高中文科数学一轮复习函数专题.doc

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第二章函数

第一节对函数的进一步认识

A组

1．（2009年高考江西卷改编）函数y＝的定义域为________．

解析：

⇒x∈[－4,0）∪（0,1]

答案：

[－4,0）∪（0,1]

2．（2010年绍兴第一次质检）如图，函数f（x）的图象是曲线段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（1,2），（3,1），则f（）的值等于________．

解析：

由图象知f（3）＝1，f（）＝f

（1）＝2.答案：

2

3．（2009年高考北京卷）已知函数f（x）＝若f（x）＝2，则x＝________.

解析：

依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；

当x>1时，－x＝2，x＝－2（舍去）．故x＝log32.答案：

log32

4．（2010年黄冈市高三质检）函数f：

{1，}→{1，}满足f[f（x）]>1的这样的函数个数有________个．

解析：

如图．答案：

1

5．（原创题）由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝（x＋1）3＋b1（x＋1）2＋b2（x＋1）＋b3定义一个映射f（a1，a2，a3）＝（b1，b2，b3），则f（2,1，－1）＝________.

解析：

由题意知x3＋2x2＋x－1＝（x＋1）3＋b1（x＋1）2＋b2（x＋1）＋b3，

令x＝－1得：

－1＝b3；

再令x＝0与x＝1得，

解得b1＝－1，b2＝0.

答案：

（－1,0，－1）

6．已知函数f（x）＝

（1）求f（1－），f{f[f（－2）]}的值；

（2）求f（3x－1）；（3）若f（a）＝，求a.

解：

f（x）为分段函数，应分段求解．

（1）∵1－＝1－（＋1）＝－<－1，∴f（－）＝－2＋3，

又∵f（－2）＝－1，f[f（－2）]＝f（－1）＝2，∴f{f[f（－2）]}＝1＋＝.

（2）若3x－1>1，即x>，f（3x－1）＝1＋＝；

若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤，f（3x－1）＝（3x－1）2＋1＝9x2－6x＋2；

若3x－1<－1，即x<0，f（3x－1）＝2（3x－1）＋3＝6x＋1.

∴f（3x－1）＝

（3）∵f（a）＝，∴a>1或－1≤a≤1.

当a>1时，有1＋＝，∴a＝2；

当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a＝±.

∴a＝2或±.

B组

1．（2010年广东江门质检）函数y＝＋lg（2x－1）的定义域是________．

解析：

由3x－2>0,2x－1>0，得x>.答案：

{x|x>}

2．（2010年山东枣庄模拟）函数f（x）＝则f（f（f（）＋5））＝_.

解析：

∵－1≤≤2，∴f（）＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f

（2）＝－3，

∴f（－3）＝（－2）×（－3）＋1＝7.答案：

7

3．定义在区间（－1,1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）的解析式为________．

解析：

∵对任意的x∈（－1,1），有－x∈（－1,1），

由2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），①

由2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1），②

①×2＋②消去f（－x），得3f（x）＝2lg（x＋1）＋lg（－x＋1），

∴f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），（－1

答案：

f（x）＝lg（x＋1）＋lg（1－x），（－1

4．设函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是________个．

解析：

由f（x＋1）＝f（x）＋1可得f

（1）＝f（0）＋1，f

（2）＝f（0）＋2，f（3）＝f（0）＋3，…本题中如果f（0）＝0，那么y＝f（x）和y＝x有无数个交点；若f（0）≠0，则y＝f（x）和y＝x有零个交点．答案：

0或无数

5．设函数f（x）＝，若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则f（x）的解析式为f（x）＝________，关于x的方程f（x）＝x的解的个数为________个．

解析：

由题意得

，

∴f（x）＝.

