肇庆一中高一(9)班数学必修4测试3.doc

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高一（9）班数学必修4测试③

（时间：

120分钟　满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．若角600°的终边上有一点（－4，a），则a的值是（　　）

A．4B．－4

C.D．－

2．若向量a＝（3，m），b＝（2，－1），a·b＝0，则实数m的值为（　　）

A．－B.C．2D．6

3．设向量a＝（cosα，），若a的模长为，则cos2α等于（　　）

A．－B．－C.D.

4．平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0），|b|＝1，则|a＋2b|等于（　　）

A.B．2C．4D．12

5．tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°等于（　　）

A．－B.C．－1D．1

6．若向量a＝（1,1），b＝（2,5），c＝（3，x），满足条件（8a－b）·c＝30，则x等于（　　）

A．6B．5C．4D．3

7．要得到函数y＝sinx的图象，只需将函数y＝cos（x－）的图象（　　）

A．向右平移个单位B．向右平移个单位

C．向左平移个单位D．向左平移个单位

8．设函数f（x）＝sin（2x＋），则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）的图象关于直线x＝对称

B．f（x）的图象关于点（，0）对称

C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象

D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数

9．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝（sinA，1），q＝（1，－cosB），则p与q的夹角是（　　）

A．锐角B．钝角

C．直角D．不确定

10．已知函数f（x）＝（1＋cos2x）sin2x，x∈R，则f（x）是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为的偶函数

11．设0≤θ≤2π，向量＝（cosθ，sinθ），＝（2＋sinθ，2－cosθ），则向量的模长的最大值为（　　）

A.B.C．2D．3

12．若将函数y＝tan（ωx＋）（ω>0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan（ωx＋）的图象重合，则ω的最小值为（　　）

A.B.

C.D.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知α、β为锐角，且a＝（sinα，cosβ），b＝（cosα，sinβ），当a∥b时，α＋β＝________.

14．已知cos4α－sin4α＝，α∈（0，），则cos（2α＋）＝________.

15．若向量＝（3，－1），n＝（2,1），且n·＝7，那么n·＝________.

16．若θ∈[0，]，且sinθ＝，则tan＝________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）已知向量a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ），－<θ<.

（1）若a⊥b，求θ；

（2）求|a＋b|的最大值．

18．（12分）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若α∈（－，），f（α＋）＝，求sin（2α＋）的值．

19．（12分）设函数f（x）＝a·b，其中向量a＝（2cosx,1），b＝（cosx，sin2x），x∈R.

（1）若函数f（x）＝1－，且x∈[－，]，求x；

（2）求函数y＝f（x）的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y＝f（x）在[0，π]上的图象．

20．（12分）已知x∈R，向量＝（acos2x,1），＝（2，asin2x－a），f（x）＝·，a≠0.

（1）求函数f（x）的解析式，并求当a>0时，f（x）的单调增区间；

（2）当x∈[0，]时，f（x）的最大值为5，求a的值．

21．（12分）已知函数f（x）＝sin2（x＋）－cos2x－（x∈R）．

（1）求函数f（x）的最小值和最小正周期；

（2）若A为锐角，且向量m＝（1,5）与向量n＝（1，f（－A））垂直，求cos2A的值．

22．（12分）已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosx，sinx），c＝（sinx＋2sinα，cosx＋2cosα），其中0<α

（1）若α＝，求函数f（x）＝b·c的最小值及相应x的值；

（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．

高一（9）班数学必修4测试③参考答案

1．B　[∵600°＝360°＋240°，是第三象限角．∴a<0.

∵tan600°＝tan240°＝tan60°＝＝，∴a＝－4.]

2．D　[a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]

3．A　[∵|a|＝＝，∴cos2α＝.∴cos2α＝2cos2α－1＝－.]

4．B　[∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4×12＝12.

∴|a＋2b|＝2.]

5．D　[tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°

＝tan（17°＋28°）（1－tan17°tan28°）＋tan17°tan28°

＝1－tan17°tan28°＋tan17°tan28°＝1.]

6．C　[∵a＝（1,1），b＝（2,5），∴8a－b＝（6,3），∵（8a－b）·c＝（6,3）·（3，x）＝18＋3x＝30，

∴x＝4.]

7．A　[方法一　y＝cos（x－）＝sin（x＋），向右平移个单位即得y＝sin（x－＋）＝sinx，故选A.

方法二　y＝sinx＝cos（x－），y＝cos（x－）y＝cos（x－），无论哪种解法都需要统一函数名称．]

8．C　[∵f（）＝0，∴A不正确．∵f（）＝cos＝≠0，∴B不正确．f（x）向左平移个单位得

f（x）＝sin[2（x＋）＋]＝sin（2x＋）＝cos2x，故C正确．]

9．A　[∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>.∴>A>－B>0.

∵函数y＝sinx，x∈（0，）是递增函数，∴sinA>sin（－B）．即sinA>cosB.

