普通高等学校招生全国统一考试浙江卷理科数学试题及解答WORD版.doc
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2006年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学试题（理科）
第I卷（共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则
（A）[0，2] （B）[1，2] （C）[0，4] （D）[1，4]
（2）已知，其中，是实数，是虚数单位，则=
（A） （B） （C） （D）
（3）已知，则
（A） （B） （C） （D）
（4）在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
（A） （B）4 （C） （D）2
（5）若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则m=
（A） （B） （C） （D）
（6）函数的值域是
（A） （B）
（C） （D）
（7）“a>b>c”是”ab<”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）若多项式，则=
（A）9 （B）10 （C）－9 （D）－10
（9）如图，O是半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧与的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是
（A） （B）
（C） （D）
（10）函数f：
{1，2，3|{1，2，3|满足f（f（x））＝f（x），则这样的函数个数共有
（A）1个 （B）4个 （C）8个 （D）10个
第Ⅱ卷（共100分）
二.填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（11）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S5=10，S10=-5，则公差为____________（用数字作答）.
（12）对a，b∈R,记max|a，b|=，函数f（x）=max{|x+1|，|x-2|}（x∈R）的最小值是_________________.
（13）设向量a，b，c满足a+b+c=0，（a-b）⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是_______.
（14）正四面体ABCD的棱长为l，棱AB∥平面，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是____________.
三、解答题：
本大题共6小题，每小题14分，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。
（16）设，若，求证：
（Ⅰ）且；
（Ⅱ）方程在（0，1）内有两个实根。
（17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，分别为、的中点。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求与平面所成的角。
（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球，现从甲、乙两袋中各任取2个球。
（I）若n＝3，求取到的4个球全是红球的概率；
（II）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n。
（19）如图，椭圆（a>b>0）与过点A（2，0）、B（0，1）的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e＝.
（I）求椭圆方程；
（II）设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：
ATM=AF1T.
（20）已知函数＝x3+x2，数列{xn}（xn>0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：
曲线y＝在处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。
求证：
当n时：
（I）；
（II）
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算。
每小题5分，满分50分。
（1）A
（2）C （3）A （4）B （5）C （6）C
（7）A （8）D （9）B （10）D
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算。
每小题4分，满分16分。
（11）-1 （12） （13）4 （14）
三、解答题
（15）本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。
满分14分。
解：
（I）因为函数图像过点，
所以即
因为，所以.
（II）由函数及其图像，得
所以从而
，
故.
（16）本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。
满分14分。
证明：
（I）因为，
所以.
由条件，消去，得
；
由条件，消去，得
，.
故.
（II）抛物线的顶点坐标为，
在的两边乘以，得
.
又因为
而
所以方程在区间与内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
（17）本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。
满分14分。
解：
方法一：
（I）因为是的中点，，
所以.
因为平面，所以
，
从而平面.
因为平面，
所以.
（II）取的中点，连结、，
则，
所以与平面所成的角和与平面所成的角相等.
因为平面，
所以是与平面所成的角.
在中，
.
故与平面所成的角是.
方法二：
如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，则
.
（I）因为
，
所以
（II）因为
，
所以，
又因为，
所以平面
因此的余角即是与平面所成的角.
因为
，
所以与平面所成的角为.
（18）本题主要考察排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力。
满分14分。
解：
（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.
由题意，得
所以
，
化简，得
解得，或（舍去），
故.
（19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
满分14分。
解：
（I）过点、的直线方程为
因为由题意得有惟一解，
即有惟一解，
所以
（），
故
又因为即
所以
从而得
故所求的椭圆方程为
（II）由（I）得
故
从而
由
解得
所以
因为
又得
因此
（20）本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
满分14分。
证明：
（I）因为
所以曲线在处的切线斜率
因为过和两点的直线斜率是
所以.
（II）因为函数当时单调递增，
而
，
所以，即
因此
又因为
令
则
因为
所以
因此
故
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