由数形结合得f（x）＝x的解的个数有3个．

答案：

　3

6．设函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），函数g（x）＝－x2＋bx＋c，若f（2＋）－f（＋1）＝，g（x）的图象过点A（4，－5）及B（－2，－5），则a＝__________，函数f[g（x）]的定义域为__________．

答案：

2　（－1,3）

7．（2009年高考天津卷改编）设函数f（x）＝，则不等式f（x）>f

（1）的解集是________．

解析：

由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f（x）>f

（1）＝3时，令f（x）＝3，

解得x＝1，x＝3.故f（x）>f

（1）的解集为0≤x<1或x>3.

当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f（x）>f

（1）＝3，解得－33.

综上，f（x）>f

（1）的解集为{x|－33}．答案：

{x|－33}

8．（2009年高考山东卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝则f（3）的值为________．

解析：

∵f（3）＝f

（2）－f

（1），又f

（2）＝f

（1）－f（0），∴f（3）＝－f（0），∵f（0）＝log24＝2，∴f（3）＝－2.答案：

－2

9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x与容器中的水量y之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内（即x≥20），y与x之间函数的函数关系是________．

解析：

设进水速度为a1升/分钟，出水速度为a2升/分钟，则由题意得，得，则y＝35－3（x－20），得y＝－3x＋95，又因为水放完为止，所以时间为x≤，又知x≥20，故解析式为y＝－3x＋95（20≤x≤）．答案：

y＝－3x＋95（20≤x≤）

10．函数f（x）＝.

（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；

（2）若f（x）的定义域为[－2,1]，求实数a的值．

解：

（1）①若1－a2＝0，即a＝±1，

（ⅰ）若a＝1时，f（x）＝，定义域为R，符合题意；

（ⅱ）当a＝－1时，f（x）＝，定义域为[－1，＋∞），不合题意．

②若1－a2≠0，则g（x）＝（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6为二次函数．

由题意知g（x）≥0对x∈R恒成立，

∴∴

∴－≤a<1.由①②可得－≤a≤1.

（2）由题意知，不等式（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a2≠0且－2,1是方程（1－a2）x2＋3（1－a）x＋6＝0的两个根．

∴∴∴a＝2.

11．已知f（x＋2）＝f（x）（x∈R），并且当x∈[－1,1]时，f（x）＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1]（k∈Z）时、f（x）的解析式．

解：

由f（x＋2）＝f（x），可推知f（x）是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f（x－2k）＝－（x－2k）2＋1.

又f（x）＝f（x－2）＝f（x－4）＝…＝f（x－2k），

∴f（x）＝－（x－2k）2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.

12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C型装置和3个H型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C型装置的工人有x位，他们加工完C型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）．（单位：

h，时间可不为整数）

（1）写出g（x），h（x）的解析式；

（2）写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；

（3）应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？

解：

（1）g（x）＝（0

（2）f（x）＝（3）分别为86、130或87、129.

第二节函数的单调性

A组

1．（2009年高考福建卷改编）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）”的是________．

①f（x）＝　②f（x）＝（x－1）2③f（x）＝ex　④f（x）＝ln（x＋1）

解析：

∵对任意的x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为减函数．答案：

①

2．函数f（x）（x∈R）的图象如右图所示，则函数g（x）＝f（logax）（0

解析：

∵0

由0≤logax≤≤x≤1.答案：

[，1]（或（，1））

3．函数y＝＋的值域是________．

解析：

令x＝4＋sin2α，α∈[0，]，y＝sinα＋cosα＝2sin（α＋），∴1≤y≤2.

答案：

[1,2]

4．已知函数f（x）＝|ex＋|（a∈R）在区间[0,1]上单调递增，则实数a的取值范围__．

解析：

当a<0，且ex＋≥0时，只需满足e0＋≥0即可，则－1≤a<0；当a＝0时，f（x）＝|ex|＝ex符合题意；当a>0时，f（x）＝ex＋，则满足f′（x）＝ex－≥0在x∈[0,1]上恒成立．只需满足a≤（e2x）min成立即可，故a≤1，综上－1≤a≤1.

