上海市杨浦区2013年高三数学一模试卷(理).docx

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杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研

数学试卷（理）2013.1

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1.若函数的反函数为，则　　　　　．

2．若复数（为虚数单位），则.

3．抛物线的焦点到准线的距离为.

4.若线性方程组的增广矩阵为，则该线性方程组的解是．

5．若直线:

，则该直线的倾斜角是.

6.若的二项展开式中，的系数为，则实数．

7.若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为.

8.设数列（）是等差数列.若和是方程的两根，则数列的前项的和______________．

9.下列函数：

①,②,③，④

⑤中,既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为　　　　　（写出符合要求的所有函数的序号）.

10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为和，则函数图像与轴无公共点的概率是_______.

11.若函数（）的图像过定点,点在曲线上运动,则线段中点轨迹方程是．

12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，

其中米，米.为了合理利用这块钢板,将在五边

形内截取一个矩形块，使点在边上.

则矩形面积的最大值为____平方米.

13在中，若，，，则的面积为___________．

14．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，其中，．若函数的零点，，则________．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．“”是“函数在区间内单调递增”的………（）

充分非必要条件．　必要非充分条件．

充要条件．　　既非充分又非必要条件．

16．若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，（），则复数在复平面上对应的点位于………（）

第一象限．　第二象限．　第三象限．第四象限．

17．若、为双曲线:

的左、右焦点，点在双曲线上，∠=，则到轴的距离为………（）

．．．．

18.已知数列是各项均为正数且公比不等于的等比数列（）.对于函数，若数列为等差数列，则称函数为“保比差数列函数”.现有定义在上的如下函数：

①，②，③，④，则为“保比差数列函数”的所有序号为………（）

①②．③④．①②④．②③④．

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

P

C

D

E

如图，在三棱锥中，平面，，，,分别是的中点，

（1）求三棱锥的体积；

（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

已知，

（1）求的最小正周期和单调递减区间；

（2）若，求的最大值及取得最大值时对应的的取值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

椭圆的中心为坐标原点，右焦点为，且椭圆过点.若的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设的三条边所在直线的斜率分别为，且.若直线的斜率之和为0，求证：

为定值.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

已知函数的值域为集合，

（1）若全集，求；

（2）对任意，不等式恒成立，求实数的范围；

（3）设是函数的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，求的值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：

其中.

（1）若，求数列；

（2）当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合．

（3）若是有理数，设（是整数，是正整数，、互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的结论．

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数学试卷（理）参考答案

一．填空题:

1.0；2．；3．2；4.（向量表示也可）；5．；6.；7.；8.2013；9.③⑤；10.；11.；12．48；13．；14．0；

二、选择题:

15．；16．；17．；18.．

三、解答题

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

（1）由已知得，………2分

所以，体积………5分

（2）取中点，连接，则，

所以就 是异面直线与所成的角.………7分

由已知，，

.………10分

在中，，

所以，.………12分

（其他解法，可参照给分）

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

解：

（1）因为

………2分

………4分

所以,，即函数的最小正周期为………5分

，

所以的单调递减区间为………7分

（2）因为，得，

所以有………8分

由，即………10分

所以，函数的最大值为1.………12分

此时，因为，所以，，即.………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

解：

（1）设椭圆的方程为，由题意知：

左焦点为

所以，………4分

解得，．

故椭圆的方程为．………6分

（方法2、待定系数法）

（2）设，，

由：

，，………8分

两式相减，得到

所以，即，………11分

同理，

所以，又因为直线的斜率之和为0，

所以………14分

方法2、（可参照方法1给分）

设直线：

，代入椭圆，得到

，化简得

（以下略）

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

（1）由已知得，，则………1分

当且仅当时，即等号成立，

………3分[来源:

学科网]

所以，………4分

（2）由题得………5分

函数在的最大值为………9分

………10分

（3）设，则直线的方程为，

即，………11分

由得………13分

又，………14分[来源:

Z&xx&k.Com]

所以，，故………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

解：

（1），，………2分

，则

所以.………4分

（2），所以，所以，

①当，即时，，所以，

解得（，舍去）.………6分

②当，即时，，所以，

解得（，舍去）.………7分

③当，即时，，所以，

解得（，舍去）.………9分

综上，，，.………10分

（3）成立.………11分

（证明1）

由是有理数，可知对一切正整数，为0或正有理数，可设（是非负整数，是正整数，且既约）.………12分

①由，可得；………13分

②若，设（，是非负整数）

则，而由得

，故，，可得………14分

若则，………15分

若均不为0，则这正整数互不相同且都小于，

但小于的正整数共有个，矛盾.………17分

故中至少有一个为0，即存在，使得.

从而数列中以及它之后的项均为0，所以对不大于的自然数，都有.

（证法2，数学归纳法）………18分

（其它解法可参考给分）