专题导数法研究正整数不等式.doc
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专题（9）导数法研究正整数不等式
利用构造函数的，通过研究函数的单调性和极值最值等得到实数在某个区间上的不等式，通过对实数赋值使之与正整数产生联系，进而证明正整数的不等式是不等式证明中的一个重要方面。
这类问题有如下几个基本类型。
1.单变量的正整数不等式。
【典例1】（2007山东理科22
设函数f（x）=x2+bln（x+1）,其中b≠0.
（Ⅰ）当b>时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n,不等式ln（）都成立.
【答案】（I）函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.
当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（II）分以下几种情形讨论：
（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，
时，
时，
时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0，在上小于0，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（III）
只要证明了对，实数的不等式即可，构造函数，而且，因此我们只要证明这个函数在区间单调递增即可证明需要的不等式。
当时，
令则
在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
【点评】使用导数方法证明正整数的不等式，首先要根据不等式的特点构造在一个实数区间上的函数，这个区间要包含所要证明的不等式中离散的变量的所有取值。
【典例2】（2010四川理科22题
（2））
对任意正整数证明不等式。
【分析】这个不等式中的一个基本量是，为了更加简化问题，我们把不等式进一步变形为，这样我们可以构造函数，即，而且，，我们只要证明函数在内单调递减即可达到解决问题的目的。
【证明】构造函数，，
则，故函数在区间内单调递减，所以，所以，令即证明了所要的不等式。
【点评】本题中的不等式含有一个基本量，通过换元的方法就简化了这个不等式，这样便于构造函数，构造函数时要尽可能使得函数简单、函数的导数容易求出。
本题中证明的不等式在上恒成立，这个不等式在证明2010年湖北卷理科21题第三问中起关键作用。
2.叠加法证明正整数的一元不等式
21．（本小题满分14分）
已知函数的图象在点处的切线方程为
（I）用a表示出b，c；
（II）若上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：
21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.（满分14分）
解：
（I）
（II）由（I）知，
令
则
（i）当
若是减函数，所以
即上不恒成立.
（ii）当
若是增函数，所以
即时，
综上所述，所求a的取值范围为
（II）分析】这种不等式不等式靠构造单一的函数解决，必需通过构造函数得到不等式后，通过叠加的方法解决。
解法一：
由（II）知：
当
令
且当
令
即
将上述n个不等式依次相加得
整理得
解法二：
用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立.
（2）假设n=k时，不等式成立，就是、
那么
由（II）知：
当时，有
令
令
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
根据
（1）和
（2），可知不等式对任何都成立.
【点评】通过叠加不等式是证明该类不等式的重要技巧，这里使用的是对不等式中的一般项进行放缩的方法，本题的技巧是极高的。
2.
【分析】变通不等式为对成立。
则。
∴
∴结论成立。
评】1.利用函数的单调性证明下面不等式，并通过函数图象直观检验
（1）；
（2）；
（3）；（4）。
其中（3）、（4）是高考中在函数导数解答题、数列解答题中不等式的一个根源所在。
不等式在时等价于。
3.正整数的二元不等式
【典例4】证明：
当时，.
【分析】要证：
只需证
只需证：
设，则。
证明在单调递减。
∴，即是减函数，而。
∴，故原不等式成立。
4.非正整数的二元不等式
1.设，且，求证：
。
【分析】构造函数，使用函数的性质进行证明。
显然要证明的不等式中含有一个基本的量，以这个量为自变量把不等式转化为只含有一个变量的不等式，再构造函数。
由于交换不影响不等式的结构，故可以设。
原不等式等价于不等式，即，即
设，可以证明这个函数在上是单调增函数，又，
所以，所以成立，所以
2.已知函数在处取得极值，且在处的切线的斜率为1.
（Ⅰ）求的值及的单调减区间；
（Ⅱ）设＞0，＞0，，求证：
.
21．解：
（Ⅰ）………………………………2分
，∴，即，∴……3分
∴，又，∴，∴
综上可知……………………………4分
，定义域为＞0，
由＜0得0＜＜，∴的单调减区间为……………6分
（Ⅱ）先证
即证
即证：
………………………7分
令，∵＞0，＞0，∴＞0，即证……8分
令则
∴
…………9分
①当＞，即0＜＜1时，＞0，即＞0
在（0，1）上递增，∴＜＝0，……………………10分
②当＜，即＞1时，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上递减，∴＜＝0，…………………11分
③当＝，即＝1时，＝＝0
综合①②③知即
即…………12分
又
∴
综上可得……………13分
22、（本题满分12分）已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证
22（Ⅰ）因为，，则，
当时，；当时，．
所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值．
因为函数在区间（其中）上存在极值，
所以解得
（Ⅱ）不等式，
即为记
所以 …6分
令则，
在上单调递增，，从而
故在上也单调递增，，所以 …8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，即
令，则，…10分
所以
………………．
叠加得：
3．（对数函数+一次函数型）（本小题满分14分）设函数
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有，求p的取值范围；
（Ⅲ）证明：
.
解：
（1），
…………2分
当上无极值点…………3分
当p>0时，令的变化情况如下表：
x
（0，）
+
0
－
↗
极大值
↘
从上表可以看出：
当p>0时，有唯一的极大值点……………7分
（Ⅱ）当p>0时在处取得极大值，此极大值也是最大值，
要使恒成立，只需，∴
∴p的取值范围为[1，+∞…………………10分
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，
∴，
∴…………11分
∴
…………12分
∴结论成立…………………14分
已知（）
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：
（，，其中无理数）．
21、【解】（Ⅰ）
当时，由得
∴在单调递增，在单调递减。
当且的判别式，即时，对恒成立。
∴在上单调递减。
当时，由得：
解得：
由可得：
或
∴在上单调递增，在上单调递减。
综上所述：
当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递增，
在上单调递减；
当时，在上单调递减。
（Ⅱ）由（Ⅰ）当时，在上单调递减。
当时
∴，即
∴
已知函数.
（Ⅰ）当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）当时，对于任意的，证明：
不等式
21．解析（I）原函数的定义域为，因为
当时，所以此时函数上是增函数，在上是减函数；
当时，令，解得（舍去），此时函数在上增函数，在上是减函数；
当时，令，解得
此时函数在上是增函数，在和上是减函数………6分
（II）由（I）知：
时，上是增函数，
设
则
恒成立单调递减
又
不等式得证…………………………………12分
20．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）判定在上的单调性；
（Ⅱ）求在上的最小值；
（Ⅲ）若，，求实数的取值范围．
21解：
（Ⅰ）
设，则，
∵，设
则
∴在上单调递减，则
即∴………………………2分
从而，
∴在上单调递减
∴在上单调递减，∴
∴在上的单调递减．…………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即
∴
∴在上的单调递减，则有
∴在上的最小值为……………………7分
（Ⅲ）∵，，
∴
对恒成立，只需求右边的最小值
∵对中，取，得，
又由（Ⅱ）可知，在上的最小值为，……………10分
故的最小值为，
∴的取值范围是……………………12分
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