浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷理科.doc

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2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上．）

1．（5分）（2012•台州模拟）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁RB）=R，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤1 B．a＜1 C．a≥2 D．a＞2

2．（5分）函数的值域为（　　）

A．（0，3） B．[0，3] C．（﹣∞，3] D．[0，+∞）

3．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（　　）

A．充要条件 B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件

4．（5分）如图所示程序框图中，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最小的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（　　）

A．c＜x B．x＜c C．c＜b D．b＜c

5．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（　　）

A．0 B．﹣ C．﹣2 D．﹣3

6．（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：

将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？

这些正方体货箱的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

7．（5分）（2007•四川）设A（a，1），B（2，b），C（4，5）为坐标平面上三点，O为坐标原点，若与在方向上的投影相同，则a与b满足的关系式为（　　）

A．4a﹣5b=3 B．5a﹣4b=3 C．4a+5b=14 D．5a+4b=14

8．（5分）从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（　　）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种

9．（5分）（2014•仁寿县模拟）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为（　　）

A．y=±x B．y=±x C．y=±2x D．y=±3x

10．（5分）（2009•杭州二模）设函数f（x）=xsinx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…an…，则对任意正整数n必有（　　）

A． B． C． D．

二、填空题：

本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．（4分）若a为实数，，则a等于　_________　．

12．（4分）（2007•安徽）若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于　_________　．

13．（4分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为　_________　．

14．（4分）（2014•闵行区三模）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为　_________　．

15．（4分）设向量满足+2+3=，且（﹣2）⊥．若||=1，则||=　_________　．

16．（4分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为　_________　．

17．（4分）在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的摄影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D﹣AF﹣B平面角余弦值的变化范围是　_________　．

三、解答题：

本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（14分）已知函数f（x）=cos2x+sinx•cosx﹣．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x∈[0，2π）的所有x的和．

19．（14分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：

b1=a1且bn=an+bn﹣1（n≥2，n∈N*），求数列{bn}的通项公式．

20．（15分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）．

（1）当a为何值时，MN的长最小；

（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．

21．（15分）已知M（2，3）、N（2，﹣3）两点在以F（2，0）为右焦点的椭圆C：

=1（a＞b＞0）上，斜率为1的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN的两侧）．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）求四边形ANBM面积的最大值．

22．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x2﹣x）（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）在[1，2]的最大值．

2015年浙江省宁波市镇海中学高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上．）

1．（5分）（2012•台州模拟）已知集合A={x|x＜a}，B={x|1＜x＜2}，且A∪（∁RB）=R，则实数a的取值范围是（　　）

A．

a≤1

B．

a＜1

C．

a≥2

D．

a＞2

考点：

专题：

集合．

分析：

先求出∁RB，从而根据集合A及A∪（∁RB）=R即可求出a的取值范围．

解答：

解：

∵∁RB={x|x≤1，或x≥2}，

∴若A∪（∁RB）=R；

∴a≥2．

故选C．

点评：

考查描述法表示集合，以及集合的并集、补集运算，也可借助数轴求解．

2．（5分）函数的值域为（　　）

A．

（0，3）

B．

[0，3]

C．

（﹣∞，3]

