江西省南昌市2018届高三第二次模拟测试(理数).doc
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江西省南昌市2018届高三第二次模拟测试
数学（理科）
本试卷分必考题和选做题两部分，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题部分共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集为，集合，，则等于
A．B．C．D．
2．若实数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知为实数，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知一个几何体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长
为1），则该几何体的体积为
A．B．32C．D．16
5．执行如图的程序框图，若，则输出的
A．2B．C．0D．-1
6．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，抛
物线上一点，若，则的面积为
A．4B．5C．8D．10
7．已知点在不等式组表示的平面区域内，
则实数的取值范围是
A．B．C．D．
8．如图，已知函数的部分图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，那么函数图象上的弧线与两坐标所围成图形的面积为
A．B．C．D．
9．已知函数，设（为常数），若，则等于
A．1998B．2038C．-1818D．-2218
10．在《周易》中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻.有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是
A．B．C．D．
11．在中，，的面积为2，则的最小值为
A．B．C．D．
12．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线的右支于两点，若的角平分线的方程为，则三角形内切圆的标准方程为
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．从某企业的某种产品中抽取1000件，测量该种产品的一项
质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图.
假设这项指标值在内，则这项指标合格，估计
该企业这种产品在这项指标上的合格率为．
14．已知正的边长为2，若，则等于．
15．已知正三棱台的上下底边长分别为，高为7，若该正三棱台的六个顶点均在球的球面上，且球心在正三棱台内，则球的表面积为．
16．如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：
三角形，弓形，扇形和扇形（其中
）.某次菊花展分别在这四个区域摆放：
泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花
展示带来的日效益分别是：
50元/米2，30元/米2,40元/米2.
为使预计日总效益最大，的余弦值应等于．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答。
）
（一）必考题：
共60分。
17．（本小题满分12分）已知各项均为正数且递增的等比数列满足：
成等差数列，前5项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列……的前100项和.
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，侧面是等腰直角三角形，
，平面平面，点分别是棱上
的点，平面平面.
（1）确定点的位置，并说明理由；
（2）求二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过采用录像课评比的片区预赛，有共10位选手脱颖而出进入全市决赛.决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选代号1,2,3，…，7的7名评委，规则是：
选手上完课，评委们当场评
分，并从7位评委评分中去掉一个最高分，去掉一
个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分
作为该选手的最终得分.记评委对某选手评分排名
与该选手最终排名的差的绝对值为“评委对这位选
手的分数排名偏差”.排名规则：
由高
到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列
（如：
选手分数一致排在第二，则认为他们
同属第二名，没有第三名，接下来分数为第四名）.七位评委评分情况如右表所示：
（1）根据最终评分表，填充如下表格：
（2）试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确.
（3）从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数为，求随机变量的分布列和数学期望.
20．（本小题满分12分）已知平面直角坐标系内两定点，及动点，的两边所在直线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设是轴上的一点，若
（1）中轨迹上存在两点使得，求以为直径的圆面积的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知函数，（为常数，且）.
（1）若当时，函数与的图象有且只要一个交点，试确定自然数的值，使得（参考数值，，，）；
（2）当时，证明：
（其中为自然对数的底数）.
（二）选考题：
共10分。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。
22．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线交于点，曲线与轴交于点，求线段的中点到点的距离.
23．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数，.
（1）解不等式；
（2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:
DBBDB6-10:
ACAAB11、12：
CA
二、填空题
13．0.79（或79%）14．115．16．
三、解答题
17．解：
（1）由成等差数列得：
，
设的公比为，则，解得或（舍去），
所以，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由得，
所以所求数列的前100项和，
即，
所以，
两式相减得：
所以，
所以.
18．解：
（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，即点是的中点，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，点是的中点，所以点是的中点，
综上，分别是的中点.
（2）因为，所以，
又因为平面平面，所以平面，
又，所以.
如图以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由中点公式得到，
设平面，平面的法向量分别为
，，
由，得：
，
令，得，
由，得：
，
令，得
所以.
综上，二面角的余弦值是.
19．解：
（1）依据评分规则：
，
.
所以选手的均分及最终排名表如下：
（2）对4号评委分析：
排名偏差平方和为：
.
对5号评委分析：
排名偏差平方和为：
.
由于，所以评委4更准确.
（3）10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，可能取值有0,1,2,3.
所以，，
，，
所以的分布列为：
0
1
2
3
所以数学期望.
20．解：
（1）由已知，即，
所以，又三点构成三角形，得
所以点的轨迹的方程为.
（2）设点的坐标为，
当直线斜率不存在时，可得分别是短轴的两端点，得到，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，，，
则由得①，
联立，得，
由得，整理得.
由韦达定理得，，②
由①②，消去得，
由，解得，
又因为为长轴端点时，可求得点，此时，
综上，或，又因为以为直径的圆面积，
所以的取值范围是.
21．解：
（1）记，则，
当时，因为，，函数单调递增，，
函数无零点，即函数与的图象无交点；
当时，，且时，，
时，，
所以，，函数与的图象有且只有一个交点，得，
化简得：
，
记，，所以在上单调递减，
又，，
所以，即.
（2）由
（1）得：
当时，，只要证明：
时，即，
记，
则，
记，
图象为开口向上的抛物线，对称轴为，
且，所以当时，，即，
所以在区间上单调递增，从而，
即成立，所以成立.
22．解：
（1）曲线的极坐标方程可以化为：
，
所以曲线的直角坐标方程为：
，
曲线的极坐标方程可以化为：
，
所以曲线的直角坐标方程为：
；
（2）因为点的坐标为，的倾斜角为,
所以的参数方程为：
（为参数），
将的参数方程代入曲线的直角坐标方程得到：
，
整理得：
，判别式，
中点对应的参数为，所以线段中点到点距离为.
23．解：
（1）由
①当时，，得，即；
②当时，，得，即；
③当时，，得，即；
综上，不等式解集是.
（2）对任意的，存在，使得成立，
即的值域包含的值域，由，知，
由，且等号能成立，
所以，所以，即的取值范围为.
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