全国统一高考数学试卷文科新课标2试卷答案.doc
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2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（文科）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
2．（5分）设复数z满足z+i=3﹣i，则=（ ）
A．﹣1+2i B．1﹣2i C．3+2i D．3﹣2i
3．（5分）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣） B．y=2sin（2x﹣） C．y=2sin（x+） D．y=2sin（x+）
4．（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A．12π B．π C．8π D．4π
5．（5分）设F为抛物线C：
y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（5分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
7．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
8．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
10．（5分）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y=x B．y=lgx C．y=2x D．y=
11．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），若函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，则m= ．
14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为 ．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．
16．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
18．（12分）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：
AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′﹣ABCFE体积．
20．（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f
（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
21．（12分）已知A是椭圆E：
+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明：
＜k＜2．
请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：
几何证明选讲]
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：
B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
[选项4-4：
坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
[选修4-5：
不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：
当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅱ）（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.
1．【分析】先求出集合A和B，由此利用交集的定义能求出A∩B的值．
【解答】解：
∵集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，
∴A∩B={1，2}．故选：
D．
2．【分析】根据已知求出复数z，结合共轭复数的定义，可得答案．
【解答】解：
∵复数z满足z+i=3﹣i，
∴z=3﹣2i，
∴=3+2i，故选：
C
3．【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．
【解答】解：
由图可得：
函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
=，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（，2）代入可得：
2sin（+φ）=2，
则φ=﹣满足要求，
故y=2sin（2x﹣），故选：
A．
4．【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：
正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为=2，
即为球的直径，所以半径为，
所以球的表面积为=12π．故选：
A．
5．【分析】根据已知，结合抛物线的性质，求出P点坐标，再由反比例函数的性质，可得k值．
【解答】解：
抛物线C：
y2=4x的焦点F为（1，0），
曲线y=（k＞0）与C交于点P在第一象限，
由PF⊥x轴得：
P点横坐标为1，
代入C得：
P点纵坐标为2，
故k=2，故选：
D
6．【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：
圆x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：
（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，
解得：
a=，故选：
A．
7．【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：
由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×22+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，故选：
C．
8．【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：
∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．故选：
B．
9．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：
∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，故选：
C
10．【分析】分别求出各个函数的定义域和值域，比较后可得答案．
【解答】解：
函数y=10lgx的定义域和值域均为（0，+∞），
函数y=x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y=lgx的定义域为（0，+∞），值域为R，不满足要求；
函数y=2x的定义域为R，值域为R（0，+∞），不满足要求；
函数y=的定义域和值域均为（0，+∞），满足要求；故选：
D
11．【分析】运用二倍角的余弦公式和诱导公式，可得y=1﹣2sin2x+6sinx，令t=sinx（﹣1≤t≤1），可得函数y=﹣2t2+6t+1，配方，结合二次函数的最值的求法，以及正弦函数的值域即可得到所求最大值．
【解答】解：
函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）
=1﹣2sin2x+6sinx，
令t=sinx（﹣1≤t≤1），
可得函数y=﹣2t2+6t+1
=﹣2（t﹣）2+，
由∉[﹣1，1]，可得函数在[﹣1，1]递增，
即有t=1即x=2kπ+，k∈Z时，函数取得最大值5．故选：
B．
12．【分析】根据已知中函数函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），分析函数的对称性，可得函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点关于直线x=1对称，进而得到答案．
【解答】解：
∵函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2﹣x），
故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
函数y=|x2﹣2x﹣3|的图象也关于直线x=1对称，
故函数y=|x2﹣2x﹣3|与y=f（x）图象的交点也关于直线x=1对称，
故xi=×2=m，故选：
B
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分.
