∴cosC＝<0，则C为钝角，
故△ABC为钝角三角形．
【答案】 C
7．（2013·福建高考）将函数f（x）＝sin（2x＋θ）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P，则φ的值可以是（ ）
A.B.
C.D.
【解析】 ∵P在f（x）的图象上，
∴f（0）＝sinθ＝.
∵θ∈，∴θ＝，
∴f（x）＝sin，
∴g（x）＝sin.
∵g（0）＝，
∴sin＝.
验证，φ＝π时，
sin＝sin＝sin＝成立．
【答案】 B
8．（2013·安徽高考）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝（ ）
A. B.C. D.
【解析】 由3sinA＝5sinB，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
所以a＝b，c＝b，
所以cosC＝＝＝－.因为C∈（0，π），所以C＝.
【答案】 B
9．（2013·天津高考）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为（ ）
A．－7B．－4
C．1D．2
【解析】 可行域如图阴影部分（含边界）．
令z＝0，得直线l0：
y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．
由得A（5,3）．
∴z最小＝3－2×5＝－7.
【答案】 A
10．（2013·课标全国卷Ⅱ）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是（ ）
A．∃x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（－∞，x0）上单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
【解析】 若c＝0，则有f（0）＝0，所以A正确．
由f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c得f（x）－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的对称中心为（0,0），所以f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为（0，c），所以B正确．由三次函数的图象可知，若x0是f（x）的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间（－∞，x0）单调递减是错误的，D正确．
【答案】 C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）
11．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，（2a＋b）·b＝0，则a与b的夹角为________．
【解析】 ∵（2a＋b）·b＝0，
∴2a·b＋b2＝0，
∴a·b＝－b2，
设a与b的夹角为θ，又|a|＝|b|，
∴cosθ＝＝＝－，
∴θ＝120°.
【答案】 120°
12．（2013·江西高考）设f（x）＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f（x）|≤a，则实数a的取值范围是________．
【解析】 由于f（x）＝sin3x＋cos3x＝
2sin，则|f（x）|＝2≤2，要使|f（x）|≤a恒成立，则a≥2.
【答案】 [2，＋∞）
13．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．
【解析】 由于a＝e1＋3e2，b＝2e1，
所以|b|＝2，a·b＝（e1＋3e2）·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5，
所以a在b方向上的射影为|a|·cos＝＝.
【答案】
14．（2013·北京高考）已知点A（1，－1），B（3,0），C（2,1）．若平面区域D由所有满足＝λ＋μ（1≤λ≤2,0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为________．
【解析】 设P（x，y），且＝（2,1），＝（1,2）．
∴＝＋＝（1，－1）＋λ（2,1）＋μ（1,2），
∴∴
又1≤λ≤2,0≤μ≤1，
∴表示的可行域是平行四边形及内部．
如图，点B（3,0）到直线x－2y＝0的距离d＝.又|BN|＝.
∴区域D的面积S＝×＝3.
【答案】 3
15．在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________.
【解析】 因为sin∠BAM＝，所以cos∠BAM＝.在△ABM中，利用正弦定理，得＝，所以＝＝＝.
在Rt△ACM中，有＝sin∠CAM＝sin（∠BAC－∠BAM）．由题意知BM＝CM，所以＝sin（∠BAC－∠BAM）．
化简，得2sin∠BACcos∠BAC－cos2∠BAC＝1.
所以＝1，解得tan∠BAC＝.
再结合sin2∠BAC＋cos2∠BAC＝1，∠BAC为锐角可解得sin∠BAC＝.
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分12分）函数f（x）＝Asin（ωx－）＋1（A>0，ω>0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设α∈（0，），f（）＝2，求α的值．
【解】
（1）∵函数f（x）的最大值为3，
∴A＋1＝3，即A＝2.
∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，
∴函数f（x）的解析式为y＝2sin（2x－）＋1.
（2）∵f（）＝2sin（α－）＋1＝2，
∴sin（α－）＝.
