高中数学人教A版选修2-2全册综合专项测试题.doc

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本册综合测试

（时间：

120分钟，满分：

150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（2010·安徽）i是虚数单位，＝（　　）

A.－i　　　　　　 B.＋i

C.＋i D.－i

解析　＝＝

＝＋i.

答案　B

2．函数y＝xcosx－sinx的导数为（　　）

A．xcosx B．－xsinx

C．xsinx D．－xcosx

解析　y′＝（xcosx－sinx）′

＝cosx－xsinx－cosx

＝－xsinx.

答案　B

3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x的值为（　　）

A．29 B．31

C．32 D．33

解析　观察前几项知，5＝2＋3，

11＝5＋2×3,20＝11＋3×3，

x＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3.

答案　C

4．函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若m＝M，则f′（x）（　　）

A．等于0 B．大于0

C．小于0 D．以上都有可能

答案　A

5．已知函数f（x）＝－x3＋ax2－x－1在（－∞，＋∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－]∪[，＋∞）

B．[－，]

C．（－∞，－）∪（，＋∞）

D．（－，）

解析　f′（x）＝－3x2＋2ax－1，

若f（x）在（－∞，＋∞）上为单调函数只有f′（x）≤0，

∴Δ＝（2a）2－4（－3）（－1）≤0，

解得－≤a≤.

答案　B

6．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋1）时，第一步应验证不等式（　　）

A．1＋<2 B．1＋＋<2

C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3

答案　B

7．对任意实数x，有f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），且x>0时，有f′（x）>0，g′（x）＞0，则x<0时，有（　　）

A．f′（x）>0，g′（x）>0 B．f′（x）<0，g′（x）>0

C．f′（x）<0，g′（x）<0 D．f′（x）>0，g′（x）<0

解析　由f（－x）＝－f（x）及g（－x）＝g（x）知，f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，由函数奇偶性的性质得f′（x）>0，g′（x）<0.

答案　D

8．设a>0，b>0，则以下不等式中不一定成立的是（　　）

A.＋≥2 B．ln（ab＋1）≥0

C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D．a3＋b3≥2ab2

解析　易知A、B正确．

又a2＋b2＋2－（2a＋2b）

＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，

∴C正确．

答案　D

9．曲线y＝x3＋x2在点T（1，）处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（　　）

A. B.

C. D.

解析　y′＝x2＋x，y′|x＝1＝2，∴切线方程为

y－＝2（x－1），与坐标轴的交点分别为（0，－），（，0），故切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝××＝.

答案　D

10．在平面直角坐标系中，直线x－y＝0与曲线y＝x2－2x所围成的面积为（　　）

A．1 B.

C. D．9

解析　如图所示

由得交点（0,0），（3,3）．

∴阴影部分的面积为

S＝（x－x2＋2x）dx

＝（－x2＋3x）dx

＝（－x3＋x2）

＝－9＋＝.

答案　C

11．用反证法证明命题：

“若a，b∈N，ab能被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是（　　）

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b有一个能被5整除

D．a，b有一个不能被5整除

答案　B

12．桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌，共20张，下列判断正确的是（　　）

①桌上至少有一种花色的牌少于6张；②桌上至少有一种花色的牌多于6张；③桌上任意两种牌的总数将不超过19张．

A．①② B．①③

C．②③ D．①②③

答案　C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）

13．（2010·重庆）已知复数z＝1＋i，则－z＝________.

解析　－z＝－（1＋i）

＝（1－i）－（1＋i）＝－2i.

答案　－2i

14．已知函数f（x）＝3x2＋2x，若－1f（x）dx＝2f（a）成立，则a＝________.

解析　（3x2＋2x）dx

＝（x3＋x2）＝2，

∴2（3a2＋2a）＝2.

即3a2＋2a－1＝0，

解得a＝－1，或a＝.

答案　－1或

15．设n∈N*，且sinx＋cosx＝－1，则sinnx＋cosnx＝________.

解析　∵sinx＋cosx＝－1，

∴sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1.

又sin2x＋cos2x＝1，

∴2sinxcosx＝0.

∴sinx＝0，或cosx＝0.

