陕西省宝鸡市高考数学一模试卷理科解析版.doc

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2017年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）已知复数是纯虚数，则实数a=（　　）

A．﹣2 B．4 C．﹣6D．6

2．（5分）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（　　）

A．（﹣1，0] B．[0，4） C．（0，4] D．[﹣1，0）

3．（5分）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）

A． B． C． D．

4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法．执行该程序框图，输入分别为98，63，则输出的结果是（　　）

A．14 B．18 C．9 D．7

5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=cos（2x﹣）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

7．（5分）我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为（　　）

A．12 B．8 C．6 D．4

8．（5分）已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（　　）

A． B．16π C． D．32π

9．（5分）正项等比数列{an}中，a2016=a2015+2a2014，若aman=16a12，则+的最小值等于（　　）

A．1 B． C． D．

10．（5分）已知双曲线C：

mx2+ny2=1（mn＜0）的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，则C的离心率等于（　　）

A． B． C．或 D．或

11．（5分）在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足||=，则•的取值范围为（　　）

A．[，2] B．（，2） C．[，2） D．[，+∞）

12．（5分）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（　　）

A．0＜x0＜ B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）若（ax﹣1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，且a0+a1+a2+…+a9=0，则a3=　　．

14．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是　　．

15．（5分）如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB=2，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，若∠APB=150°，则tan∠PBA=　　．

16．（5分）我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有　　节优秀录像课．

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn，求证：

1≤Tn＜3．

18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点F．

（Ⅰ）证明：

PB∥平面AEC；

（Ⅱ）若ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C﹣AF﹣D大小为60°？

19．（12分）现有4个人去参加娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：

每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．

（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ．

20．（12分）已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）经过（1，1）与（，）两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|．求证：

++为定值．

21．（12分）设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）证明：

当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；

（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．

选修题[选修4-4：

坐标系与参数方程]

22．（10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．

（1）求C的直角坐标方程；

（2）直线l：

为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．

五、选修4-5：

不等式选讲

23．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．

（1）解不等式|g（x）|＜5；

（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．

2017年陕西省宝鸡市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．（5分）（2017•宝鸡一模）已知复数是纯虚数，则实数a=（　　）

A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6

【分析】化简复数，由纯虚数的定义可得关于a的式子，解之可得．

【解答】解：

化简可得复数==，

由纯虚数的定义可得a﹣6=0，2a+3≠0，

解得a=6

故选：

D

【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，涉及纯虚数的定义，属基础题．

2．（5分）（2017•宝鸡一模）设集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|﹣5≤x≤0}，则M∩N=（　　）

A．（﹣1，0] B．[0，4） C．（0，4] D．[﹣1，0）

【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．

【解答】解：

由M中不等式变形得：

（x﹣4）（x+1）＜0，

解得：

﹣1＜x＜4，即M=（﹣1，4），

∵N=[﹣5，0]，

∴M∩N=（﹣1，0]，

故选：

A．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

3．（5分）（2017•宝鸡一模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数m=（　　）

A． B． C． D．

【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最大值与最小值的差为7求得实数m的值．

【解答】解：

由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（1，2），

联立，解得B（m﹣1，m），

化z=x+3y，得．

由图可知，当直线过A时，z有最大值为7，

当直线过B时，z有最大值为4m﹣1，

由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：

m=．

故选：

C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

4．（5分）（2017•宝鸡一模）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的某一种算法．执行该程序框图，输入分别为98，63，则输出的结果是（　　）

A．14 B．18 C．9 D．7

【分析】由已知中的程序框图可知：

该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【解答】解：

模拟执行程序，可得：

m=98，n=63，

第一次执行循环体，r=35，m=63，n=35，不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体，r=28，m=35，n=28，不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体，r=7，m=28，n=7，不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体，r=0，m=7，n=0，满足退出循环的条件；

故输出的m值为7．

故选：

D．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．

5．（5分）（2017•宝鸡一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（　　）

A． B． C． D．

【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．

【解答】解：

∵A+B+C=π，

∴sin（A+B）=sinC=，

又∵a=3，c=4，

∴=，

即=，

∴sinA=，

故选B．

【点评】本题考查了三角形内角和定理及诱导公式，正弦定理的综合应用．

6．（5分）（2017•宝鸡一模）为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=cos（2x﹣）的图象（　　）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

【解答】解：

把函数y=cos（2x﹣）=sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度，

可得y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x﹣）的图象，

故选：

A．

【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．

7．（5分）（2017•宝鸡一模）我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为（　　）

A．12 B．8 C．6 D．4

【分析】利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，问题得以解决．

【解答】解：

利用间接法，任选中间5个的2个，再减去相邻的4个，故有C52﹣4=6种，

故选：

C．

【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，属于基础题．

8．（5分）（2017•宝鸡一模）已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（　　）

A． B．16π C． D．32π

【分析】设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，所以三棱锥O﹣ABC的体积为，利用三棱锥O﹣ABC的体积为，求出R，即可求出球O的表面积．

