泰州市2017-2018第一学期期末高二数学(文科)试题.doc
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2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（文科）试题
（考试时间：
120分钟；总分：
160分）
命题人：
张圣官张敏
审题人：
杨鹤云唐咸胜
一、填空题：
（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）
1．命题“若，则”的逆命题为▲．
2．复数（为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为▲．
3．抛物线的准线方程为▲．
4．函数在处的切线的斜率为▲．
5．双曲线的渐近线的方程为▲．
6．椭圆在其上一点处的切线方程为．
类比上述结论，双曲线在其上一点处的切线方程为
▲．
7．若“”是“不等式”成立的充分条件，则实数的取值范围是
▲．
8．抛物线上一点到其焦点的距离为，则▲．
9．已知，若（），则▲．
10．已知双曲线左支上一点到左焦点的距离为16，则点到右准线的距离为▲．
11．为椭圆上一点，，则线段长度的最小值为▲．
12．若函数在处取得极小值，则的取值范围是
▲．
13．已知椭圆：
的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且，则当时，椭圆的离心率的取值范围为▲．
14．已知函数在上单调递增，则的取值范围为▲．
二、解答题：
（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分14分）
已知复数．
⑴求；
⑵若复数满足为实数，求．
16．（本题满分14分）
已知：
，；
：
方程表示双曲线．
⑴若为真命题时，求实数的取值范围；
⑵当为假命题，且为真命题，求实数的取值范围．
17．（本题满分14分）
⑴当时，求证：
；
⑵已知，．试证明至少有一个不小于．
18．（本题满分16分）
某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：
．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条简易便道，已知修路每公里成本为万元，工厂一次性补贴职工交通费万元.设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和．
⑴求的表达式；
⑵宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．
19．（本题满分16分）
已知椭圆的离心率为，左顶点为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，其中点在第二象限，过点作轴的垂线交于点．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵当直线的斜率为时，求的面积；
⑶试比较与大小．
20．（本题满分16分）
已知函数的最小值为．
⑴设，求证：
在上单调递增；
⑵求证：
；
⑶求函数的最小值．
2017～2018学年度第一学期期末考试
高二数学（文科）参考答案
一、填空题
1．若，则；2．；3．；4．；5．；
6．；7．；8．；9．； 10．；
11．；12．；13．14．
二、解答题
15.解：
⑴
⑵∵
∴
∵为实数
∴∴
∴∴
16.解：
⑴∵，
∴，解得
⑵∵方程表示双曲线
∴，解得
∵为假命题，且为真命题
∴
∴
17．证明：
⑴
∵∴
∴
⑵假设都小于，即
则有①
而②
①与②矛盾
故至少有一个不小于．
18.解：
⑴
整理得，
⑵
由得
所以在上单调递减，在上单调递增
故当时，取得最小值
答：
⑴
⑵宿舍应建在离工厂处，可使总费用最小，最小值为万元．
19．解：
⑴因为左顶点为，所以
因为椭圆的离心率为，所以，解得
又因为，所以
故所求椭圆的标准方程为
⑵因为直线过原点，且斜率为
所以直线的方程为
代入椭圆方程解得
因为，所以直线的方程为
从而有
故的面积等于
⑶方法一：
设直线的方程为，
代入椭圆方程得
设，则有，解得
从而
由椭圆对称性可得
所以
于是
故
从而
所以
因为点在第二象限，所以，于是有
方法二：
设点，则点
因为，所以直线的方程为
所以
从而
从而有
20.解：
⑴
∵
∴在上单调递增
⑵由⑴可知在上单调递增
∵
∴存在唯一的零点，设为，则且
当时，；当时，
从而在上单调递增，在上单调递减
所以的最小值
∵∴∴
∴（当且仅当时取等号）
∵∴
（第二问也可证明，从而得到）
⑶
同⑴方法可证得在上单调递增
∵
∴
∴存在唯一的零点，设为，则且
所以的最小值为
∵∴
∴，即
由⑵可知
∴=
∵在上单调递增
∴
所以的最小值为
高二数学（文）第9页共4页
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