高三第一轮复习专题训练之极值点偏移问题.doc

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2017届高三第一轮复习专题训练之极值点偏移问题

什么是极值点偏移我们知道二次函数f（x）的顶点就是极值点，若f（x）=c的两根的中点为，则刚好有=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移；而函数的极值点=1刚好在两根的中点的左边，我们称之为极值点左偏.

例1.已知函数，其中为自然对数的底数.证明：

当，且时，.

解：

的定义域为，，由，解得.当变化时，，变化情况如下表：

0

0

+

单调递减

极小值

单调递增

∵，且，则（不妨设）.设函数.∴.∵当时，，∴.∴当时，.∴函数在上单调递增.

∴，即当时，.∵，∴.又，∴.∵在上单调递增，，且，又，

∴.∴

反思：

本题中极值点，即有如下判断极值点偏移的定理：

例2．

解：

运用判定定理判定极值点偏移的方法为：

口诀为：

极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随。

例3．已知函数.

（1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）若，且f（）=f（）,证明：

+>2.

例4．已知函数，若，且f（）=f（）,证明：

+>4.

证明：

例5．已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：

.

解:

不妨设由题意知.要证不等式成立，只需证当时，原不等式成立即可.令，则，当时，..即.令，

则,即.而，且在上递增，故，即.