等差数列及其前n项和练习题.doc

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第1讲　等差数列及其前n项和

一、填空题

1．在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.[来源

解析a2＋a4＋a6＋a8＝2（a3＋a7）＝74.

答案74

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－＝1，则公差为________．

解析依题意得S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，S3＝3a1＋d＝3a1＋3d，于是有－＝1，由此解得d＝6，即公差为6.[来源:

学,科,网]

答案6

3．在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.

解析　因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以从而当n＝6或7时Sn取最大值．

答案　6或7

4．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.

解析　∵a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，

∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝＝9a5＝99.

答案　99

5．设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.

解析　由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以又公差d＞0，所以所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3（a1＋11d）＝3（2＋33）＝3×35＝105.

答案　105

6．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．　

解析　因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17（n≥2），当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6.

答案　6

7．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1（n∈N*），且为等差数列，则λ的值是________．

解析　由an＋1＝2an＋2n－1，可得＝＋－，则－＝－－＝－－＝－，当λ的值是－1时，数列是公差为的等差数列．

答案　－1

8．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，则k＝________.

解析a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1，

Sk＝k＋×2＝k2＝9.

又k∈N*，故k＝3.

答案3

10．已知f（x）是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f（x·y）＝xf（y）＋yf（x）成立．数列{an}满足an＝f（2n）（n∈N*），且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.

解析　由an＋1＝f（2n＋1）＝2f（2n）＋2nf

（2）＝2an＋2n＋1，得＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n.

答案　n·2n

二、解答题

11．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.

（1）设Sk＝2550，求a和k的值；

（2）设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

解

（1）由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，

又a1＋a3＝2a2，∴（a－1）＋2a＝8，即a＝3.

∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.

由Sk＝ka1＋d，得

2k＋×2＝2550，

即k2＋k－2550＝0，

解得k＝50或k＝－51（舍去）．

∴a＝3，k＝50.

（2）由Sn＝na1＋d得

Sn＝2n＋×2＝n2＋n.

∴bn＝＝n＋1，∴{bn}是等差数列，

则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1

＝（3＋1）＋（7＋1）＋（11＋1）＋…＋（4n－1＋1）

＝.

∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.

12．已知数列{an}的通项公式为an＝2n，若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

解a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.

设{bn}的公差为d，则有

解得

从而bn＝－16＋12（n－1）＝12n－28.

所以数列{bn}的前n项和

Sn＝＝6n2－22n.

13．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（n∈N*），是否存在一个非零常数c，使数列{bn}也为等差数列？

若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

解　

（1）由题设，知{an}是等差数列，且公差d＞0，

则由得

解得∴an＝4n－3（n∈N*）．

（2）由bn＝＝＝，

∵c≠0，∴可令c＝－，得到bn＝2n.

∵bn＋1－bn＝2（n＋1）－2n＝2（n∈N*），

∴数列{bn}是公差为2的等差数列．

即存在一个非零常数c＝－，使数列{bn}也为等差数列．

第2讲　等比数列及其前n项和

一、填空题

1．设数列{a}前n项和为Sn，a1＝t，a2＝t2，Sn＋2－（t＋1）Sn＋1＋tSn＝0，则{an}是________数列，通项an＝________.

解析　由Sn＋2－（t＋1）Sn＋1＋tSn＝0，得Sn＋2－Sn＋1＝t（Sn＋1－Sn），所以an＋2＝tan＋1，所以＝t，又＝t，

所以{an}成等比数列，且an＝t·tn－1＝tn.

答案　等比　tn

2．等比数列{an}的前n项和为Sn,8a2＋a5＝0，则＝________.

解∵8a2＋a5＝8a1q＋a1q4＝a1q（8＋q3）＝0

∴q＝－2

∴＝＝1＋q3＝－7.

答案－7

3．数列{an}为正项等比数列，若a2＝2，且an＋an＋1＝6an－1（n∈N，n≥2），则此数列的前4项和S4＝________.

解析　由a1q＝2，a1qn－1＋a1qn＝6a1qn－2，得qn－1＋qn＝6qn－2，所以q2＋q＝6.又q＞0，所以q＝2，a1＝1.

所以S4＝＝＝15.

答案　15

4．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－，则实数t的值为________．

解析　∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比数列知2＝×4t，显然t≠0，所以t＝5.

答案　5

5．已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋2≥的最大正整数n的值为________．

解析　由等比数列的性质，得4＝a2·a4＝a（a3＞0），所以a3＝2，所以a1＋a2＝14－a3＝12，于是由

解得所以an＝8·n－1＝n－4.

于是由an·an＋1·an＋2＝a＝3（n－3）＝n－3≥，得n－3≤1，即n≤4.

答案　4

6．在等比数列{an}中，an>0，若a1·a2·…·a7·a8＝16，则a4＋a5的最小值为________．

解析由已知a1a2·…·a7a8＝（a4a5）4＝16，所以a4a5＝2，又a4＋a5≥2＝2（当且仅当a4＝a5＝时取等号）．所以a4＋a5的最小值为2.

答案2

7．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.

解析∵{an}是递增的等比数列，∴a3a7＝a2a8＝2，

又∵a2＋a8＝3，

∴a2，a8是方程x2－3x＋2＝0的两根，则a2＝1，a8＝2，

∴q6＝＝2，∴q3＝，∴＝q3＝.

答案

8．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值为________．

解析　由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥，即q的最小值为.

答案　

二、解答题

11．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.

（1）求数列{an}的通项公式；[来源:

Zxxk.Com]

（2）设数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.

解

（1）设等差数列{an}的公差是d.

依题意a3＋a8－（a2＋a7）＝2d＝－6，从而d＝－3.

