
在图中,设平面BFC的一个法向量=(0,0,1),平面BEF的法向量=(x,y,z),又=(,,0),=(0,,),
由得其中一个=(1,﹣,1),
设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ,由题意知θ为锐角,则
cosθ=|cos<,>|=||=,
因此sinθ==,即所求二面角正弦值为.
点评:
本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,空间向量的坐标运算,推理论证能力和运算求解能力.
20.(12分)(2014•辽宁)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:
﹣=1过点P且离心率为.
(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
考点:
直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
(Ⅰ)设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程,即可得出三角形的面积,利用基本不等式的性质可得点P的坐标,再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得椭圆C2的焦点.可设椭圆C2的方程为(b1>0).把P的坐标代入即可得出方程.由题意可设直线l的方程为x=my+,
A(x1,y1),B(x2,y2),与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系,再利用向量垂直与数量积的关系即可得出.
解答:
解:
(Ⅰ)设切点P(x0,y0),(x0>0,y0>0),则切线的斜率为,
可得切线的方程为,化为x0x+y0y=4.
令x=0,可得;令y=0,可得.
∴切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形的面积S==.
∵4=,当且仅当时取等号.
∴.此时P.
由题意可得,,解得a2=1,b2=2.
故双曲线C1的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知双曲线C1的焦点(±,0),即为椭圆C2的焦点.
可设椭圆C2的方程为(b1>0).
把P代入可得,解得=3,
因此椭圆C2的方程为.
由题意可设直线l的方程为x=my+,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立,化为,
∴,.
∴x1+x2==,
x1x2==.
,,
∵,∴,
∴+,
∴,解得m=或m=,
因此直线l的方程为:
或.
点评:
本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不