【解答】解：

设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，

所以三棱锥O﹣ABC的体积为．

由，解得R=2．

故球O的表面积为16π．

故选：

B．

【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．

9．（5分）（2017•宝鸡一模）正项等比数列{an}中，a2016=a2015+2a2014，若aman=16a12，则+的最小值等于（　　）

A．1 B． C． D．

【分析】设正项等比数列{an}的公比为q，（q＞0），运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，由条件可得m+n=6，运用乘1法和基本不等式，计算即可得到所求最小值．

【解答】解：

设正项等比数列{an}的公比为q，（q＞0），

由a2016=a2015+2a2014，得q2=q+2，

解得q=2或q=﹣1（舍去）．

又因为aman=16a12，即a12•2m+n﹣2=16a12，

所以m+n=6．

因此

=≥（5+2）=，

当且仅当m=4，n=2时，等号成立．

故选：

B．

【点评】本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，考查等比数列的通项公式，考查运算能力，属于中档题．

10．（5分）（2017•宝鸡一模）已知双曲线C：

mx2+ny2=1（mn＜0）的一条渐近线与圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切，则C的离心率等于（　　）

A． B． C．或 D．或

【分析】讨论当m＞0，n＜0时，双曲线的焦点在x轴上，求得渐近线方程，圆的圆心和半径，运用相切的条件：

d=r，由点到直线的距离公式化简可得16m=﹣9n，化双曲线方程为标准方程，运用离心率公式计算可得；同样讨论当m＜0，n＞0时，双曲线的焦点在y轴上，可得离心率．

【解答】解：

当m＞0，n＜0时，双曲线的焦点在x轴上，

可得渐近线方程为x±y=0，

圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的圆心为（3，1），半径为1，

由题意可得d==1，

化简可得16m=﹣9n，

双曲线C：

mx2+ny2=1的标准方程为﹣=1（m＞0，n＜0），

a2=，b2=﹣，

离心率为====；

当m＜0，n＞0时，双曲线的焦点在y轴上，

可得渐近线方程为x±y=0，

圆x2+y2﹣6x﹣2y+9=0的圆心为（3，1），半径为1，

由题意可得d==1，

化简可得16m=﹣9n，

双曲线C：

mx2+ny2=1的标准方程为﹣=1（m＜0，n＞0），

a'2=，b'2=﹣，

离心率为===．

综上可得，离心率为或．

故选：

D．

【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用分类讨论思想方法，结合直线和圆相切的条件：

d=r，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

11．（5分）（2017•宝鸡一模）在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，M，N（不与A，C重合）为AC边上的两个动点，且满足||=，则•的取值范围为（　　）

A．[，2] B．（，2） C．[，2） D．[，+∞）

【分析】以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，写出直线AC的方程，设出M的坐标，由||表示出点N的坐标，求出、与它们的数量积•的取值范围即可．

【解答】解：

以等腰直角△ABC的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，

如图所示；则B（0，0），直线AC的方程为x+y=2；

设M（a，2﹣a），则0＜a＜1，

由||=，得N（a+1，1﹣a）；

∴=（a，2﹣a），=（a+1，1﹣a）；

∴•=a（a+1）+（2﹣a）（1﹣a）=2a2﹣2a+2=2（a﹣）2+．

∵0＜a＜1，∴当a=时，•取得最小值，

且a=0或1时，•=2，无最大值；

∴•的取值范围是[，2）．

故选：

C．

【点评】本题考查了平面向量的数量积运算问题，采用坐标法可使问题计算简便，注意a的范围是解题的关键．

12．（5分）（2017•山西二模）已知函数y=x2的图象在点（x0，x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（　　）

A．0＜x0＜ B．＜x0＜1 C．＜x0＜ D．＜x0

【分析】求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0=，lnm﹣1=﹣x02，再由零点存在定理，即可得到所求范围．

【解答】解：

函数y=x2的导数为y′=2x，

在点（x0，x02）处的切线的斜率为k=2x0，

切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），

设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，

即有y=lnx的导数为y′=，

可得2x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），

令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，

由0＜m＜1，可得x0＞，且x02＞1，

解得x0＞1，

由m=，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，

令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，

f′（x）=2x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，

且f（）=2﹣ln2﹣1＜0，f（）=3﹣ln2﹣1＞0，

则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（，）．

故选：

D．

【点评】本题考查导数的运用：

求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）（2017•宝鸡一模）若（ax﹣1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，且a0+a1+a2+…+a9=0，则a3=　84　．

