高三数学一轮复习阶段性测试题5平面向量1.doc

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阶段性测试题五（平面向量）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

）

1．（文）（2011·北京西城区期末）已知点A（－1,1），点B（2，y），向量a＝（1,2），若∥a，则实数y的值为（　　）

A．5　　　 B．6　　　　

C．7　　　　 D．8

[答案]　C

[解析]　＝（3，y－1），∵∥a，∴＝，∴y＝7.

（理）（2011·福州期末）已知向量a＝（1,1），b＝（2，x），若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值为（　　）

A．－2　　 B．0　　　　

C．1　　　　 D．2

[答案]　D

[解析]　a＋b＝（3，x＋1），4b－2a＝（6,4x－2），

∵a＋b与4b－2a平行，∴＝，∴x＝2，故选D.

2．（2011·蚌埠二中质检）已知点A（－1,0），B（1,3），向量a＝（2k－1,2），若⊥a，则实数k的值为（　　）

A．－2 B．－1

C．1 D．2

[答案]　B

[解析]　＝（2,3），∵⊥a，∴2（2k－1）＋3×2＝0，∴k＝－1，∴选B.

3．（2011·北京丰台期末）如果向量a＝（k,1）与b＝（6，k＋1）共线且方向相反，那么k的值为（　　）

A．－3 B．2

C．－ D.

[答案]　A

[解析]　由条件知，存在实数λ<0，使a＝λb，∴（k,1）＝（6λ，（k＋1）λ），∴，∴k＝－3，故选A.

4．（文）（2011·北京朝阳区期末）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则·（＋）等于（　　）

A．－ B．－

C. D.

[答案]　A

[解析]　由条件知，·（＋）＝·

（2）

＝·＝－||2＝－2＝－.

（理）（2011·黄冈期末）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、分别为a、b，则＝（　　）

A.a－b B.a＋b

C．－a＋b D．－a－b

[答案]　B

[解析]　＝b＋a，＝a－b，设＝λ，则＝λa－λb，∴＝＋＝λa＋b，

∵与共线且a、b不共线，∴＝，∴λ＝，∴＝a＋b.

5．（2011·山东潍坊一中期末）已知向量a＝（1,1），b＝（2，n），若|a＋b|＝a·b，则n＝（　　）

A．－3 B．－1

C．1 D．3

[答案]　D

[解析]　∵a＋b＝（3,1＋n），

∴|a＋b|＝＝，

又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，

∴＝n＋2，解之得n＝3，故选D.

6．（2011·烟台调研）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·（＋）（　　）

A．最大值为8 B．是定值6

C．最小值为2 D．与P的位置有关

[答案]　B

[解析]　设BC边中点为D，则

·（＋）＝·

（2）

＝2||·||·cos∠PAD＝2||2＝6.

7．（2011·河北冀州期末）设a，b都是非零向量，那么命题“a与b共线”是命题“|a＋b|＝|a|＋|b|”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

[答案]　B

[解析]　|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b方向相同，或a、b至少有一个为0；而a与b共线包括a与b方向相反的情形，

∵a、b都是非零向量，故选B.

8．（2011·甘肃天水一中期末）已知向量a＝（1,2），b＝（－2，－4），|c|＝，若（a＋b）·c＝，则a与c的夹角为（　　）

A．30° B．60°

C．120° D．150°

[答案]　C

[解析]　由条件知|a|＝，|b|＝2，a＋b＝（－1，－2），∴|a＋b|＝，∵（a＋b）·c＝，∴×·cosθ＝，其中θ为a＋b与c的夹角，∴θ＝60°.

∵a＋b＝－a，∴a＋b与a方向相反，∴a与c的夹角为120°.

9．（文）（2011·福建厦门期末）在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·等于（　　）

A．2 B．3

C．4 D．6

[答案]　B

[解析]　解法1：

如图以C为原点，CA、CB为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A（3,0），B（0,3），设M（x0，y0），

∵＝2，∴，∴，

∴·＝（2,1）·（0,3）＝3，故选B.

解法2：

∵＝2，∴＝，

∴·＝·（＋）＝||2＋·

＝9＋×3×3×＝3.

