-高二数学理第一学期期末考试试题解析版.doc
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2012-2013河南省商丘市高二理科数学期末统一考试试题解析版
一选择题
（1）已知双曲线方程为，则此双曲线的右焦点坐标为
【答案】B
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质.属于基础知识、基本运算的考查.
双曲线方程为，双曲线，,焦点在x轴上，此双曲线的右焦点坐标为（,0）
（2）命题“R,”的否定是（）
R,不存在R,
R,R,
【答案】D
【解析】由特称命题的否定规则可知，命题“R,”的否定应为“R,”,选D。
（3）如果，则的取值范围是A
（4）若满足约束条件，则目标函数的最大值是（）
答案D
解析:
该题通过由约束条件，求目标函数的最大值简单考查线性规划求最优解问题;只要画出可行域即可看出最优解.
（5）已知为空间的一个基底，设
若，则等于B
（6）已知数列，满足，若，则＝（C）
易知a2＝2，a3＝－1，a4＝，a5＝2，∴数列的周期为3，而2013＝671×3，∴＝.
（7）命题“存在，使＜0，为假命题”是命题“”的（A）
充要条件必要不充分条件充分不必要条件.既不充分也不必要条件
（8）已知的面积为，则的周长等于（）
【答案】A
【解析】利用三角形面积公式和余弦定理得：
所以得
（9）已知函数的定义域为R，，对任意都有C
【答案】（9）答案：
C解析：
由
所以
所以
（10）椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的线段长为，的周长为，则椭圆的离心率为（B）
（11）在平面直角坐标系中,,沿x轴把平面直角坐标系折成120°的二面角后,则线段AB的长度为（D）
（12）已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影为,设,则的最小值是C
二填空题
（13）在锐角中，分别为角所对的边，且a＝2csinA，角C＝________.
解析：
根据正弦定理，＝，
由a＝2csinA，得＝，
∴sinC＝，而角C是锐角．∴角C＝.
（14）等差数列中，，，则的值为15
解析：
在等差数列{an}中，设bn＝an＋an＋3＋an＋6，（n＝1,2,3……），则{bn}仍为等差数列．
b1＝a1＋a4＋a7＝39，
b2＝a2＋a5＋a8＝33，∴公差d＝b2－b1＝－6，
∴a5＋a8＋a11＝b5＝b1＋4d＝39＋4×（－6）＝15.
（15）设、是直角梯形两腰的中点，于（如图）．现将沿折起，使二面角为，此时点在平面内的射影恰为点，则、的连线与所成角的大小等于_________．
（16）已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．动点的轨迹方程
三.解答题
（17）已知命题方程有两个不等的负实数根；命题方程无实数根.
若“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围.
解：
由得：
则…………………………………………………………3分
由知：
=,则………………………………6分
∵“或”为真，“且”为假，
∴为真，为假，或为假，为真.…………………………………………………………7分
则…………………………………………………………9分
解得或.…………………………………………………………10分
（18）（本小题满分12分）在中，角的对边分别为，且.
（I）求的值；
（II）若，且，求的值
（I）解：
由正弦定理可得……………………………………2分
即,………………………………………………4分
可得,又，………………………………………………5分
故…………6分
（II）解：
由，………………………………………………8分
即，又，可得，………………………………………………9分
由,………………………………………………10分
可得…………………………………………………………12分
（19）（本小题满分12分）
在数列中，，
（Ⅰ）求证：
数列为等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式和前项和公式.
19.解：
（Ⅰ），
即①…………………………………………………………………………1分
所以，………………………………………………5分
即数列为一等比数列，公比.…………………………………………………6分
（Ⅱ）由
（1）得为一公比为的等比数列，…………………………8分
则∴，………………………………………………………………10分
…………………………………………………………………12分
（20）我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用年，每厘米厚的隔热层建造成本是万元，天宫一号每年的能源消耗费用C（万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：
，若无隔热层，则每年能源消耗费用为万元.设为隔热层建造费用与使用年的能源消耗费用之和.
（I）求和的表达式；
（II）当隔热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.
（20）解：
（I）当时，C=8，所以=40，故C……………3分
………………………6分
（II）……9分
当且仅当时取得最小值.………………………………11分
即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元.……………12分
（21）（本小题满分12分）
已知直三棱柱中，，，点在上．
（Ⅰ）若是中点，求证：
∥平面;
A
A1
B
C
D
B1
C1
第21题图
（Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．
21.证明：
（Ⅰ）证明：
连接，交于，是的中点
连接．∵是中点，为的中位线，
∴∥…………………………………2分
∵平面，平面，
∴∥平面．…………………………………4分
（Ⅱ）∵，所以如图，以为原点建立空间直角坐标系．
则，，．设，…………………5分
∵点在线段上，且，即．
∴．…………………7分
所以，．
平面BCD的一个法向量为：
…………………8分
设平面B1CD的法向量为，
由，，得，
所以，．………………………………10分
设二面角的大小为，．…………………11分
所以二面角的余弦值为．……………………12分
（22）已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆过点，离心率为．如图，平行于的直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）当直线经过椭圆的左焦点时，求直线的方程；
（Ⅱ）证明：
直线与轴总围成等腰三角形．
解：
（Ⅰ）根据，可设椭圆方程为，
将代入可得，……………………1分
所以椭圆的方程为……………………2分
因此左焦点为，斜率……………………3分
所以直线的方程为，即……………………4分
（Ⅱ）设直线的斜率分别为，，则，
设，
（*）………………………………………7分
由，得
所以，，…………………………………………………………10分
代入（*）式，得
………………………………………11分
所以直线与轴总围成等腰三角形．……………………………………12分
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