构造函数法在高考解导数和数列问题.doc
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用构造函数法给出两个结论的证明．
（1）构造函数，则，
所以函数在上单调递增，．所以，即．
（2）构造函数，则．所以函数在上单调递增，，所以，即．
要证两边取对数，即证
事实上：
设则
因此得不等式
构造函数下面证明在上恒大于0．
∴在上单调递增，
即
∴∴
以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用．例如：
2009年广东21，2008年山东理科21，2007年山东理科22．
1．【09天津·文】10．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】由已知，首先令得，排除B，D．
令，则，
① 当时，有，所以函数单调递增，所以当时，，从而．
② 当时，有，所以函数单调递减，所以当时，，从而．综上．故选A．
【考点定位】本试题考察了导数来解决函数单调性的运用．通过分析解析式的特点，考查了分析问题和解决问题的能力．
2．【09辽宁·理】21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）证明：
若，则对任意，，有．
解：
（Ⅰ）的定义域为．
…………………2分
（i）若即，则，
故在单调增加．
（ii）若，而，故，则当时，；
当及时，．故在单调减少，
在单调增加．
（iii）若，即，同理可得在单调减少，在单调增加．
（II）考虑函数．
则．
由于故，即在单调增加，从而当时有
，即，故，当时，有．………………………………12分
3．【09全国Ⅱ·理】22．（本小题满分12分）
设函数有两个极值点，且．
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；
（II）证明：
．
【解】（I）由题设知，函数的定义域是
且有两个不同的根，故的判别式
，
即
且…………………………………①
又故．
因此的取值范围是．
当变化时，与的变化情况如下表：
因此在区间和是增函数，在区间是减函数．
（II）由题设和①知
于是 ．
设函数
则
当时，；
当时，故在区间是增函数．
于是，当时，
因此．www．ks5u．com
5．2009届山东省德州市高三第一次练兵（理数）21．（本小题满分12分）
已知函数在是增函数,在（0,1）为减函数．
（1）求、的表达式；
（2）求证：
当时,方程有唯一解；
（3）当时,若在∈内恒成立,求的取值范围．
解：
（1）依题意,即,．
∵上式恒成立,∴① …………………………1分
又,依题意,即,．
∵上式恒成立,∴ ② …………………………2分
由①②得． …………………………3分
∴ …………………………4分
（2）由
（1）可知,方程,
设,
令,并由得解知………5分
令由…………………………6分
列表分析：
（0,1）
1
（1,+¥）
-
0
+
递减
0
递增
可知在处有一个最小值0,…………………………7分
当时,＞0,
∴在（0,+¥）上只有一个解．
即当x＞0时,方程有唯一解． …………………………8分
（3）设,…………9分
在为减函数又………11分
所以：
为所求范围． …………………………12分
7．山东省滨州市2009年5月高考模拟试题（理数）20．（本题满分12）
已知函数
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，设斜率为的直线与函数相交于两点
，求证：
．
解：
（Ⅰ）略
（Ⅱ）当时，
以下先证，
所以只需证，即
设，则．
所以在时，为减函数，．
即．又，
∴成立，即．
同理可证．
∴．
9．山东省安丘、五莲、诸城、兰山四地2009届高三5月联考22．（本题满分14分）
已知函数在上为增函数，且，
，．
（1）求的取值范围；
（2）若在上为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
解：
（1）由题意，在上恒成立，即
．故在上恒成立，……………2分
只须，即，只有．结合得．…4分
（2）由
（1），得
在上为单调函数，
或者在恒成立．……………．．6分
等价于即
而．…………………………………8分
等价于即在恒成立，
而．
综上，的取值范围是．………………………………………10分
（3）构造函数
当时，，，所以在上不存在一个，
使得成立．
当时，…………12分
因为所以，，所以在恒成立．
故在上单调递增，，只要，
解得
故的取值范围是……………………………………………14分
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