【分析】根据题意，令x=1求出a0+a1+a2+…+a9的值，从而求出a的值；再利用二项式展开式的通项公式求出a3的值．

【解答】解：

（ax﹣1）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，

令x=1，得（a﹣1）9=a0+a1+a2+…+a9=0，

∴a=1；

∴（x﹣1）9展开式的通项公式为：

Tr+1=•x9﹣r•（﹣1）r，

令9﹣r=3，解得r=6；

∴a3=•（﹣1）6=84．

故答案为：

84．

【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式展开式的特殊项问题，是基础题目．

14．（5分）（2017•宝鸡一模）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是　（，+∞）　．

【分析】根据题意，分析可得若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点；作出函数y=f（x）的图象，分析直线y=k与其图象有且只有两个交点时k的取值范围，即可得答案．

【解答】解：

根据题意，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，

则函数y=f（x）的图象与直线y=k有且只有两个交点，

而函数f（x）=，其图象如图，

若直线y=k与其图象有且只有两个交点，必有k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）；

故答案为：

（，+∞）．

【点评】本题考查函数零点的判断方法，关键是将函数零点的个数转化为函数图象的交点个数的问题．

15．（5分）（2017•宝鸡一模）如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB=2，BC=2，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，若∠APB=150°，则tan∠PBA=　　．

【分析】由题意设∠PBA=α，在Rt△PBC中求出PB，在△PBA中，由∠APB=150°和内角和定理求出∠PAB，由正弦定理列出方程，由两角差的正弦函数化简后，由商的关系求出tan∠PBA的值．

【解答】解：

由题意知：

∠ABC=∠BPC=90°，AB=2，BC=2

设∠PBA=α，在Rt△PBC中，

PB=BCcos（90°﹣α）=2sinα，

在△PBA中，∠APB=150°，则∠PAB=30°﹣α，

由正弦定理得，，

则，即，

sinα=2（cosα﹣sinα），

化简得4sinα=cosα，则tanα=，

所以tan∠PBA=，

故答案为：

．

【点评】本题考查正弦定理，两角差的正弦函数，以及商的关系的应用，考查分析问题、解决问题的能力．

16．（5分）（2017•宝鸡一模）我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B课，则称A课不亚于B课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有　5　节优秀录像课．

【分析】记这5节录像课为A1﹣A5，设这5节录像课为先退到两节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2部，以此类推可知：

这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5部．

【解答】解：

记这5节录像课为A1﹣A5，

设这5节录像课为先退到两节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，

且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2部；

再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，

且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3部．

以此类推可知：

这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5部．

故答案为：

5．

【点评】本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，分析这5节录像课为先退到两部电影是关键．

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

17．（12分）（2017•宝鸡一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣2．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）若数列{}的前n项和为Tn，求证：

1≤Tn＜3．

【分析】（I）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．

（II）=，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

【解答】（I）解：

∵Sn=2an﹣2，∴a1=2a1﹣2，解得a1=2，

n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化为：

an=2an﹣1，

∴数列{an}是等比数列，首项为2，公比为2．

∴an=2n．

（II）证明：

=，

∴数列{}的前n项和Tn=++…+，

=+…++，

∴=1++…+﹣=﹣=﹣，

∴Tn=3﹣∈[1，3）．

∴1≤Tn＜3．

【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．（12分）（2017•宝鸡一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F是PC的中点F．

（Ⅰ）证明：

PB∥平面AEC；

（Ⅱ）若ABCD为正方形，探究在什么条件下，二面角C﹣AF﹣D大小为60°？

【分析】（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，则PB∥EO，由此能证明PB∥平面AEC．

（Ⅱ）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．

【解答】证明：

（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD=O，连结OE，

∵四边形ABCD为矩形，

∴O是BD的中点，

∵点E是棱PD的中点，

∴PB∥EO，

又PB⊄平面AEC，EO⊂平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

解：

（Ⅱ）由题意知AD，AB，AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，

设AB=2a，AD=2b，AP=2c，

则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0），D（0，2b，0），P（0，0，2c）．

设AC∩BD=O，连结OE，则O（a，b，0），E（0，b，c）．

因为，，

所以，所以∥，a=b，A（0，0，0），B（2a，0，0），

C（2a，2a，0），D（0，2a，0），P（0，0，2c），E（0，a，c），F（a，a，c），

因为z轴⊂平面CAF，所以设平面CAF的一个法向量为=（x，1，0），

而，所以=2ax+2a=0，得x=﹣1，所以=（﹣1，1，0）．

因为y轴⊂平面DAF，所以设平面DAF的一个法向量为=（1，0，z），

而，所以=a+cz=0，得，

所以=（1，0，﹣）∥=（c，0，﹣a）．

cos60°==，得a=c．

即当AP等于正方形ABCD的边长时，二面角C﹣AF﹣D的大小为60°．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的