（理）（2011·安徽百校联考）设O为坐标原点，点A（1,1），若点B（x，y）满足则·取得最大值时，点B的个数是（　　）

A．1 B．2

C．3 D．无数

[答案]　A

[解析]　x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即（x－1）2＋（y－1）2≥1，画出不等式组表示的平面区域如图，·＝x＋y，设x＋y＝t，则当直线y＝－x平移到经过点C时，t取最大值，故这样的点B有1个，即C点．

10．（2011·宁夏银川一中检测）a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b（λ1，λ2∈R），则A、B、C三点共线的充要条件为（　　）

A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1

C．λ1·λ2＋1＝0 D．λ1λ2－1＝0

[答案]　D

[分析]　由于向量，有公共起点，因此三点A、B、C共线只要，共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数λ使得＝λ，然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去λ即得结论．

[解析]　∵A、B、C共线，∴，共线，根据向量共线的条件知存在实数λ使得＝λ，即a＋λ2b＝λ（λ1a＋b），由于a，b不共线，

根据平面向量基本定理得，消去λ得λ1λ2＝1.

11．（文）（2011·北京学普教育中心）设向量a＝（a1，a2），b＝（b1，b2），定义一种向量运算a⊕b＝（a1，a2）⊕（b1，b2）＝（a1b1，a2b2）．已知m＝，n＝，点P（x，y）在y＝sinx的图象上运动，点Q在y＝f（x）的图象上运动，且满足＝m⊕＋n（其中O为坐标原点），则y＝f（x）的最大值及最小正周期分别为（　　）

A．2；π B．2；4π

C.；4π D.；π

[答案]　C

[解析]　设点Q（x′，y′），则＝（x′，y′），由新定义的运算法则可得：

（x′，y′）＝⊕（x，y）＋

＝，

得，∴，

代入y＝sinx，得y′＝sin，则

f（x）＝sin，故选C.

（理）（2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考）如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若＝λ＋μ其中λ，μ∈R，则λ＋μ是（　　）

A. B.

C. D．1

[答案]　B

[解析]　＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

相加得＋＝（＋）＝，

∴＝＋，∴λ＋μ＝＋＝.

12．（2011·辽宁沈阳二中阶段检测）已知非零向量与满足·＝0，且·＝－，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰非等边三角形 B．等边三角形

C．三边均不相等的三角形 D．直角三角形

[答案]　A

[分析]　根据平面向量的概念与运算知，表示方向上的单位向量，因此向量＋平行于角A的内角平分线．由·＝0可知，角A的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及·＝－可求角A.

[解析]　根据·＝0知，角A的内角平分线与BC边垂直，说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及·＝－可知A＝120°.故三角形是等腰非等边的三角形．

[点评]　解答本题的关键是注意到向量，分别是向量，方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角A的内角平分线共线．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）

13．（文）（2011·湖南长沙一中月考）设平面向量a＝（1,2），b＝（－2，y），若a∥b，则|3a＋b|等于________．

[答案]　

[解析]　3a＋b＝（3,6）＋（－2，y）＝（1,6＋y），

∵a∥b，∴＝，∴y＝－4，∴3a＋b＝（1,2），

∴|3a＋b|＝.

（理）（2011·北京朝阳区期末）平面向量a与b的夹角为60°，a＝（2,0），|b|＝1，则|a＋2b|＝________.

[答案]　2

[解析]　a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×＝1，

|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，

∴|a＋2b|＝2.

14．（2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考）已知a＝（2＋λ，1），b＝（3，λ），若〈a，b〉为钝角，则λ的取值范围是________．

[答案]　λ<－且λ≠－3

[解析]　∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝3（2＋λ）＋λ＝4λ＋6<0，

∴λ<－，当a与b方向相反时，λ＝－3，

∴λ<－且λ≠－3.

15．（2011·黄冈市期末）已知二次函数y＝f（x）的图像为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f（1＋x）＝f（1－x）．若向量a＝（，－1），b＝（，－2），则满足不等式f（a·b）>f（－1）的m的取值范围为________．

[答案]　0≤m<1

[解析]　由条件知f（x）的图象关于直线x＝1对称，

∴f（－1）＝f（3），∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f（a·b）>f（－1）得f（m＋2）>f（3），

∵f（x）在[1，＋∞）上为减函数，∴m＋2<3，∴m<1，

∵m≥0，∴0≤m<1.

16．（2011·河北冀州期末）已知向量a＝，b＝（cosθ，1），c＝（2，m）满足a⊥b且（a＋b）∥c，则实数m＝________.

[答案]　±

[解析]　∵a⊥b，∴sinθcosθ＋＝0，∴sin2θ＝－，

又∵a＋b＝，（a＋b）∥c，

∴m（sinθ＋cosθ）－＝0，

∴m＝，∵（sinθ＋cosθ）2＝1＋sin2θ＝，∴sinθ＋cosθ＝±，∴m＝±.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）（2011·甘肃天水期末）已知向量a＝（－cosx，sinx），b＝（cosx，cosx），函数f（x）＝a·b，x∈[0，π]．

（1）求函数f（x）的最大值；

（2）当函数f（x）取得最大值时，求向量a与b夹角的大小．

[解析]　

（1）f（x）＝a·b＝－cos2x＋sinxcosx

＝sin2x－cos2x－＝sin－.