答案：

－1≤a≤1

5．（原创题）如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．

①f（x）＝sinx；②f（x）＝lgx；③f（x）＝ex；④f（x）＝

解析：

∵sinx≥－1，∴f（x）＝sinx的下确界为－1，即f（x）＝sinx是有下确界的函数；∵f（x）＝lgx的值域为（－∞，＋∞），∴f（x）＝lgx没有下确界；∴f（x）＝ex的值域为（0，＋∞），∴f（x）＝ex的下确界为0，即f（x）＝ex是有下确界的函数；

∵f（x）＝的下确界为－1.∴f（x）＝是有下确界的函数．答案：

①③④

6．已知函数f（x）＝x2，g（x）＝x－1.

（1）若存在x∈R使f（x）

（2）设F（x）＝f（x）－mg（x）＋1－m－m2，且|F（x）|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.

解：

（1）x∈R，f（x）0b<0或b>4.

（2）F（x）＝x2－mx＋1－m2，Δ＝m2－4（1－m2）＝5m2－4，

①当Δ≤0即－≤m≤时，则必需

－≤m≤0.

②当Δ>0即m<－或m>时，设方程F（x）＝0的根为x1，x2（x1

m≥2.

若≤0，则x2≤0，

－1≤m<－.综上所述：

－1≤m≤0或m≥2.

B组

1．（2010年山东东营模拟）下列函数中，单调增区间是（－∞，0]的是________．

①y＝－　②y＝－（x－1）　③y＝x2－2　④y＝－|x|

解析：

由函数y＝－|x|的图象可知其增区间为（－∞，0]．答案：

④

2．若函数f（x）＝log2（x2－ax＋3a）在区间[2，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________．

解析：

令g（x）＝x2－ax＋3a，由题知g（x）在[2，＋∞）上是增函数，且g

（2）>0.

∴∴－4

－4

3．若函数f（x）＝x＋（a>0）在（，＋∞）上是单调增函数，则实数a的取值范围__．

解析：

∵f（x）＝x＋（a>0）在（，＋∞）上为增函数，∴≤，0

答案：

（0，]

4．（2009年高考陕西卷改编）定义在R上的偶函数f（x），对任意x1，x2∈[0，＋∞）（x1≠x2），有<0，则下列结论正确的是________．

①f（3）

（1）　②f

（1）

③f（－2）

（1）

（1）

解析：

由已知<0，得f（x）在x∈[0，＋∞）上单调递减，由偶函数性质得f

（2）＝f（－2），即f（3）

（1）．答案：

①

5．（2010年陕西西安模拟）已知函数f（x）＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是________．

解析：

由题意知，f（x）为减函数，所以解得0

6．（2010年宁夏石嘴山模拟）函数f（x）的图象是如下图所示的折线段OAB，点A的坐标为（1,2），点B的坐标为（3,0），定义函数g（x）＝f（x）·（x－1），则函数g（x）的最大值为________．

解析：

g（x）＝

当0≤x<1时，最大值为0；当1≤x≤3时，

在x＝2取得最大值1.答案：

1

7．（2010年安徽合肥模拟）已知定义域在[－1,1]上的函数y＝f（x）的值域为[－2,0]，则函数y＝f（cos）的值域是________．

解析：

∵cos∈[－1,1]，函数y＝f（x）的值域为[－2,0]，∴y＝f（cos）的值域为[－2,0]．答案：

[－2,0]

8．已知f（x）＝log3x＋2，x∈[1,9]，则函数y＝[f（x）]2＋f（x2）的最大值是________．

解析：

∵函数y＝[f（x）]2＋f（x2）的定义域为

∴x∈[1,3]，令log3x＝t，t∈[0,1]，

∴y＝（t＋2）2＋2t＋2＝（t＋3）2－3，∴当t＝1时，ymax＝13.答案：

13

9．若函数f（x）＝loga（2x2＋x）（a>0，a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）>0，则f（x）的单调递增区间为__________．

