高三数学一轮复习导学案.doc

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第七节数学归纳法

编制人：

侯昕审核人：

周新亮编号：

3002007

考纲解读

2014高考会这样考

1.考查数学归纳法的原理和证题步骤；

2.用数学归纳法证明与等式、不等式或数列有关的命题，考查分析问题、解决问题的能力.

复习备考要这样做　

1.理解数学归纳法的归纳递推思想及其在证题中的应用；

2.规范书写数学归纳法的证题步骤.

基础整合

数学归纳法证题的步骤：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值__________时命题成立．

（2）（归纳递推）假设________时命题成立，证明当________时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

考点自测

1．用数学归纳法证明：

“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1）”在验证n＝1时，左端计算所得的项为（　　）

A．1 B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3

2．如果命题P（n）对于n＝k（k∈N*）时成立，则它对n＝k＋2也成立，又若P（n）对于n＝2时成立，则下列结论正确的是（　　）

A．P（n）对所有正整数n成立B．P（n）对所有正偶数n成立

C．P（n）对所有正奇数n成立D．P（n）对所有大于1的正整数n成立

3．证明<1＋＋＋＋…＋1），当n＝2时，中间式子等于（　　）

A．1 B．1＋C．1＋＋ D．1＋＋＋

4．（2013威海模拟）在用数学归纳法证明2n＞n2对从n0开始的所有正整数都成立时，第一步验证的n0等于（　）

A．1B．3C．5D．7

变式1：

证明“2n＞n2＋1对于n>n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（　）

A．2 B．3 C．5 D．6

变式2：

法证明：

对于足够大的自然数n，总有2n＞n3,第一步验证的n0等于（　）

（A）n0=1（B）n0为大于1小于10的某个整数（C）n0≥10（D）n0=2

考向一　用数学归纳法证明等式

例1（大一轮P97例1）

变式训练1（大一轮P97变式训练1）

考向二　用数学归纳法证明不等式

例2（大一轮P98例2）

变式训练2（大一轮P98变式训练2）

考向三　用数学归纳法证明整除问题

例3　用数学归纳法证明：

32n+2－8n－9（nN）能被64整除

考向四　归纳——猜想——证明

例题４（大一轮P98变式训练3）

课堂小结

1．严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个（或两个以上）初始值进行验证；初始值是使命题成立的最小正整数．

2．在进行n＝k＋1命题证明时，一定要用n＝k时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法．

1．用数学归纳法证明“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是（　　）

A．假设n＝k（k∈N*）时命题成立，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k（k是正奇数）时命题成立，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1（k∈N*）时命题成立，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k（k是正奇数）时命题成立，证明n＝k＋2命题成立

2．如果命题P（n）对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P（n）对n＝4不成立，则下列结论正确的是（　　）

A．P（n）对n∈N*成立B．P（n）对n>4且n∈N*成立

C．P（n）对n<4且n∈N*成立D．P（n）对n≤4且n∈N*不成立

3．（2013日照模拟）用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上（　　）

A．k2＋1B．（k＋1）2

C.D．（k2＋1）＋（k2＋2）＋（k2＋3）＋…＋（k＋1）2

4．（2013湛江月考）已知f（x）是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k，若f（k）≥k2成立，则f（k＋1）≥（k＋1）2成立，下列命题成立的是（　　）

A．若f（3）≥9成立，且对于任意的k≥1，均有f（k）≥k2成立

B．若f（4）≥16成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）

C．若f（7）≥49成立，则对于任意的k<7，均有f（k）

D．若f（4）＝25成立，则对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立

5．（2013南京模拟）用数学归纳法证明:

“”的过程中，由“n=k”变到“n=k＋1”时，不等式左边的变化是（）

（A）增加（B）增加和

（C）增加，并减少（D）增加和，并减少

6、某同学“用数字归纳法证明

证明：

（1）当n=1时,显然命题是正确的;

（2）假设n=k时有

（1）、

（2）可知对于（n∈N）,命题都是正确的.以上证法是错误的,错在（）

（A）当n=1时,验证过程不具体（B）归纳假设的写法不正确

（C）从k到k+1的推理不严密（D）从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设．

7.用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2（n∈N*）”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．

课后作业

1、大一轮----课时活页作业四十（第273页）

2、（2013新乡月考）数列{an}满足an>0，Sn＝（an＋），

（1）求S1，S2;

（2）猜想Sn，并用数学归纳法证明．

拔高作业（学有余力同学选作）

1、已知数列对于任意自然数n，都有.

（1）设

（2）试比较的大小，并证明你的结论。