惠州市2018届高三模拟考试数学(文科)试题及答案.doc
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惠州市2018届高三模拟考试
2018.04
文科数学
全卷满分150分，时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则集合（ ）
（A）（B）（C）（D）
2．已知复数，则（ ）
（A）（B）（C）（D）
3．甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4．如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:
今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何?
意思是:
有一根竹子,原高一丈（1丈=10尺）,现被风
折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断
图1
处离地面的高为（）尺.
（A）（B）（C）（D）
图2
是
否
5．执行图2所示的程序框图,若输入的，
则输出的（ ）
（A）（B）（C）（D）
6．将函数的图象上各点的横坐标变为原
来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图
象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（）
（A）（B）
（C）（D）
7．设函数，若，则的取值范围是（）
（A）（B）（C）（D）
8．已知为双曲线的一个焦点，其关于双曲线的一条
渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）
（A）（B）（C）（D）
9．某四面体的三视图如图3所示，正视图、俯视图都是
腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的
图3
正方形，则此四面体的体积是（）
（A）（B）（C）（D）
10．已知数列的前项和为，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
11．在中，，点为边上一点，且，
则（ ）
（A）（B）（C）（D）
12．已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且点的坐标为，则
的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
13．曲线在处的切线方程为_______．
14．若变量，满足约束条件，则点到点的最小距离为.
15．已知数列对任意的有，若,则.
16．已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，
当时，，则方程在区间内的所有零点之和
为．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
60分。
17．（本小题满分12分）
已知,,分别为△三个内角,,的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若,且△的面积为,求的值.
18．（本小题满分12分）
如图，直角中，，，分别是边的中点，沿将折起至，且.
（1）求四棱锥的体积；
（2）求证：
平面⊥平面．
19．（本小题满分12分）
为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：
日期
4月1日
4月7日
4月15日
4月21日
4月30日
温差x/℃
10
11
13
12
8
发芽数y/颗
23
25
30
26
16
（1）从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为,求事件“均不小于25”的概率；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与4月份所选5天的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据4月7日，4月15日与4月21日这三天的数据，求出关于的线性回归方程，并判定所得的线性回归方程是否可靠？
参考公式:
，
参考数据:
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，点满足.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程.
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，且），
以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为
．
（1）若曲线与只有一个公共点，求的值；
（2），为曲线上的两点，且，求△的面积最大值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设，证明：
．
惠州市2018届高三模拟考试
数学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
B
B
C
D
C
A
A
D
C
1.【解析】因为，所以，∴选C．
2.【解析】,，∴选B．
3.【解析】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为，∴选A．
4.【解析】如图，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺）， ，
所以，解得 ，
因此，解得 ，
故折断后的竹干高为4.55尺，∴选B.
5.【解析】第一次执行循环体后：
;第二次执行循环体后：
;第三次执行循环体后：
输出选B.
6.【解析】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，可得的图象，再往上平移个单位，得函数的图象，其单调区间与函数相同，令,解得：
，当时，为，∴选C
另：
用五点画出的函数图象（如下），可直接观察出单调区间。
7.【解析】令不符合题意，排除A，B；时，，不符合题意，排除C，∴选D.（另：
画出的大致图象如下，也可观察出答案为D.）
8.【解析】如右图所示，由题意可知△≌△，
∴∠=∠=∠，∴
∴选C.
9.【解析】由三视图知该几何体为棱锥,其中平面ABCD,此三棱锥的
体积,∴选A．
10.【解析】由得，，∴选A．
11.【解析】因为，∴，∴选D.（另：
本小题也可以建立坐标系去计算）
12.【解析】由题意可得，抛物线x2=4y的焦点F（0，1），准线方程为y=﹣1．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|，
则==sin∠PAM，∠PAM为锐角．故当∠PAM最小时，最小，
故当PA和抛物线相切时，最小．设切点P（2，a），由y=x2的导数为y′=x，
则PA的斜率为•2==，求得a=1，可得P（2，1），∴|PM|=2，|PA|=2，
∴sin∠PAM==．故选：
C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.14.15.403616.4
13.【解析】由，得，，切线的斜率
为，故切线方程为.