当sinx＝0时，cosx＝－1，

∴sinnx＋cosnx＝（－1）n.

当cosx＝0时，sinx＝－1，

∴sinnx＋cosnx＝（－1）n.

答案　（－1）n

16．y＝xex＋1的单调增区间为________．

解析　y′＝ex＋xex

＝ex（x＋1）．

令y′>0，得ex（x＋1）>0，

∵ex>0，∴x＋1>0，即x>－1，

∴增区间为（－1，＋∞）．

答案　（－1，＋∞）

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）用反证法证明：

在△ABC中，若sinA>sinB，则∠B必为锐角．

证明　假设B不是锐角，

则0°<∠A<∠A＋∠C＝180°－∠B≤90°，

∴sinA

即sinAsinB矛盾，故∠B必为锐角．

18．（12分）已知x，y为共轭复数，且（x＋y）2－3xyi＝4－6i，求x，y的值．

解　设x＝a＋bi（a，b∈R），则y＝a－bi，代入原式得

（2a）2－3（a2＋b2）i＝4－6i，

∴解得

或或

或

∴或

或或

19．（12分）已知函数f（x）＝x2e－2x，求函数在[1,2]上的最大值．

解　∵f（x）＝x2e－2x，

∴f′（x）＝2xe－2x＋x2（－2）e－2x

＝e－2x（2x－2x2）

＝－2x（x－1）e－2x.

当x∈（1,2）时，f′（x）<0，

∴f（x）在[1,2]上单调递减．

∴f（x）在[1,2]上的最大值为f

（1）＝e－2.

20．（12分）已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx在点x0处取得极小值－7，其导函数y＝f′（x）的图像经过点（－1,0），（2,0），如下图所示，试求x0，a，b，c的值．

解　由y＝f′（x）的图像可知，

在（－∞，－1）上f′（x）<0，在（－1,2）上f′（x）>0，在（2，＋∞）上f′（x）<0，故f（x）在（－∞，－1）上递减，在（－1,2）上递增，在（2，＋∞）上递减．因此，f（x）在x＝－1处取得极小值，

所以x0＝－1.

∵f（x）＝ax3＋bx2＋cx，

∴f′（x）＝3ax2＋2bx＋c.

故由f′（－1）＝0，f′

（2）＝0，f（－1）＝－7，

得解得

a＝－2，b＝3，c＝12.

21．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*）．

（1）写出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．

解　

（1）易求得S1＝1＝，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.

（2）①当n＝1时，S1＝＝1，猜想成立．

②假设n＝k（k∈N*）时，Sk＝，

则当n＝k＋1时，

Sk＋1＝（k＋1）2ak＋1

＝（k＋1）2（Sk＋1－Sk），

∴Sk＋1＝·＝，

这表明当n＝k＋1时，猜想也成立．

根据①、②可知，对n∈N*，

Sn＝，从而an＝＝.

22．（2010·北京）（12分）已知函数f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2（k≥0）．

（1）当k＝2时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求f（x）的单调区间．

解　

（1）当k＝2时，f（x）＝ln（1＋x）－x＋x2

f′（x）＝－1＋2x.

由于f

（1）＝ln2，f′

（1）＝，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－ln2＝（x－1），

即3x－2y＋2ln2－3＝0.

（2）f′（x）＝，x∈（－1，＋∞），

当k＝0时，f′（x）＝－，

所以在区间（－1,0）上f′（x）>0；在区间（0，＋∞）上f′（x）<0，

故f（x）的单调增区间为（－1,0），单调减区间为（0，＋∞）．

当00.

所以在区间（－1,0）和（，＋∞）上f′（x）>0；在（0，）上f′（x）<0，

故f（x）的单调增区间为（－1,0）和（，＋∞），单调减区间为（0，）．

当k＝1时，f′（x）＝>0，故f（x）的单调增区间为（－1，＋∞）．

当k>1时，由f′（x）＝＝0，得x1＝0，x2＝∈（－1,0），

所以在区间（－1，）和（0，＋∞）上f′（x）>0；

在区间（，0）上f′（x）<0，

故f（x）的单调增区间为（－1，）和（0，＋∞），单调减区间为（，0）．