∴p·q＝sinA－cosB>0.

∴p与q所成的角是锐角．]

10．D　[f（x）＝（1＋cos2x）＝（1－cos22x）＝－×

＝－cos4x，∴T＝＝，f（－x）＝f（x），故选D.]

11．D　[||＝＝≤＝3.]

12．D　[由题意知tan[ω（x－）＋]＝tan（ωx＋），即tan（ωx＋－）＝tan（ωx＋）．

∴－ω＝kπ＋，得ω＝－6k＋，则ωmin＝（ω>0）．]

13.

解析　∵a∥b，

∴sinαsinβ－cosαcosβ＝0即cos（α＋β）＝0.

∵0<α＋β<π.∴α＋β＝.

14.－

解析　∵cos4α－sin4α＝（cos2α＋sin2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝.

又2α∈（0，π）．∴sin2α＝.

∴cos（2α＋）＝cos2α－sin2α＝－.

15．2

解析　n·＝n·（－）＝n·－n·＝7－（2,1）·（3，－1）＝7－5＝2.

16.

解析　∵sinθ＝2sincos＝＝＝.

∴2tan2－5tan＋2＝0，

∴tan＝或tan＝2.

∵θ∈[0，]，∴∈[0，]．

∴tan∈[0,1]，∴tan＝.

17．解　

（1）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0.

由此得tanθ＝－1（－<θ<），∴θ＝－.

（2）由a＝（sinθ，1），b＝（1，cosθ）得

a＋b＝（sinθ＋1,1＋cosθ），

|a＋b|＝＝＝，

当sin（θ＋）＝1时，|a＋b|取得最大值，

即当θ＝时，|a＋b|的最大值为＋1.

18．解　

（1）∵图象上相邻的两个最高点之间的距离为2π，

∴T＝2π，则ω＝＝1.∴f（x）＝sin（x＋φ）．

∵f（x）是偶函数，∴φ＝kπ＋（k∈Z）．

又0≤φ≤π，∴φ＝，∴f（x）＝cosx.

（2）由已知得cos（α＋）＝.

∵α∈（－，）．∴α＋∈（0，）．

∴sin（α＋）＝.

∴sin（2α＋）＝－sin（2α＋）＝－2sin（α＋）cos（α＋）＝－.

19．解　

（1）依题设得f（x）＝2cos2x＋sin2x

＝1＋cos2x＋sin2x＝2sin（2x＋）＋1.

由2sin（2x＋）＋1＝1－得sin（2x＋）＝－.

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，

∴2x＋＝－，即x＝－.

（2）－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），即－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）

得函数单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]（k∈Z）.

x

0

π

y

2

3

2

0

－1

0

2

20．解　

（1）f（x）＝2acos2x＋asin2x－a＝asin2x＋acos2x＝2asin（2x＋）．

当a>0时，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）．

故函数f（x）的单调增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）．

（2）由

（1）知f（x）＝2asin（2x＋）．

当x∈[0，]时，2x＋∈[，]．

若a>0，当2x＋＝时，

f（x）max＝2a＝5，则a＝；

若a<0，当2x＋＝时，

f（x）max＝－a＝5，则a＝－5.

所以a＝或－5.

21．解　

（1）f（x）＝sin2（x＋）－cos2x－

＝[（sinx＋cosx）]2－cos2x－

＝sinxcosx－cos2x－

＝sin2x－－＝sin（2x－）－1，

所以f（x）的最小正周期为π，最小值为－2.

（2）由m＝（1,5）与n＝（1，f（－A））垂直，

得5f（－A）＋1＝0，

∴5sin[2（－A）－]－4＝0，即sin（2A－）＝－.

∵A∈（0，），∴2A－∈（－，），

∵sin（2A－）＝－<0，

∴2A－∈（－，0），

∴cos（2A－）＝.

∴cos2A＝cos[（2A－）＋]＝×＋×＝.

22．解　

（1）∵b＝（cosx，sinx），c＝（sinx＋2sinα，cosx＋2cosα），α＝，

∴f（x）＝b·c＝cosxsinx＋2cosxsinα＋sinxcosx＋2sinxcosα＝2sinxcosx＋（sinx＋cosx）．

令t＝sinx＋cosx（0

则y＝g（t）＝t2＋t－1＝（t＋）2－，－1

∴t＝－时，y取得最小值，且ymin＝－，

此时sinx＋cosx＝－.

由于0

所以函数f（x）的最小值为－，相应x的值为.

（2）∵a与b的夹角为，

∴cos＝＝cosαcosx＋sinαsinx＝cos（x－α）．

∵0<α

∵a⊥c，

∴cosα（sinx＋2sinα）＋sinα（cosx＋2cosα）＝0.

∴sin（x＋α）＋2sin2α＝0，sin（2α＋）＋2sin2α＝0.

∴sin2α＋cos2α＝0.∴tan2α＝－.