14.【解析】：
由约束条件作出可行域如图，
点（3，4）到点（x，y）的最小距离为P（3，4）到直线x+y﹣4=0的距离．
为．
.15.【解析】令m=1,则可知∴为等差数列，首项和公差均为2。
∴，∴
16.【解析】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于点对称，把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点）对称，则，又因为，所以，从而，再用替换可得，所以，即函数的周期为2，且图象关于直线对称，如图所示，区间内有8个零点，所有零点之和为.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得：
…………2分
由于，∴，∴
即…………4分
∵，∴
∴
∴…………6分
（Ⅱ）由：
可得∴…………8分
由余弦定理得：
…………10分
∴…………12分
18.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵分别是边的中点，
∴平行且等于的一半，…………1分
依题意，
于是有
…………3分
∵，
∴…………4分
过点作于，则
，…………5分
∵，∴
∴梯形的面积
四棱锥的体积…………6分
（Ⅱ）（法一）如图．设线段的中点分别为，连
接，则，于是
又
是等边三角形，∴EQ⊥FC，………8分
由
（1）知，∴，∴，
于是
………10分
∴，
又，
∴平面⊥平面………12分
（法二）连接，∵，∴△是边长为2等边三角形…
∵∴，∴，………8分
又∥∴，
∵，∴………10分
又∵，
∴，又∵，
∴∴平面⊥平面………12分
19．（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）所有的基本事件为（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共10个．………2分
设“m，n均不小于25”为事件A，则事件A包含的基本事件为（25，30），（25，26），（30，26），共3个，故由古典概型概率公式得P（A）＝.………5分
（Ⅱ）由题意得
且
所以，
所以关于的线性回归方程………9分
且当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
所以所得到的线性回归方程是可靠的.………12分
20.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由条件易知在抛物线上，………1分
，………3分
故，即抛物线的方程为；………4分
（Ⅱ）易知直线斜率必存在，设，，，………5分
①，………6分
联立得即，………8分
由得，………9分
且②，③，………10分
由①②③得，即直线.………12分
21.（本小题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由题知：
………1分
当时,在时恒成立
∴在上是增函数.………2分
当时,,
令，得；令,得.
∴在上为增函数，在上为减函数.………5分
（Ⅱ）法一：
由题知：
在上恒成立，
即在上恒成立。
………7分
令，所以………8分
令得；令得.………9分
∴在上单调递增，在上单调递减.………10分∴,………11分
∴.………12分
法二：
要使恒成立，只需,………6分
（1）当时，在上单调递增，所以,
即，这与矛盾，此时不成立.………7分
（2）当时,
①若即时，在上单调递增，
所以，即，这与矛盾，此时不成立.
………8分
②若即时，在上单调递增，在上单调递减.
所以即,
解得，又因为，所以,………10分
③即时，在递减，则,
∴，又因为，所以；………11分
综合①②③得：
.………12分
（22）（本小题满分10分）选修4－4：
坐标系与参数方程
【解析】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；………1分
直线l的直角坐标方程为………2分
由直线l与圆C只有一个公共点，则可得………3分
解得：
a=﹣3（舍）或a=1………4分
所以：
a=1．………5分
（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）
设A的极角为θ，B的极角为………6分
则：
=
=………8分
∵cos=
所以当时，取得最大值………9分
∴△OAB的面积最大值为．………10分
解法二：
因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且
由正弦定理得：
，所以|AB=
由余弦定理得：
|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|
则：
≤×=．
∴△OAB的面积最大值为．
（23）（本小题满分10分）选修4－5：
不等式选讲
【解析】解法一：
（Ⅰ）（ⅰ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是；………………2分
（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式无解；………………3分
（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，
此时原不等式的解是；………………4分
综上，．………………5分
（Ⅱ）因为………………6分
………………7分
．………………8分
因为，所以，，………………9分
所以，即．………………10分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）因为， ……… 7分
所以，要证，只需证，
即证，………………8分
即证，
即证，即证．………………9分
因为，所以，所以成立，
所以原不等式成立．………………10分
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