辽宁省高考数学试卷理科答案与解析.doc
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2014年辽宁省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2014•辽宁）已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合∁U（A∪B）=（ ）
A．
{x|x≥0}
B．
{x|x≤1}
C．
{x|0≤x≤1}
D．
{x|0＜x＜1}
考点：
交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有
专题：
集合．
分析：
先求A∪B，再根据补集的定义求CU（A∪B）．
解答：
解：
A∪B={x|x≥1或x≤0}，
∴CU（A∪B）={x|0＜x＜1}，
故选：
D．
点评：
本题考查了集合的并集、补集运算，利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法．
2．（5分）（2014•辽宁）设复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=（ ）
A．
2+3i
B．
2﹣3i
C．
3+2i
D．
3﹣2i
考点：
复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
专题：
数系的扩充和复数．
分析：
把给出的等式两边同时乘以，然后利用复数代数形式的除法运算化简，则z可求．
解答：
解：
由（z﹣2i）（2﹣i）=5，得：
，
∴z=2+3i．
故选：
A．
点评：
本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．
3．（5分）（2014•辽宁）已知a=，b=log2，c=log，则（ ）
A．
a＞b＞c
B．
a＞c＞b
C．
c＞a＞b
D．
c＞b＞a
考点：
对数的运算性质．菁优网版权所有
专题：
计算题；综合题．
分析：
利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c＞1，则答案可求．
解答：
解：
∵0＜a=＜20=1，
b=log2＜log21=0，
c=log=log23＞log22=1，
∴c＞a＞b．
故选：
C．
点评：
本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时，有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果，是基础题．
4．（5分）（2014•辽宁）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．
若m∥α，n∥α，则m∥n
B．
若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．
若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．
若m∥α，m⊥n，则n⊥α
考点：
空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
A．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；
B．运用线面垂直的性质，即可判断；
C．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；
D．运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断．
解答：
解：
A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选B．
点评：
本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟这些定理是迅速解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．
5．（5分）（2014•辽宁）设，，是非零向量，已知命题p：
若•=0，•=0，则•=0；命题q：
若∥，∥，则∥，则下列命题中真命题是（ ）
A．
p∨q
B．
p∧q
C．
（￢p）∧（￢q）
D．
p∨（￢q）
考点：
复合命题的真假；平行向量与共线向量．菁优网版权所有
专题：
简易逻辑．
分析：
根据向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．
解答：
解：
若•=0，•=0，则•=•，即（﹣）•=0，则•=0不一定成立，故命题p为假命题，
若∥，∥，则∥平行，故命题q为真命题，
则p∨q，为真命题，p∧q，（￢p）∧（￢q），p∨（￢q）都为假命题，
故选：
A．
点评：
本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p，q的真假是解决本题的关键．
6．（5分）（2014•辽宁）6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．
144
B．
120
C．
72
D．
24
考点：
计数原理的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题；排列组合．
分析：
使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理可得结论．
解答：
解：
使用“插空法“．第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法．根据分步计数原理，6×4=24．
故选：
D．
点评：
本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排人，再插入椅子是关键．
7．（5分）（2014•辽宁）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
8﹣2π
B．
8﹣π
C．
8﹣
D．
8﹣
考点：
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：
解：
由三视图知：
几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．
故选：
B．
点评：
本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
8．（5分）（2014•辽宁）设等差数列{an}的公差为d，若数列{}为递减数列，则（ ）
A．
d＜0
B．
d＞0
C．
a1d＜0
D．
a1d＞0
考点：
数列的函数特性．菁优网版权所有
专题：
函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：
由于数列{2}为递减数列，可得=＜1，解出即可．
解答：
解：
∵等差数列{an}的公差为d，∴an+1﹣an=d，
又数列{2}为递减数列，
∴=＜1，
∴a1d＜0．
故选：
C．
点评：
本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、指数函数的运算法则等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
9．（5分）（2014•辽宁）将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．
在区间[，]上单调递减
B．
在区间[，]上单调递增
C．
在区间[﹣，]上单调递减
D．
在区间[﹣，]上单调递增
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
专题：
三角函数的图像与性质．
分析：
直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k=0即可得到函数在区间[，]上单调递增，则答案可求．
解答：
解：
把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，
得到的图象所对应的函数解析式为：
y=3sin[2（x﹣）+]．
即y=3sin（2x﹣）．
当函数递增时，由，得．
取k=0，得．
∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．
故选：
B．
点评：
本题考查了函数图象的平移，考查了复合函数单调性的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”原则，是中档题．
10．（5分）（2014•辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：
y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由题意先求出准线方程x=﹣2，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限的抛物线方程，设出切点，并求导，得到切线AB的斜率，再由两点的斜率公式得到方程，解出方程求出切点，再由两点的斜率公式求出BF的斜率．
解答：
解：
∵点A（﹣2，3）在抛物线C：
y2=2px的准线上，
即准线方程为：
x=﹣2，
∴p＞0，=﹣2即p=4，
∴抛物线C：
y2=8x，在第一象限的方程为y=2，
设切点B（m，n），则n=2，
又导数y′=2，则在切点处的斜率为，
∴即m=2m，
解得=2（舍去），
∴切点B（8，8），又F（2，0），
∴直线BF的斜率为，
故选D．
点评：
本题主要考查抛物线的方程和性质，同时考查直线与抛物线相切，运用导数求切线的斜率等，是一道基础题．
11．（5分）（2014•辽宁）当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．
[﹣5，﹣3]
B．
[﹣6，﹣]
C．
[﹣6，﹣2]
D．
[﹣4，﹣3]
考点：
函数恒成立问题；其他不等式的解法．菁优网版权所有
专题：
综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：
分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集．
解答：
解：
当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立；
当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥，
令f（x）=，则f′（x）==﹣（*），
当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增，
f（x）max=f
（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤，
由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]．
故选：
C．
点评：
本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集．
12．（5分）（2014•辽宁）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：
①f（0）=f
（1）=0；
②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．
若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，则m的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
专题：
综合题；函数的性质及应用．
分析：
依题意，构造函数f（x）=（0＜k＜），分x∈[0，]，且y∈[0，]；x∈[0，]，且y∈[，1]；x∈[0，]，且y∈[，1]；及当x∈[，1]，且y∈[，1]时，四类情况讨论，可证得对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜恒成立，从而可得m≥，继而可得答案．
解答：
解：
依题意，定义在[0，1]上的函数y=f（x）的斜率|k|＜，
依题意，k＞0，构造函数f（x）=（0＜k＜），满足f（0）=f
（1）=0，|f（x）﹣f（y）|＜|x﹣y|．
当x∈[0，]，且y∈[0，]时，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣ky|=k|x﹣y|≤k|﹣0|=k×＜；
当x∈[0，]，且y∈[，1]，|f（x）﹣f（y）|=|kx﹣（k﹣ky）|=|k（x+y）﹣k|≤|k（1+）﹣k|=＜；
当y∈[0，]，且x∈[，1]时，同理可得，|f（x）﹣f（y）|＜；
当x∈[，1]，且y∈[，1]时，|f（x）﹣f（y）|=|（k﹣kx）﹣（k﹣ky）|=k|x﹣y|≤k×（1﹣）=＜；
综上所述，对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜，
∵对所有x，y∈[0，1]，|f（x）﹣f（y）|＜m恒成立，
∴m≥，即m的最小值为．
故选：
B．
点评：
本题考查函数恒成立问题，着重考查构造函数思想、分类讨论思想、函数方程思想与等价转化思想的综合运用，考查分析、推理及运算能力，属于难题．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
考生根据要求作答．
13．（5分）（2014•辽宁）执行如图的程序框图，若输入x=9，则输出y= ．
考点：
程序框图．菁优网版权所有
专题：
计算题；算法和程序框图．
分析：
根据框图的流程模拟运行程序，直到满足条件|y﹣x|＜1，计算输出y的值．
解答：
解：
由程序框图知：
第一次循环x=9，y=+2=5，|5﹣9|=4＞1；
第二次循环x=5，y=+2=，|﹣5|=＞1；
第三次循环x=，y=+2．|+2﹣|=＜1，
满足条件|y﹣x|＜1，跳出循环，输出y=．
故答案为：
．
点评：
本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．
14．（5分）（2014•辽宁）正方形的四个顶点A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ．
考点：
几何概型．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积比即可得到结论．
解答：
解：
∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积S=2=2=2[（1﹣）﹣（﹣1+）]=2×=，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．
故答案为：
．
点评：
本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的关键．
15．（5分）（2014•辽宁）已知椭圆C：
+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|= 12 ．
考点：
椭圆的简单性质．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值．
解答：
解：
如图：
MN的中点为Q，易得，，
∵Q在椭圆C上，∴|QF1|+|QF2|=2a=6，
∴|AN|+|BN|=12．
故答案为：
12．
点评：
本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查．
16．（5分）（2014•辽宁）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时，﹣+的最小值为 ﹣2 ．
考点：
基本不等式．菁优网版权所有
专题：
不等式的解法及应用．
分析：
首先把：
4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，转化为=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分别用b表示a，c，在代入到﹣+得到关于b的二次函数，求出最小值即可．
解答：
解：
∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，
∴=
由柯西不等式得，
[][]=|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有
