中考数学第一轮复习二次函数.doc

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2018年中考数学第一轮复习---二次函数及其综合应用（部分难题附答案）

【中考目标】

1.理解二次函数的概念;会用描点法画二次函数的图象；利用二次函数的图象，理解二次函数的增减性、最值；会求解析式中字母的值等；

2.会把二次函数的一般式化为顶点式，会确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向;

3.掌握二次函数平移的规律；

4.掌握二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式;

5.掌握二次函数、一次函数、反比例函数中的两个函数图像交点的意义并运用；

6.会分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值；

7.掌握二次函数与平面图形等知识的综合应用.

【中考知识清单】

一、二次函数的定义：

一般地,如果y=（a、b、c是常数,a≠0）那么y叫做x的二次函数.

二、二次函数的图象和性质：

1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条，其顶点坐标为对称轴是

2、在抛物y=ax2+bx+c（a≠0）中：

当a>0时，开口向，当x<-时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大;当a<0时，开口向当x<-时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小.

注意如下图几个特殊形式的抛物线的特点，分别写出它们的表达式：

（1），⑵，⑶，（4）.

三、二次函数的三种表达式

1.一般式：

（a,b,c为常数，a≠0）

2.顶点式：

（a≠0，a、h、k为常数），它直接显示二次函数的顶点坐标是.

3.两根式：

（a≠0，a、、为常数），其中、是图象与x轴交点的横坐标.

4.三种表达式之间的关系：

顶点式一般式两根式

四、二次函数图象的平移

二次函数的平移问题本质可看作是顶点问题的平移,要掌握抛物线的平移，只要找准顶点平移即可.

五、二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：

a:

开口方向：

向上则a0,向下则a0｜a｜越大，开口越

b:

对称轴位置，与a、b联系，用；判断b=0时，对称轴是

c:

与y轴的交点：

交点在y轴正半轴上，则c0；负半轴上则c0；当c=0时，抛物过点

d:

特殊值判断：

在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=;当x=-1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号.

六、二次函数与一元二次方程、不等式的关系

二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点

交点的是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解．

二次函数图象与x轴交点个数

b2－4ac＞0

二次函数图象与x轴有______个交点．

b2－4ac＝0

二次函数图象与x轴有______个交点．

b2－4ac＜0

二次函数图象与x轴______交点．

二次函数图象与不等式

利用图象求不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集.

【合作探究】

考点一：

二次函数的定义应用

例1、设是二次函数，且图像抛物线的开口向下，则m=_________.

考点二、二次函数的图象及性质

例2、对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（　　）

A．图象的开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=-1

例3、已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：

y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）

A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2

例4、对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：

①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；

④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．

其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）

考点三：

图象平移（左加右减，上加下减）

例5.在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）[来源:

学_科_网Z_X_X_K]

A．（-2，3）B．（-1，4）C．（1，4）D．（4，3）

例6.把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是

例7.若a+b+c=0,a¹0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是（-2,0）,求原抛物线的解析式.

考点四、二次函数y=ax2+bx+c的图象与字母系数之间的关系：

例8.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：

①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．3个B．2个C．1个D．0个

例9.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0B．1 C．2D．3

例10.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）

的图象的一部分，给出下列命题：

①a+b+c=0；②b＞2a；

③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；

④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是　．

（只要求填写正确命题的序号）

考点五：

二次函数与一元二次方程的关系;会用待定系数法求二次函数的解析式

例11.已知函数y＝（k－3）x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）

A．k＜4 B．k≤4C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3

例12.把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．

例13.根据下列条件，求二次函数的解析式。

（1）、图象经过（0，0），（1，-2），（2，3）三点；

（2）、图象的顶点（2，3），且经过点（3，1）；

（3）、图象经过（0，0），（12，0），且最高点的纵坐标是3。

考点六：

二次函数、一次函数、反比例函数的图像综合应用及图象交点的意义

例14．直线y＝3x－1与y＝x－k的交点在第四象限，则k的范围是………………（）

（A）k＜（B）＜k＜1（C）k＞1（D）k＞1或k＜1

例15.已知函数y=－（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象如图所示，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　）

　A．BCD．

例16.已知函数y1＝x2与函数y2＝－x＋3的图象大致如图，

若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（）．

A．－＜x＜2B．x＞2或x＜－

C．－2＜x＜ D.x＜－2或x＞

考点七：

二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值；

例17.在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：

（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；

（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；

（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．

解：

（1）y是x的一次函数，设y=kx+b，图象过点（10，300），（12，240），，

∴y=﹣30x+600，

当x=14时，y=180；

当x=16时，y=120，即点（14，180），（16，120）均在函数y=﹣30x+600图象上．

∴y与x之间的函数关系式为

y=-30x+600；

（2）w=（x﹣6）（﹣30x+600）=﹣30x2+780x﹣3600，

即w与x之间的函数关系式为

w=-30x2+780x-3600（x）；

（3）由题意得：

6（﹣30x+600）≤900，解得x≥15．

w=﹣30x2+780x﹣3600图象对称轴为：

x=﹣=13．

∵a=﹣30＜0，

∴抛物线开口向下，当x≥15时，w随x增大而减小，

∴当x=15时，w最大=1350，即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元．

考点八：

二次函数与平面图形（等腰三角形、直角三角形、平行四边形）、相似等知识的综合应用

例18.如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

．

（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．

在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，

在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3﹣m）2，

∵AQ=BQ，

∴1+m2=4+（3﹣m）2，

∴m=2，

∴Q点的坐标为（2，2）；

（3）当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．

又∵对称轴x=2是AC的中垂线，

∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．

此时，MF=NF=AF=CF=1，且AC⊥MN，

∴四边形AMCN为正方形．

在Rt△AFN中，AN==，即正方形的边长为．

【测评】

1.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点

（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：

①b2﹣4ac＜0；

②a+b+c＜0；③c﹣a=2；

④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论有　

2.抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为　　．

3.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则它的对称轴为　

4.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A（2，0），B（0，﹣1）和C（4，5）三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；

（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．

5.如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．

（1）写出该函数图象的对称轴；

（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？

6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；

（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？

如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）存在。

过点B作BP⊥OA，

则tan∠BOP=tan∠BAP=。

∴∠BOA=30°。

设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1F⊥x轴，

∵△OAB∽△OQ1A，∴∠Q1OA=30°，

∴OF=Q1F，即x=，解得：

x=9或x=0（舍去）。

∴Q1坐标为（9，3），

根据函数的对称性可得Q2坐标为（﹣3，3）。

∴Q点的坐标（9，3），（﹣3，3）。

7.如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：

△ABC为直角三角形；

（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？

（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

（3）解：

△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：

①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．

设GC=x，AG=﹣x，

∵，

∴，

∴GF=2﹣2x，

∴S=GC•GF=x•

（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x﹣）2﹣]=﹣2（x﹣）2+，

即当x=时，S最大，为．

②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，

设GD=x，

∵，

∴，

∴AD=x，

∴CD=CA﹣AD=﹣x，

∵，

∴，

∴DE=5﹣x，

∴S=GD•DE=x•（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣[（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，

即x=1时，S最大，为．

综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．

【作业】

1.如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）写出顶点坐标及对称轴；

（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．

2.（2017年山东省泰安市第28题）如图，是将抛物线平移后得到的抛物线，其对称轴为，与轴的一个交点为，另一交点为，与轴交点为．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点为抛物线上一点，且，求点的坐标；

（3）点是抛物线上一点，点是一次函数的图象上一点，若四边形为平行四边形，这样的点是否存在？

若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由．

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