13．【分析】直接利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．
【解答】解：
向量=（m，4），=（3，﹣2），且∥，
可得12=﹣2m，解得m=﹣6．故答案为：
﹣6．
14．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：
由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（3，4）．
化目标函数z=x﹣2y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过A（3，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为：
3﹣2×4=﹣5．
故答案为：
﹣5．
15．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：
由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案为：
．
16．【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：
根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：
1和3．
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案；
（Ⅱ）根据bn=[an]，列出数列{bn}的前10项，相加可得答案．
【解答】解：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4=4，a5+a7=6．
∴，
解得：
，
∴an=；
（Ⅱ）∵bn=[an]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
18．【分析】（I）求出A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数．总事件人数，即可求P（A）的估计值；
（Ⅱ）求出B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”的人数．然后求P（B）的估计值；
（Ⅲ）利用人数与保费乘积的和除以总续保人数，可得本年度的平均保费估计值．
【解答】解：
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：
60+50=110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为：
=；
（Ⅱ）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：
30+30=60，P（B）的估计值为：
=；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为=．=1.1925a．
19．【分析】
（1）根据直线平行的性质以及线面垂直的判定定理先证明EF⊥平面DD′H即可．
（2）根据条件求出底面五边形的面积，结合平行线段的性质证明OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：
∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD，
又D′H⊥EF，
D′H∩DH=H，
∴EF⊥平面DD′H，
∵HD′⊂平面D′HD，
∴EF⊥HD′，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=，AD=AB=5，
∴DE=5﹣=，
∵EF∥AC，
∴====，
∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4﹣3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2，
∴满足HD′2=OD′2+OH2，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′﹣ABCFE的高．
底面五边形的面积S=+=+=12+=，
则五棱锥D′﹣ABCFE体积V=S•OD′=××2=．
20．【分析】（I）当a=4时，求出曲线y=f（x）在（1，f
（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；
（II）先求出f′（x）＞f′
（1）=2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．
【解答】解：
（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．
f
（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•﹣4，
则f′
（1）=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2，
即函数的切线斜率k=f′
（1）=﹣2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=﹣2（x﹣1）=﹣2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1），
∴f′（x）=1++lnx﹣a，
∴f″（x）=，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′
（1）=2﹣a．
①a≤2，f′（x）＞f′
（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f
（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f
（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．
21．【分析】（I）依题意知椭圆E的左顶点A（﹣2，0），由|AM|=|AN|，且MA⊥NA，可知△AMN为等腰直角三角形，设M（a﹣2，a），利用点M在E上，可得3（a﹣2）2+4a2=12，解得：
a=，从而可求△AMN的面积；
（II）设直线lAM的方程为：
y=k（x+2），直线lAN的方程为：
y=﹣（x+2），联立消去y，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，利用韦达定理及弦长公式可分别求得|AM|=|xM﹣（﹣2）|=，|AN|==，
结合2|AM|=|AN|，可得=，整理后，构造函数f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，利用导数法可判断其单调性，再结合零点存在定理即可证得结论成立．
【解答】解：
（I）由椭圆E的方程：
+=1知，其左顶点A（﹣2，0），
∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，
∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a﹣2，a），
∵点M在E上，∴3（a﹣2）2+4a2=12，整理得：
7a2﹣12a=0，∴a=或a=0（舍），
∴S△AMN=a×2a=a2=；
（II）设直线lAM的方程为：
y=k（x+2），直线lAN的方程为：
y=﹣（x+2），由消去y得：
（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，∴xM﹣2=﹣，∴xM=2﹣=，
∴|AM|=|xM﹣（﹣2）|=•=
∵k＞0，
∴|AN|==，
又∵2|AM|=|AN|，∴=，
整理得：
4k3﹣6k2+3k﹣8=0，
设f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8，
则f′（k）=12k2﹣12k+3=3（2k﹣1）2≥0，
∴f（k）=4k3﹣6k2+3k﹣8为（0，+∞）的增函数，
又f（）=4×3﹣6×3+3﹣8=15﹣26=﹣＜0，f
（2）=4×8﹣6×4+3×2﹣8=6＞0，
∴＜k＜2．
请考生在第22～24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：
几何证明选讲]
22．【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S四边形BCGF=2S△BCG，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：
∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴=，
∵DE=DG，CD=BC，
∴=，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=．
[选项4-4：
坐标系与参数方程]
23．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：
（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan2α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
[选修4-5：
不等式选讲]
24．【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可证得结论．
【解答】解：
（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：
﹣x﹣x﹣＜2，
解得：
x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：
﹣x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：
﹣+x+x+＜2，
解得：
x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：
M=（﹣1，1）；
证明：
（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
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