高中数学：向量法解立体几何总结.doc

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向量法解立体几何

1、直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量：

若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.

⑵．平面的法向量：

若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.

⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：

①建立适当的坐标系．

②设平面的法向量为．

③求出平面内两个不共线向量的坐标．

④根据法向量定义建立方程组.

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。

设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.

⑵线面平行。

设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.

⑶面面平行。

若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。

设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.

⑵线面垂直

①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.

②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若

⑶面面垂直。

若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.

4、利用向量求空间角

⑴求异面直线所成的角

已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则

⑵求直线和平面所成的角

求法：

设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，　则为的余角或的补角

的余角.即有：

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.

O

A

B

O

A

B

l

如图：

求法：

设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角

根据具体图形确定是锐角或是钝角：

如果是锐角，则，即；

如果是钝角，则，即.

5、利用法向量求空间距离

⑴点Q到直线距离

若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为

⑵点A到平面的距离

若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.

即

⑶直线与平面之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。

由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

即

⑷两平行平面之间的距离

利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。

即

⑸异面直线间的距离

设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。

即