∵0<α<，
∴－<α－<，
∴α－＝，∴α＝.
17．（本小题满分12分）（2013·北京高考）在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
（1）求cosA的值；
（2）求c的值．
【解】
（1）因为a＝3，b＝2，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.故cosA＝.
（2）由
（1）知cosA＝，所以sinA＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝.
所以sinB＝＝.
在△ABC中，sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋
cosAsinB＝.
所以c＝＝5.
18．（本小题满分12分）（2013·广东高考）已知函数f（x）＝cos，x∈R.
（1）求f的值；
（2）若cosθ＝，θ∈，求f.
【解】
（1）因为f（x）＝cos，
所以f＝cos
＝cos＝cos＝×＝1.
（2）因为θ∈，cosθ＝，
所以sinθ＝－＝－＝－，
cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－，
sin2θ＝2sinθcosθ＝2××＝－.
所以f＝cos
＝cos＝×
＝cos2θ－sin2θ＝－－＝.
19．（本小题满分12分）已知向量a＝（cos，sin），b＝（－sin，－cos），其中x∈[，π]．
（1）若|a＋b|＝，求x的值；
（2）函数f（x）＝a·b＋|a＋b|2，若c>f（x）恒成立，求实数c的取值范围．
【解】
（1）∵a＋b＝（cos－sin，sin－cos），
∴|a＋b|＝＝，
由|a＋b|＝，得＝，即sin2x＝－.
∵x∈[，π]，∴π≤2x≤2π.
因此2x＝π＋或2x＝2π－，即x＝或x＝.
（2）∵a·b＝－cossin－sincos＝－sin2x，
∴f（x）＝a·b＋|c＋b|2＝2－3sin2x，
∵π≤2x≤2π，∴－1≤sin2x≤0，
∴2≤f（x）＝2－3sin2x≤5，∴[f（x）]max＝5.
又c>f（x）恒成立，
因此c>[f（x）]max，则c>5.
∴实数c的取值范围为（5，＋∞）．
20．（本小题满分13分）（2013·湖北高考）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A－3cos（B＋C）＝1.
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值．
【解】
（1）由cos2A－3cos（B＋C）＝1，得
2cos2A＋3cosA－2＝0，即（2cosA－1）（cosA＋2）＝0.
解得cosA＝或cosA＝－2（舍去）．
因为0（2）由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.
又b＝5，所以c＝4.
由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.
又由正弦定理，得sinBsinC＝sinA·sinA＝·sin2A＝×＝.
21．（本小题满分14分）已知函数f（x）＝x2＋ax＋b，g（x）＝ex（cx＋d）．若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0,2），且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
（1）求a，b，c，d的值；
（2）若x≥－2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．
【解】
（1）∵曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0,2），
∴b＝d＝2.
∵f′（x）＝2x＋a，故f′（0）＝a＝4.
∵g′（x）＝ex（cx＋d＋c），
∴g′（0）＝2＋c＝4，故c＝2.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
（2）令F（x）＝kg（x）－f（x），则F′（x）＝（kex－1）（2x＋4），
由题设可得F（0）≥0，故k≥1，
令F′（x）＝0得x1＝－lnk，x2＝－2，
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0，
从而当x∈[－2，x1）时，F′（x）＜0，
当x∈（x1＋∞）时，F′（x）＞0，
即F（x）在[－2，＋∞）上最小值为F（x1）＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1（x1＋2）≥0，此时f（x）≤kg（x）恒成立；
②若k＝e2，F′（x）＝（ex＋2－1）（2x＋4），
故F（x）在[－2，＋∞）上单调递增，
因为F（－2）＝0，所以f（x）≤kg（x）恒成立；
③若k＞e2，则F（－2）＝－2ke－2＋2＝－2e－2（k－e2）＜0，
从而当x∈[－2，＋∞）时，
f（x）≤kg（x）不可能恒成立．
综上所述k的取值范围为[1，e2]．
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