知识点归纳3：三角恒等式.doc

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知识归纳3-----三角恒等式：

（一）同角三角比的关系

1、倒数关系：

；；

2、商数关系：

；

3、平方关系：

；；

作用：

已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

六边形记忆法：

以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

同角三角比关系六角形记忆法

　　六角形记忆法：

1、倒数关系：

对角线上两个三角比互为倒数

2、商数关系：

六边形任意一顶点上的三角比等于与它相邻的两个顶点上三角比的乘积。

3、平方关系：

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角比的平方和等于下面顶点上的三角比的平方。

（二）诱导公式：

作用：

“去负——脱周——化锐”，是对三角比的式子进行角变换的基本思路．

1、利用诱导公式2将负角的三角比变为正角的三角函数——去负；

2、利用诱导公式1的将任意角的三角比化为角度在区间内的三角比——脱周；

3、利用其他诱导公式将上述三角比为锐角三角比——化锐.

同角三角函数的关系与诱导公式的运用：

①已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角比的值。

注意：

用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。

②求任意角的三角函数值。

步骤：

任意负角的

三角函数

任意正角的

三角函数

0o~360o角的

三角函数

求值

公式二、一

公式一

0o~90o角的

三角函数

公式三、

四、五、

六、

③已知三角函数值求角：

注意：

所得的解不是唯一的，而是有无数多个．

步骤：

①确根据三角比的定义；；或，

②先取，的值由三角比的值确定

③根据所取的或的值确定角的终边所在的位置。

注意：

巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：

（3，4，5）；（6，8，10）；

（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）

（三）两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、两角和与差的正弦

2、两角和与差的余弦

3、两角和与差的正切

；

4、辅助角公式：

其中，

角满足，。

常用的有：

；

（四）二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、二倍角的正弦：

2、二倍角的余弦：

3、二倍角的正切：

注意：

二倍角的正、余弦有如下运用：

4、降次扩角公式：

；；

（五）半角的正弦、余弦、正切公式

1、半角的正弦：

2、半角的余弦：

3、半角的正切：

（六）万能置换公式

形式1：

；；

如果令，则简单记为：

；；

形式2：

；；

三角恒等变换解题规律：

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：

在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。

②；③④；

⑤；或等等。

（2）函数名称变换：

三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：

在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：

（4）幂的变换：

降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有：

；。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：

；

（5）公式变形：

三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：

；；

；

；

；

（6）三角函数式的化简运算通常从：

“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：

切割化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，和积互化，特殊值与特殊角的三角函数互化。