D．

[0，+∞）

考点：

专题：

计算题．

分析：

先求出x＜﹣1时函数的值域；再求出x≥1时的值域，将两段的值域求并集，即得函数的值域．

解答：

解：

当x＜﹣1时，y=3x，此时

当x≥1时，y=log2x，此时y≥0

所以函数的值域为[0，+∞）

故选D

点评：

求分段函数的值域，应该分段求，再将求出的各段的函数值域求并集．

3．（5分）（2008•上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（　　）

A．

充要条件

B．

充分而不必要的条件

C．

必要而不充分的条件

D．

既不充分也不必要的条件

考点：

专题：

压轴题．

分析：

本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．

解答：

解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=g（x），

∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，

而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，

故选B

点评：

本题考查充要条件的判断和函数奇偶性的判断，属基本题．

A．

c＜x

B．

x＜c

C．

c＜b

D．

b＜c

考点：

专题：

图表型．

分析：

由于该程序的作用输出a、b、c中的最小数，因此在程序中要比较数与数的大小，第一个判断框是判断x与b的大小，故第二个判断框一定是判断最小值x与c的大小．

解答：

解：

则流程图可知a、b、c中的最大数用变量x表示并输出，

第一个判断框是判断x与b的大小，

∴第二个判断框一定是判断最大值x与c的大小，并将最大数赋给变量x，

故第二个判断框应填入：

x＞c，

故选：

A．

点评：

本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．

5．（5分）若实数x，y满足则z=x﹣2y的最小值是（　　）

A．

B．

﹣

C．

﹣2

D．

﹣3

考点：

专题：

计算题；作图题；不等式的解法及应用．

分析：

由题意作出其平面区域，将z=x﹣2y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．

解答：

解：

由题意作出其平面区域，

将z=x﹣2y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，

则当过（0，1）时有最小值，

即z=0﹣2=﹣2，

故选C．

点评：

本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．

6．（5分）在一个仓库里堆积着正方体的货箱若干，要搬运这些箱子很困难，可是仓库管理员要清点一下箱子的数量，于是就想出一个办法：

将这堆货物的三视图画了出来，你能根据三视图，帮他清点一下箱子的数量吗？

这些正方体货箱的个数为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

由俯视图可得最底层小正方体的个数，即所有小正方体的摞数，从左视图和主视图可以看出每摞小正方体的个数，相加可得答案．

解答：

解：

由俯视图可得所有小正方体共6摞，

每摞小正方体的个数如下图所示：

故这些正方体货箱的个数为8个，

故选：

点评：

本题考查的知识点是由三视图还原实物图，其中准确把握空间几何体的几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．

A．

4a﹣5b=3

B．

5a﹣4b=3

C．

4a+5b=14

D．

5a+4b=14

考点：

分析：

构造三个向量，起点是原点，那么三个向量的坐标和点的坐标相同，根据投影的概念，列出等式，用坐标表示，移项整理得到结果．

解答：

解：

∵与在方向上的投影相同，

∴

∴4a+5=8+5b，

∴4a﹣5b=3

故选：

A．

点评：

投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为|b|；当q=180°时投影为﹣|b|．

8．（5分）从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（　　）

A．

8种

B．

12种

C．

16种

D．

20种

考点：

专题：

应用题；排列组合．

分析：

根据题意，使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面的情况数目，再分析求出其中其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面的情况数目，进而可得答案．

解答：

解：

使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共C63种不同的取法，

而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，

则选法共有C63﹣8=12种．

故选B．

点评：

本题考查组合的运用，但涉及立体几何的知识，要求学生有较强的空间想象能力．

A．

y=±x

B．

y=±x

C．

y=±2x

D．

y=±3x

考点：

专题：

计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，利用三角形的中位线定理可得OP∥F2Q．已知QF1⊥QF2，可得F1Q⊥OP．进而得到直线F1P的方程，即可得到点P的坐标，利用余弦定理，即可求得双曲线的渐近线方程．

解答：

解：

如图所示，

∵点P是F1Q的中点，O是F1F2的中点，

∴OP∥F2Q．

∵QF1⊥QF2，∴F1Q⊥OP．

∵OP的方程为y=﹣x，

∴=，

∴直线F1P的方程为y=（x+c）．

联立，解得，即P（﹣，）．

∴|PF1|=|PQ|=b，|PO|=a，|OF1|=|OF2|=|OQ|=c，|QF2|=2a，

∵tan∠QOF2=，∴cos∠QOF2=，

由余弦定理，得cos∠QOF2=1﹣=，

∴e2﹣e﹣2=0，

解得e=2，或e=﹣1（舍）

∴b=a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x．

故选B．

点评：

本题综合考查了双曲线的标准方程及其性质、三角形的中位线定理、勾股定理、相互垂直的直线之间的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．

10．（5分）（2009•杭州二模）设函数f（x）=xsinx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…an…，则对任意正整数n必有（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

对函数求导，使得导函数等于0，函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点就是函数y=tanx与y=﹣x的交点的横标，观察两函数图象的交点，在每一个周期上都有一个交点，且从左向右，交点的位置更靠近左渐近线，两个点之间的横标的差．

解答：

解：

∵函数f（x）=xsinx，

∴f′（x）=sinx+xcosx=0

∴tanx=﹣x，

∴函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点就是函数y=tanx与y=﹣x的交点的横标，

观察两函数图象的交点，从纵轴向右，在每一个周期上都有一个交点，

且从左向右，交点的位置依次更靠左渐近线，

∴两个交点之间的横标之差小于一个周期，大于半个周期，

故选C．

点评：

本题考查数列与三角函数的综合，解题的关键是看清题目整理后转化为两个基本初等函数的交点的横标之间的关系．

二、填空题：

本大题共7小题，每小题4分，共28分．

11．（4分）若a为实数，，则a等于　　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

复数方程两边同乘1+，化简利用复数相等，求出a即可．

解答：

解：

可得2+ai==2﹣i

所以a=﹣

故答案为：

点评：

本题考查复数代数形式的乘除运算，复数相等的充要条件，是基础题．

12．（4分）（2007•安徽）若的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于　7　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令x的指数为0，求出n，r的关系，求出最小的正整数n．

解答：

解：

展开式的通项为

令

其中r=0，1，2，…n

所以当r=6时，最小的正整数n等于7

故答案为：

点评：

本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．

13．（4分）在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，则AB的值为　　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

由tanA的值及A的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由sinC及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值．