解析：

令μ＝2x2＋x，当x∈（0，）时，μ∈（0,1），而此时f（x）>0恒成立，∴0

μ＝2（x＋）2－，则减区间为（－∞，－）．而必然有2x2＋x>0，即x>0或x<－.∴f（x）的单调递增区间为（－∞，－）．答案：

（－∞，－）

10．试讨论函数y＝2（logx）2－2logx＋1的单调性．

解：

易知函数的定义域为（0，＋∞）．如果令u＝g（x）＝logx，y＝f（u）＝2u2－2u＋1，那么原函数y＝f[g（x）]是由g（x）与f（u）复合而成的复合函数，而u＝logx在x∈（0，＋∞）内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2（u－）2＋在u∈（－∞，）上是减函数，在u∈（，＋∞）上是增函数．又u≤，即logx≤，得x≥；u>，得0

函数

单调性

（0，）

（，＋∞）

u＝logx

f（u）＝2u2－2u＋1





y＝2（logx）2－2logx＋1





故函数y＝2（logx）2－2logx＋1在区间（0，）上单调递减，在区间（，＋∞）上单调递增．

11．（2010年广西河池模拟）已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x>1时，f（x）<0.

（1）求f

（1）的值；

（2）判断f（x）的单调性；（3）若f（3）＝－1，解不等式f（|x|）<－2.

解：

（1）令x1＝x2>0，代入得f

（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f

（1）＝0.

（2）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f（x）<0，

所以f（）<0，即f（x1）－f（x2）<0，因此f（x1）

所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．

（3）由f（）＝f（x1）－f（x2）得f（）＝f（9）－f（3），而f（3）＝－1，所以f（9）＝－2.

由于函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数，

由f（|x|）9，∴x>9或x<－9.因此不等式的解集为{x|x>9或x<－9}．

12．已知：

f（x）＝log3，x∈（0，＋∞），是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列三个条件：

（1）在（0,1]上是减函数，

（2）在[1，＋∞）上是增函数，（3）f（x）的最小值是1.若存在，求出a、b；若不存在，说明理由．

解：

∵f（x）在（0,1]上是减函数，[1，＋∞）上是增函数，∴x＝1时，f（x）最小，log3＝1.即a＋b＝2.

设0＜x1＜x2≤1，则f（x1）＞f（x2）．即＞恒成立．

由此得＞0恒成立．

又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0恒成立，∴b≥1.

设1≤x3＜x4，则f（x3）＜f（x4）恒成立．∴＜0恒成立．

∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b恒成立．∴b≤1.由b≥1且b≤1可知b＝1，∴a＝1.∴存在a、b，使f（x）同时满足三个条件．

第三节函数的性质

A组

1．设偶函数f（x）＝loga|x－b|在（－∞，0）上单调递增，则f（a＋1）与f（b＋2）的大小关系为________．

解析：

由f（x）为偶函数，知b＝0，∴f（x）＝loga|x|，又f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以0f（b＋2）．答案：

f（a＋1）>f（b＋2）

2．（2010年广东三校模拟）定义在R上的函数f（x）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f

（1）＋f（4）＋f（7）等于________．

解析：

f（x）为奇函数，且x∈R，所以f（0）＝0，由周期为2可知，f（4）＝0，f（7）＝f

（1），又由f（x＋2）＝f（x），令x＝－1得f

（1）＝f（－1）＝－f

（1）⇒f

（1）＝0，所以f

（1）＋f（4）＋f（7）＝0.答案：

0

3．（2009年高考山东卷改编）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝－f（x），且在区间[0,2]上是增函数，则f（－25）、f（11）、f（80）的大小关系为________．

解析：

因为f（x）满足f（x－4）＝－f（x），所以f（x－8）＝f（x），所以函数是以8为周期的周期函数，则f（－25）＝f（－1），f（80）＝f（0），f（11）＝f（3），又因为f（x）在R上是奇函数，f（0）＝0，得f（80）＝f（0）＝0，f（－25）＝f（－1）＝－f

（1），而由f（x－4）＝－f（x）得f（11）＝f（3）＝－f（－3）＝－f（1－4）＝f

（1），又因为f（x）在区间[0,2]上是增函数，所以f

（1）>f（0）＝0，所以－f

（1）<0，即f（－25）

答案：

f（－25）

4．（2009年高考辽宁卷改编）已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调增加，则满足f（2x－1）

