求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选).doc

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求数列通项公式和前n项和的常用方法

一、求数列通项公式的常用方法

1.公式法：

等差数列或等比数列的通项公式。

2.归纳法：

由数列前几项猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性。

3.累乘法:

利用型如:

4.构造新数列:

类型1累加法类型2累乘法

类型3（其中p，q均为常数，）。

解法（待定系数法）：

把原递推公式转化为：

，其中，转化为等比数列求解。

类型4（其中p，q均为常数，）。

（或,其中p，q,r均为常数）解法：

先在原递推公式两边同除以，得：

引入辅助数列（其中），得：

再待定系数法解决。

类型5递推公式为与的关系式。

（或）

解法：

1.利用2.升降标相减法

二、数列求和的常用方法

1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和

（1）等差数列求和公式：

（2）等比数列求和公式：

2.错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则求数列的前项和。

3.裂项求和法

（1）

（2）等。

4.分组求和法：

对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

5.逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）

三、数列高考题

1.（2011年高考辽宁卷理科17）（本小题满分12分）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10

（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和.

2...（2014全国1）已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.

（Ⅰ）证明：

；（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？

并说明理由.

3..（2016年全国III高考）已知数列的前n项和，其中．

（I）证明是等比数列，并求其通项公式；

（II）若，求．

4..（2016年山东高考）已知数列的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且

（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令求数列的前n项和Tn.

5.（2011年高考全国新课标卷理科17）（本小题满分12分）

等比数列的各项均为正数，且

（1）求数列的通项公式.

（2）设求数列的前项和.

6.（2015全国1）Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，

（Ⅰ）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设，求数列}的前n项和

求数列通项公式和前n项和的常用方法答案

1.（I）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得

故数列的通项公式为………………5分

（II）设数列，即，

所以，当时，

=所以综上，数列

2.解（Ⅰ）由题设，

两式相减得，而，

（Ⅱ），而，解得 ，又

令，解得。

此时

\是首项为1，公差为2的等差数列。

 即存在l=4，使得为等差数列。

3.解

4.解（Ⅰ）因为数列的前项和，所以，当时，

，又对也成立，所以．又因为是等差数列，设公差为，则．

当时，；当时，，解得，所以数列的通项公式为．

（Ⅱ）由，于是，两边同乘以２，得

，两式相减，得

．

5.解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。

由条件可知a>0,故。

由得，所以。

故数列{an}的通项式为an=。

（Ⅱ ）

故

所以数列的前n项和为

6.解：

（I）由，可知

可得即

由于可得又，解得

所以是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为

（II）由

设数列的前n项和为，则

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