解答：

解：

∵tanA=，

∴cos2A==，又A∈（0，30°），

∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，

根据正弦定理得：

=，

则AB===．

故答案为：

点评：

此题考查了正弦定理，及同角三角函数间的基本关系．熟练掌握定理及公式是解本题的关键，同时在求sinA时注意A的范围．

14．（4分）（2014•闵行区三模）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为　　．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比赛数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．

解答：

解：

∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，

∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），

解．

故答案为

点评：

本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

15．（4分）设向量满足+2+3=，且（﹣2）⊥．若||=1，则||=　　．

考点：

专题：

平面向量及应用．

分析：

由条件利用两个向量垂直的性质，求得b2=，从而求得||的值．

解答：

解：

由题意可得（﹣2）•=（﹣2）•（﹣）=﹣（﹣4）=（4﹣）=（4﹣1）=0，

求得b2=，∴||=，

点评：

本题主要考查两个向量垂直的性质，求向量的模，属于基础题．

16．（4分）甲、乙等五名志愿者被随机地分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，则ξ的数学期望为　　．

考点：

专题：

概率与统计．

分析：

随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，由此可得ξ的分布列，进而得到ξ的数学期望．

解答：

解：

随机变量ξ可能取的值为1，2，事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，

则P（ξ=2）==，

所以P（ξ=1）=1﹣P（ξ=2）=，

即ξ的分布列如下表所示

…（10分）

∴ξ的数学期望E（ξ）=×2+×1=，

故答案为：

点评：

本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的概率与分布列和数学期望，属于中档题．

17．（4分）在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为DC的三等分点（靠近C处），F为线段EC上一动点（包括端点），现将△AFD沿AF折起，使D点在平面内的摄影恰好落在边AB上，则当F运动时，二面角D﹣AF﹣B平面角余弦值的变化范围是　[，]　．

考点：

专题：

计算题；作图题；空间位置关系与距离．

分析：

过点D作DM⊥AF于点O，交AB于点M，不妨设二面角D﹣AF﹣B的平面解为θ，则cosθ===，从而求其取值范围．

解答：

解：

如图，过点D作DM⊥AF于点O，交AB于点M，不妨设二面角D﹣AF﹣B的平面解为θ，

则cosθ=，

设DF=x，2≤x≤3，由勾股定理，

OD=，OF=，OA=，∴cosθ===在[2，3]上是减函数，

∴cosθ．

故答案为：

[，]．

点评：

本题考查了学生的作图能力及空间想象力，注意折起前后的等量关系是本题解决的关键，属于中档题．

三、解答题：

本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

18．（14分）已知函数f（x）=cos2x+sinx•cosx﹣．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）若函数f（x）的对称中心为（x，0），求x∈[0，2π）的所有x的和．

考点：

专题：

三角函数的图像与性质．

分析：

（Ⅰ）化简可得：

从而可求函数f（x）的最小正周期T和函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）令即可求出x的值，因为x∈[0，2π）故可求所有x的和．

解答：

解：

（I）∵由题得：

f（x）=cos2x+sinx•cosx﹣==cos2xsin2x=sin（2x+）．

∴，

令，

可得：

递增区间为；

（II）令，

可得：

，

∵x∈[0，2π）∴k可取1，2，3，4．

∴所有满足条件的x的和为：

．

点评：

本题主要考察了两角和与差的正弦函数，正弦函数的单调性，属于基础题．

19．（14分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足：

b1=a1且bn=an+bn﹣1（n≥2，n∈N*），求数列{bn}的通项公式．

考点：

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

（I）通过已知条件，等差数列的性质，求出第三项以及第六项，得到公差，即可求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）利用数列{bn}满足：

b1=a1且bn=an+bn﹣1（n≥2，n∈N*），利用数列求和，求解数列{bn}的通项公式．

解答：

（本小题满分14分）

解：

（I）由题得：

…．（2分）

又∵公差d＞0∴…．（4分）

∴d=2，an=2n﹣1…．（7分）

（II）∵bn=an+bn﹣1（n≥2，n∈N*），

∴bn﹣bn﹣1=2n﹣1（n≥2，n∈N*）…．（9分）

∵bn=（bn﹣bn﹣1）+（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1（n≥2，n∈N*）

且b1=a1=1…．（11分）

∴（n≥2，n∈N*）

∴…．（14分）

点评：

本题考查数列的综合应用，数列的递推关系式的应用，数列的基本知识的考查．

20．（15分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（0＜a＜）．

（1）当a为何值时，MN的长最小；

（2）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的余弦值．

考点：

专题：

综合题；空间角．

分析：

（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，易证MNQP是平行四边形，根据MN=PQ=，可求出MN的长，利用配方法即可求出MN的最小值；

（2）取MN的中点G，连接AG、BG，根据二面角的平面角的定义可知∠AGB即为二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．

解答：

解：

（1）作MP∥AB交BC于点，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，

依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，∴MN=PQ

∵CM=BN=a，CB=

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