由a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1.

所以数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.

（2）由数列{an＋bn}是首项为1，公比为c的等比数列，[来源

得an＋bn＝cn－1，即－3n＋2＋bn＝cn－1，

所以bn＝3n－2＋cn－1.

所以Sn＝[1＋4＋7＋…＋（3n－2）]＋（1＋c＋c2＋…＋cn－1）

＝＋（1＋c＋c2＋…＋cn－1）．

从而当c＝1时，Sn＝＋n＝.

当c≠1时，Sn＝＋.[来源:

Z*xx*k.Com]

12．设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝17.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）是否存在最小的正整数m，使得n≥m时，an>恒成立？

若存在，求出m；若不存在，请说明理由．

解

（1）设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，所以得＝1，

＝17.

相除得＝17，解得q4＝16.所以q＝2或q＝－2（舍去）．

由q＝2可得a1＝，所以an＝.

（2）由an＝>，得2n－1>2011，而210<2011<211，所以n－1≥11，即n≥12.

因此，存在最小的正整数m＝12，使得n≥m时，an>恒成立．

13．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2·a4＝65，a1＋a5＝18.

（1）求数列{an}的通项公式an.

（2）若1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，求i的值；

（3）是否存在常数k，使得数列{}为等差数列？

若存在，求出常数k；若不存在，请说明理由．

解　

（1）因为a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2·a4＝65，

所以a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根．

又公差d＞0，所以a2＜a4.所以a2＝5，a4＝13.

所以解得a1＝1，d＝4.所以an＝4n－3.

（2）由1＜i＜21，a1，ai，a21是某等比数列的连续三项，所以a1·a21＝a，即1·81＝（4i－3）2，解得i＝3.

（3）由

（1）知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n.

假设存在常数k，使数列{}为等差数列，

由等差数列通项公式，可设＝an＋b，

得2n2＋（k－1）n＝an2＋2abn＋b恒成立，可得a＝2，b＝0，k＝1.所以存在k＝1使得{}为等差数列．

第3讲　等差数列、等比数列与数列求和

一、填空题

1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝________.

解析由题意设等差数列公差为d，则a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比数列，∴a＝a1a6，即（2＋2d）2＝2（2＋5d），整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝，∴Sn＝na1＋d＝＋n.

答案＋n

2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为________．

解析∵an＝＝－，∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.

答案120

3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．

解析　∵a5＝5，S5＝15，∴＝15，即a1＝1.

∴d＝＝1，∴an＝n.∴＝＝－.设数列的前n项和为Tn.

∴T100＝＋＋…＋＝1－＝.

答案　

4．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．

解析　由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：

S20＝＝＝720.

答案　720

5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________.

解析　当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－（2n－1－1）＝2n－1，

又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.

∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．

∴a＋a＋…＋a＝＝（4n－1）．

答案　（4n－1）

6．定义运算：

＝ad－bc，若数列{an}满足＝1且＝12（n∈N*），则a3＝________，数列{an}的通项公式为an＝________.

解析由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4.

∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，

∴an＝2＋4（n－1）＝4n－2，a3＝4×3－2＝10.

答案10　4n－2

7．在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.

解析　∵＝q3＝－8，∴q＝－2.∴an＝·（－2）n－1，

∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝＝2n－1－.

答案　－2　2n－1－

8．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为________．

解析　因S11＝35＋S6，得11a1＋d＝35＋6a1＋d，即a1＋8d＝7，所以S17＝17a1＋d＝17（a1＋8d）＝17×7＝119.

答案　119

9．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.

解析　设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得

a＝a1a5，即（7－2d）2＝（7－3d）（7＋d）

所以d＝2或d＝0（舍去）．

所以an＝7＋（n－4）×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，

故Tn＝（22－1）＋（23－1）＋（24－1）＋…＋（2n＋1－1）

＝（22＋23＋…＋2n＋1）－n＝2n＋2－n－4.

答案　2n＋2－n－4

10．数列{an}的通项公式an＝，如果bn＝，那么{bn}的前n项和为________．

解析bn＝＝＝－，

所以b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－＝－1.

答案－1

二、解答题

11．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．

解　

（1）设等差数列{an}的公差为d.

因为a3＝－6，a6＝0，

所以解得a1＝－10，d＝2.

所以an＝－10＋（n－1）·2＝2n－12.

（2）设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，

所以－8q＝－24，即q＝3.

所以{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4（1－3n）．

13．记公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2＋，S3＝12＋3.

（1）求数列{an}的通项公式an及前n项和Sn.

（2）已知等比数列{bnk}，bn＋＝an，n1＝1，n2＝3，求nk.

（3）问数列{an}中是否存在互不相同的三项构成等比数列，说明理由．

解

（1）因为a1＝2＋，S3＝3a1＋3d＝12＋3，

所以d＝2.

所以an＝a1＋（n－1）d＝2n＋，

Sn＝＝n2＋（＋1）n.

（2）因为bn＝an－＝2n，

所以bnk＝2nk.

又因为数列{bnk}的首项bn1＝b1＝2，公比q＝＝3，

所以bnk＝2·3k－1.

所以2nk＝2·3k－1，则nk＝3k－1.

（3）假设存在三项ar，as，at成等比数列，则a＝ar·at，[来源:

学。

科。

网]

即有（2s＋）2＝（2r＋）（2t＋），

整理得（rt－s2）＝2s－r－t.

若rt－s2≠0，则＝，

因为r，s，t∈N*，

所以是有理数，这与为无理数矛盾；

若rt－s2＝0，则2s－r－t＝0，

从而可得r＝s＝t，这与r

综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at.