∴
∴﹣+===，
当b=时，取得最小值为﹣2．
故答案为：
﹣2
点评：
本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2014•辽宁）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．
考点：
余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．菁优网版权所有
专题：
三角函数的求值．
分析：
（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；
（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
解答：
解：
（Ⅰ）∵•=2，cosB=，
∴c•acosB=2，即ac=6①，
∵b=3，
∴由余弦定理得：
b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，
∴a2+c2=13②，
联立①②得：
a=3，c=2；
（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，
由正弦定理=得：
sinC=sinB=×=，
∵a=b＞c，∴C为锐角，
∴cosC===，
则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．
点评：
此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．（12分）（2014•辽宁）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（Ⅰ）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
（Ⅱ）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E（X）及方差D（X）．
考点：
离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有
专题：
概率与统计．
分析：
（Ⅰ）由频率分布直方图求出事件A1，A2的概率，利用相互独立事件的概率公式求出事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”的概率；
（Ⅱ）写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率；列出分布列．根据服从二项分布的随机变量的期望与方差公式求出期望E（X）及方差D（X）．
解答：
解：
（Ⅰ）设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”
B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，
因此P（A1）=（0.006+0.004+0.002）×50=0.6，
P（A2）=0.003×50=0.15，
P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108，
（Ⅱ）X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
，
，
，
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X～B（3，0.6），
所以期望E（X）=3×0.6=1.8，
方差D（X）=3×0.6×（1﹣0.6）=0.72．
点评：
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数服从二项分布、服从二项分布的随机变量的期望与方差公式，考查分布列的求法．
19．（12分）（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：
EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
考点：
用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
专题：
空间位置关系与距离．
分析：
（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此•=0，所以EF⊥BC；
（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），依题意，可求得一个=（1，﹣，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值．
解答：
（Ⅰ）证明：
由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，），D（，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．
（Ⅱ）解：
在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），
由得其中一个=（1，﹣，1），
设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则
cosθ=|cos＜，＞|=||=，
因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．
点评：
本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．
20．（12分）（2014•辽宁）圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线C1：
﹣=1过点P且离心率为．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．
考点：
直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．菁优网版权所有
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得切线的斜率和切线的方程，即可得出三角形的面积，利用基本不等式的性质可得点P的坐标，再利用双曲线的标准方程及其性质即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得椭圆C2的焦点．可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．把P的坐标代入即可得出方程．由题意可设直线l的方程为x=my+，
A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，再利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
解答：
解：
（Ⅰ）设切点P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则切线的斜率为，
可得切线的方程为，化为x0x+y0y=4．
令x=0，可得；令y=0，可得．
∴切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形的面积S==．
∵4=，当且仅当时取等号．
∴．此时P．
由题意可得，，解得a2=1，b2=2．
故双曲线C1的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知双曲线C1的焦点（±，0），即为椭圆C2的焦点．
可设椭圆C2的方程为（b1＞0）．
把P代入可得，解得=3，
因此椭圆C2的方程为．
由题意可设直线l的方程为x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，化为，
∴，．
∴x1+x2==，
x1x2==．
，，
∵，∴，
∴+，
∴，解得m=或m=，
因此直线l的方程为：
或．
点评：
本题综合考查了圆锥曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、向量垂直与数量积的关系、切线的斜率和切线的方程、三角形的面积计算公式、基本不
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