高考数学复习单元测试题平面向量与解三角形.doc

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辽宁名校2011届高三数学单元测试—平面向量与解三角形

注意事项：

1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．

2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．

3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列说法中正确的是 （）

A．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内；

B．长度相等的向量叫做相等向量；

C．零向量的长度为零；

D．共线向量的夹角为．

2．已知a，b，则a·b的解集是 （）

A． B． C． D．

3．如果a=（1,x），b=（-1,3），且（2a+b）∥（a-2b），则x= （）

A．－3 B．3 C． D．

4．已知a，b，若（2a-b）⊥b，则的值为 （）

A． B．3 C．1或3 D．或3

5．在△ABC中，若 （）

A． B． C． D．

6．e1、e2是平面内不共线的两向量，已知e1-ke2，2e1+e2，3e1-e2，若三点共线，则的值是 （）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．在中,,则的值为 （）

A．10 B．20 C．－10 D．20

8．在△中，若，则= （）

A． B． C． D．

9．在△ABC中，若则△ABC的形状是 （）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形

10．下列说法中错误的是 （）

①，则或；②；③.

A．①、② B．①、③ C．②、③ D．①、②、③

11．在△ABC中，若∠C=60°，则= （）

A．1 B．2 C．3 D．4

12．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：

牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 （）

A.6 B．2 C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．

13．向量,则与平行的单位向量的坐标为．

14．设p=（2,7），q=（x,-3），若p与q的夹角，则x的取值范围是.

15．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为.

16．地面上画了一个60°的角ÐBDA，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达ÐBDA的另一边BD上的一点，我们将该点就记为点B，则B与D之间的距离为米.

三、解答题：

本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：

∥.

18．（本小题满分12分）

在△中，所对的边分别为，，．

（1）求；

（2）若，求,，．

19．（本小题满分12分）

已知等腰直角三角形中，AC、BD为中线，求与夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知A、B、C是直线上的不同三点，O是外一点，向量满足，记；

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间．

21．（本小题满分12分）

已知△ABC中，（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，

（1）求∠C；

（2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．

22．（本小题满分14分）

已知向量m＝（，），n＝（，），记f（x）=m•n；

（1）若f（x）=1,求的值；

（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函

数f（A）的取值范围．

参考答案

一、选择题

1．C；解析：

共面向量就是平行向量，故A是错的；

相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B是错的；

根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D是错的；

∴正确的只有C．

2．C；解析：

∵a·b，∴a·b的解集是.

3．A；解析：

∵2a+b=（1,2x+3），a-2b=（3,x-6）；

又2a+b∥a-2b，∴1×（x-6）-（2x+3）×3=0，解得x=-3．

4．D；解析：

由a，b，得2a-b；

∵2a-b⊥b，∴（2a-b）·b=0，即，解得．

5.C；解析：

．

6．B；解析：

∵三点共线，∴与共线，∴存在实数，使得；

∵3e1-e2-（2e1+e2）=e1-2e2，∴e1-ke2e1-2e2，

∵e1、e2是平面内不共线的两向量，∴解得.

7．D；解析：

由题意可知的夹角为,

∴=.

8．C；解析：

或．

9．B；解析：

；

∴；

∴；

∴或，得或；∴△ABC是直角三角形．

10．D；解析：

∵时,,∴当时不能得出或；

∴①是错误的.

∵是数量,所以为一个向量,并且此向量与共线；虽然也是一个向量,但它与共线；

∴不一定与相等；∴②是错误的.

∵，（为与的夹角）；

∴当且仅当时,才成立；∴③是错误的.

∴本题三种说法均不正确.

11．A；解析：

==（*），

∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab，∴a2+b2=ab+c2，代入（*）式得=1

12．D；解析：

，所以.

二、填空题

13．；解析：

因为||=,故所求的单位向量为

．

14．（,+∞）；解析：

p与q的夹角Ûp•q>0Û2x-21>0Û，

即xÎ（,+∞）.

15．（-2，5）或（2，-5）；解析：

设，

则由…………①，

而又由得…………②，

由①②联立得.

.

16．16；解析：

记拐弯处为点A，则已知即为△ABD中，AD=10,AB=14,ÐBDA=60°；

设BD=x，则，

即，整理得，

解得，（舍去）；∴BD=16．

三、解答题

17．解：

（1）∵b－2c，且a与b－2c垂直，

∴，

即，

∴，∴.（…………4分）

（2）∵b+c，

∴︱b+c︱

，

∴当时，︱b+c︱取最大值，且最大值为.（……8分）

（3）∵，∴，即，

∴，即a与b共

线，∴a∥b.（…………12分）

18．解：

（1）由得，

则有=，

解得，即.（…………6分）

（2）由推出；而,

∴,则有，解得.（……12分）

19．解：

如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，（）；（……3分）

∴,（…………6分）

∵与的夹角为，

∴=，

即与夹角的余弦值为．（…………12分）

20．解:

（1）∵，且A、B、C是直线上的不同三点，

∴，∴；（…………6分）

（2）∵，∴，（…………8分）

∵的定义域为，而在上恒正，

∴在上为增函数，即的单调增区间为．（……12分）

21．解：

（1）由（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，得（a－c）（a+c）=（a－b）b，

∴a2－c2=ab－b2，∴a2+b2－c2=ab，∴cosC==（…………4分）

又∵0°＜C＜180°，∴C=60°（…………6分）

（2）S=absinC=×ab=4sinAsinB=4sinAsin（120°－A）

=4sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=6sinAcosA+2sin2A

=3sin2A－cos2A+=2sin（2A－30°）+（…………10分）

∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=3（…………12分）

22．解：

（1）f（x）=m•n===，

∵f（x）=1，∴，（…………4分）

∴=．（…………6分）

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得，

∴，∴，

∵，∴，且，

∴∴；（…………10分）

∴，∴∴；

又∵f（x）＝，∴f（A）=，（…………12分）

故函数f（A）的取值范围是（1,）．（…………14分）