∵x∈[0，π]，∴当x＝时，f（x）max＝1－＝.

（2）由

（1）知x＝，a＝，b＝，设向量a与b夹角为α，则cosα＝＝＝，

∴α＝.因此，两向量a与b的夹角为.

18．（本小题满分12分）（2011·呼和浩特模拟）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证·＝0.

[解析]　

（1）解：

∵e＝，∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ，

∵过（4，－）点，∴16－10＝λ，即λ＝6，

∴双曲线方程为x2－y2＝6.

（2）证明：

F1（－2，0），F2（2，0），＝（－3－2，－m），＝（－3＋2，－m），

∴·＝－3＋m2，

又∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，

∴·＝0，即⊥.

19．（本小题满分12分）（2011·宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m＝（2sinB,2－cos2B），n＝（2sin2（＋），－1），m⊥n.

（1）求角B的大小；

（2）若a＝，b＝1，求c的值．

[分析]　根据向量关系式得到角B的三角函数的方程，解这个方程即可求出角B，根据余弦定理列出关于c的方程，解这个方程即可．

[解析]　

（1）∵m⊥n，∴m·n＝0，

∴4sinB·sin2＋cos2B－2＝0，

∴2sinB[1－cos]＋cos2B－2＝0，

∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，

∴sinB＝，

∵0

（2）∵a＝，b＝1，∴a>b，∴此时B＝，

方法一：

由余弦定理得：

b2＝a2＋c2－2accosB，

∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.

方法二：

由正弦定理得＝，

∴＝，∴sinA＝，∵0

若A＝，因为B＝，所以角C＝，∴边c＝2；

若A＝π，则角C＝π－π－＝，

∴边c＝b，∴c＝1.

综上c＝2或c＝1.

20．（本小题满分12分）（2011·山东济南一中期末）已知向量a＝，b＝，且x∈[，π]．

（1）求a·b及|a＋b|；

（2）求函数f（x）＝a·b＋|a＋b|的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．

[解析]　

（1）a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，

|a＋b|＝

＝

＝＝2|cosx|，

∵x∈[，π]，∴cosx<0，

∴|a＋b|＝－2cosx.

（2）f（x）＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx

＝2cos2x－2cosx－1＝22－

∵x∈[，π]，∴－1≤cosx≤0，

∴当cosx＝－1，即x＝π时fmax（x）＝3.

21．（本小题满分12分）（2011·河南豫南九校联考）已知＝（2asin2x，a），＝（－1,2sinxcosx＋1），O为坐标原点，a≠0，设f（x）＝·＋b，b>a.

（1）若a>0，写出函数y＝f（x）的单调递增区间；

（2）若函数y＝f（x）的定义域为[，π]，值域为[2,5]，求实数a与b的值．

[解析]　

（1）f（x）＝－2asin2x＋2asinxcosx＋a＋b＝2asin＋b，

∵a>0，∴由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得，

kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

∴函数y＝f（x）的单调递增区间是[kπ－，kπ＋]（k∈Z）

（2）x∈[，π]时，2x＋∈[，]，

sin∈[－1，]

当a>0时，f（x）∈[－2a＋b，a＋b]

∴，得，

当a<0时，f（x）∈[a＋b，－2a＋b]

∴，得

综上知，或

22．（本小题满分12分）（2011·北京朝阳区模拟）已知点M（4,0），N（1,0），若动点P满足·＝6||.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设过点N的直线l交轨迹C于A，B两点，若－≤·≤－，求直线l的斜率的取值范围．

[解析]　设动点P（x，y），则＝（x－4，y），＝（－3,0），＝（1－x，－y）．

由已知得－3（x－4）＝6，

化简得3x2＋4y2＝12，得＋＝1.

所以点P的轨迹C是椭圆，C的方程为＋＝1.

（2）由题意知，直线l的斜率必存在，

不妨设过N的直线l的方程为y＝k（x－1），

设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2）．

由

消去y得（4k2＋3）x2－8k2x＋4k2－12＝0.

因为N在椭圆内，所以Δ>0.

所以

因为·＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2

＝（1＋k2）（x1－1）（x2－1）

＝（1＋k2）[x1x2－（x1＋x2）＋1]

＝（1＋k2）＝，

所以－≤≤－.解得1≤k2≤3.

所以－≤k≤－1或1≤k≤.

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