解析：

由于f（x）是偶函数，故f（x）＝f（|x|），由f（|2x－1|）

（，）

5．（原创题）已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R，f（2＋x）＝f（2－x），当f（－3）＝－2时，f（2011）的值为________．

解析：

因为定义在R上的函数f（x）是偶函数，所以f（2＋x）＝f（2－x）＝f（x－2），故函数f（x）是以4为周期的函数，所以f（2011）＝f（3＋502×4）＝f（3）＝f（－3）＝－2.答案：

－2

6．已知函数y＝f（x）是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，又知y＝f（x）在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.

（1）证明：

f

（1）＋f（4）＝0；

（2）求y＝f（x），x∈[1,4]的解析式；（3）求y＝f（x）在[4,9]上的解析式．

解：

（1）证明：

∵f（x）是以5为周期的周期函数，∴f（4）＝f（4－5）＝f（－1），

又∵y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，∴f

（1）＝－f（－1）＝－f（4），∴f

（1）＋f（4）＝0.

（2）当x∈[1,4]时，由题意可设f（x）＝a（x－2）2－5（a>0），由f

（1）＋f（4）＝0，得a（1－2）2－5＋a（4－2）2－5＝0，∴a＝2，∴f（x）＝2（x－2）2－5（1≤x≤4）．

（3）∵y＝f（x）（－1≤x≤1）是奇函数，∴f（0）＝0，又知y＝f（x）在[0,1]上是一次函数，∴可设f（x）＝kx（0≤x≤1），而f

（1）＝2（1－2）2－5＝－3，∴k＝－3，∴当0≤x≤1时，f（x）＝－3x，从而当－1≤x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－3x，故－1≤x≤1时，f（x）＝－3x.∴当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴f（x）＝f（x－5）＝－3（x－5）＝－3x＋15.当6

∴f（x）＝.

B组

1．（2009年高考全国卷Ⅰ改编）函数f（x）的定义域为R，若f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，则下列结论正确的是________．

①f（x）是偶函数　②f（x）是奇函数　③f（x）＝f（x＋2）

④f（x＋3）是奇函数

解析：

∵f（x＋1）与f（x－1）都是奇函数，∴f（－x＋1）＝－f（x＋1），f（－x－1）＝－f（x－1），∴函数f（x）关于点（1,0），及点（－1,0）对称，函数f（x）是周期T＝2[1－（－1）]＝4的周期函数．∴f（－x－1＋4）＝－f（x－1＋4），f（－x＋3）＝－f（x＋3），即f（x＋3）是奇函数．答案：

④

2．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f（x＋），且f（－2）＝f（－1）＝－1，f（0）＝2，f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2009）＋f（2010）＝________.

解析：

f（x）＝－f（x＋）⇒f（x＋3）＝f（x），即周期为3，由f（－2）＝f（－1）＝－1，f（0）＝2，所以f

（1）＝－1，f

（2）＝－1，f（3）＝2，所以f

（1）＋f

（2）＋…＋f（2009）＋f（2010）＝f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＝f

（1）＋f

（2）＋f（3）＝0.答案：

0

3．（2010年浙江台州模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f

（1）＝1，若将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2010）＝________.

解析：

f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝－f（x），将f（x）的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f（－2＋x）＝－f（x），即f（x＋2）＝－f（x），所以周期为4，f

（1）＝1，f

（2）＝f（0）＝0，f（3）＝－f

（1）＝－1，f（4）＝0，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝0，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（2010）＝f（4）×502＋f

（2）＝0.答案：

0

4．（2010年湖南郴州质检）已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上有f′（x）>0，若f（－1）＝0，那么关于x的不等式xf（x）<0的解集是________．

解析：

在（0，＋∞）上有f′（x）>0，则在（0，＋∞）上f（x）是增函数，在（－∞，0）上是减函数，又f（x）在R上是偶函数，且f（－1）＝0，∴f

（1）＝0.从而可知x∈（－∞，－1）时，f（x）>0